Понятие кривой. Гладкие кривые



Скачать 41.66 Kb.
Дата08.10.2012
Размер41.66 Kb.
ТипДокументы
§2. Понятие кривой. Гладкие кривые.




Пусть дана непрерывная вектор=функция . Фиксируем в точку О и будем откладывать от неё представители векторов . При изменении параметра , конец представителя вектора опишет некоторое множество точек, которое будем называть параметрически заданной кривой (или параметризованной кривой, короче кривой). Уравнение называется векторным параметрическим представлением кривой.

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат . Тогда

(*)

Так как координаты радиус вектора совпадают с координатами точки , система уравнений определяют ту же кривую что и уравнение . Эти уравнения называются параметрическими уравнениями данной кривой. Так как непрерывна, функции так же непрерывны.

При этом функции дифференцируемы столько же раз сколько и вектор-функция . Действительно, умножим равенство (*) скалярно на . Тогда . Следовательно, по правилам дифференцирования и так далее.

Пример. Рассмотрим вектор-функцию gif" name="object21" align=absmiddle width=89 height=27>, где - постоянные векторы. Это векторное уравнение задает прямую.

Определение. Пусть дана кривая (). Кривая называется гладкой класса , если функции имеют непрерывные частные производные до порядка включительно и при этом для , то есть производные первого порядка не равны нулю одновременно. Последнее условие называется условием регулярности.

Если , то кривая называется гладкой.
Пример. Окружность имеет параметрические уравнения . Из курса математического анализа мы знаем, что эти функции бесконечно дифференцируемы. Кроме того, , то есть окружность – гладкая кривая.

Определение. Точку называют особой, если в ней , то есть все производные в этой точке обращаются в 0. Точка кривой, которая не является особой, называется регулярной.
Пример. Рассмотрим кривую - циклоида. Напомним, что циклоидой называется траектория точки окружности, катящейся по прямой без проскальзываний.

Найдем особые точки циклоиды: . Итак, в точках условие регулярности нарушается, то есть они являются особыми.
Пусть и - две гладкие кривые.

Определение. Говорят, что кривая получается из кривой заменой параметра , если найдется гладкое отображение такое, что

1) - сюръекция;

2) для всех , то есть - регулярно;

3) .

Если кривая получается из кривой заменой параметра, то часто говорят, что кривые и связаны заменой параметра, не указывая явно, какая кривая из какой получается, так как отношение между кривыми "быть связанным заменой параметра" является отношением эквивалентности. Докажем это.

 1) Рефлексивность очевидна. Всякая кривая получается из самой себя заменой параметра , - тождественное отображение, которое регулярно, так как .

2)Симметричность. Пусть кривая получается из кривой заменой параметра , то есть .Поскольку производная отлична от нуля всюду на и непрерывна на нем, то она либо всюду положительна на , либо всюду отрицательна на . Это означает, что функция строго монотонна на . Следовательно, существует обратная функция сюръективная, строго монотонная, непрерывная и дифференцируемая. Поскольку - регулярна, производная также регулярна на интервале . Следовательно, - замена параметра, .

3) Транзитивность. Пусть , , - гладкие кривые, связанные заменами параметра и , то есть , . Очевидно, кривые и также связаны между собой , где будучи композицией регулярных сюръекций, является заменой параметра. Ÿ
Предложение. Условие гладкости кривой инвариантно относительно замены параметра.

Ÿ Пусть кривые и связаны заменой параметра и - гладкая. Тогда вектор-функция имеет непрерывные производные производные всех порядков как композиция гладких функций. Кроме того, , то есть выполняется условие регулярности и - гладкая. Ÿ

Замечание. Если кривая получается из кривой заменой параметра, то часто говорят, что на кривой произведена допустимая замена параметра.
Пример. Пусть дана парабола . Рассмотрим замену параметра . Тогда - сюръекция, и парабола в новой параметризации имеет уравнения .

Рассмотрим . Имеем при . Условие 2) нарушается, следовательно, отображение не является заменой параметра.
Пусть в фиксирована прямоугольная декартова система координат и дана система уравнений , задающая некоторое множество точек в . Возникает вопрос, в каком случае является гладкой кривой? По теореме о неявной функции, доказанной в курсе математического анализа, получаем: пусть , существует окрестность точки , в которой функции и непрерывны и имеют частные производные первого порядка и в точке . Тогда существует окрестность такая, что - гладкая кривая. Если при этом в точке , то в окрестности систему уравнений можно разрешить относительно и ,то есть , где функции и имеют непрерывные производные первого порядка в соответствующем промежутке . Тогда параметрические уравнения кривой имеют вид .

Похожие:

Понятие кривой. Гладкие кривые iconГеометрические фракталы
На смену непрерывным кривым, обладающим всеми своими производными, пришли ломаные или очень изрезанные кривые. Ярким примером такой...
Понятие кривой. Гладкие кривые iconКривые второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка Определение
Определение Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют следующему общему...
Понятие кривой. Гладкие кривые iconДифференциальная геометрия
Кривые на плоскости и в пространстве: длина кривой, окружность кривизны, эволюта, кручение, формулы Френе
Понятие кривой. Гладкие кривые iconКривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента
Понятие кривой. Гладкие кривые iconКривые в экономике Кривая предложения
...
Понятие кривой. Гладкие кривые iconГруппы ли и алгебры ли
Гладкие многообразия. Гладкие отображения. Касательное пространство и дифференциал. Векторные поля и коммутатор векторных полей....
Понятие кривой. Гладкие кривые iconНетрадиционные кривые жцт
Помимо классической формы кривой жцт, когда четко определяются стадии внедрения товара на рынок, роста, зрелости и спада, можно выделить...
Понятие кривой. Гладкие кривые iconГиперэллиптические кривые над конечными полями
Целью спецкурса является ознакомление студентов с основными понятиями теории алгебраических кривых, свойствами гиперэллиптических...
Понятие кривой. Гладкие кривые iconРеферат на тему Кривые линии и поверхности, их применение в радиоэлектроники и микроавтоматике
Можно дать несколько различных определений кривой линии как геометрическому образу. Одно из них: кривая линия есть траектория перемещающейся...
Понятие кривой. Гладкие кривые iconДифференциально геометрические методы
Натуральное уравнение плоской кривой. Эволюты и эвольвенты плоских кривых. Кривые в пространстве. Кривизна и кручение, формулы Френе....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org