Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса



Скачать 40.92 Kb.
Дата11.07.2014
Размер40.92 Kb.
ТипДокументы
Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса

  1. Докажите, что среди любых 11 целых чисел можно найти 2, разность которых делится на 10.

  2. Обнаружив в 64 метрах от себя уползающую черепаху, Ахиллес начал ее преследовать. Сократив расстояние до черепахи в 8 раз и осознав свое превосходство, он прекратил погоню. Какой путь проделал Ахиллес с начала погони, если его скорость в 15 раз больше скорости черепахи? Движение Ахиллеса и черепахи проходило по одной прямой.

  3. Рассматриваются квадратичные функции y=x2+px+q, для которых p+q=2009. Найдите точку, в которой пересекаются все графики таких функций.

  4. На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P = 5 и площади S = 25. Взяли круг радиуса с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника, и закрасили его. Найдите площадь закрашенной фигуры F.

  5. Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали находилось четное число фишек?

Решение. 10 класс

  1. Докажите, что среди любых 11 целых чисел можно найти 2, разность которых делится на 10.

Если взять последовательно 11 чисел, то у двух из них обязательно будет одинаковое число единиц в разряде единиц, т.к. различных цифр всего – 10; это – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, т.е. среди 11 чисел какая-то цифра в последнем разряде встретится дважды. Эти два числа и дадут разность, которая делится на 10.

  1. Обнаружив в 64 метрах от себя уползающую черепаху, Ахиллес начал ее преследовать. Сократив расстояние до черепахи в 8 раз и осознав свое превосходство, он прекратил погоню. Какой путь проделал Ахиллес с начала погони, если его скорость в 15 раз больше скорости черепахи? Движение Ахиллеса и черепахи проходило по одной прямой.


За время t черепаха прошла путь vt и оказалась в точке D, а Ахиллес – 15 vt и оказался в точке B. По рисунку видно, что







(м) – прошла черепаха.

Тогда Ахиллес прошел



м

Ответ: 60 м.



  1. Рассматриваются квадратичные функции y=x2+px+q, для которых p+q=2009. Найдите точку, в которой пересекаются все графики таких функций.

I способ.

Подберем такое значение x, чтобы выражение p + q было связано со значением квадратичной функции y=x2+px+q в точке x.

Возьмем x=1.

Тогда


y(1) = 1+p+q = 1+2009=2010, (по условию)

Итак, для всех выписанных квадратичных функций выполнено



y(1)=2010.

Но это означает, что каждый из графиков этих квадратичных функций проходит через точку (1, 2010) координатной плоскости.



II способ.

Пусть - точка, в которой пересекаются все параболы. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению:



,

где .

Решим уравнение относительно х0.



,

т.к М – единственная точка, тогда:



Построив график этой функции, видим, что она имеет максимум в вершине параболы, т.е. при:



. При этом

Абсциссу точки найдем их уравнения:









Итак, в точке: пересекаются все графики функций.



  1. На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P = 5 и площади S = 25. Взяли круг радиуса с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника, и закрасили его. Найдите площадь закрашенной фигуры F.

Для определенности возьмем шестиугольник.

Закрашенную фигуру F можно разбить на несколько фигур:


  1. сам многоугольник M, его площадь:

S1 = 25

  1. n прямоугольников, площадь каждого из которых: , а общая их площадь:



  1. n секторов круга; Найдем сумму углов этих секторов:

,

где β – внутренний угол многоугольника. Сумма внутренних углов многоугольника равна:



Таким образом, сумма градусных мер всех секторов равна сумме внешних углов многоугольника M, т.е. равна 3600.

Значит, сектора составляют полный круг радиуса R, следовательно, их суммарная площадь равна площади круга радиуса R, т.е. равна:

Итак, сложив все найденные площади, получим:



Ответ:



  1. Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали находилось четное число фишек?

На шахматной доске имеется 64 клетки. 16 диагоналей, содержащих нечетное число клеток и не имеющих общих клеток. Следовательно, число фишек не может быть более, чем 64-16=48.

Можно поставить по фишке на каждую клетку доски, кроме клеток двух главных диагоналей, получится 48 фишек.






Похожие:

Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса iconМетодические рекомендации по разработке заданий для школьного и муниципального этапов всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011/2012 учебном году
Центральной предметно-методической комиссией по математике и направлены на помощь соответствующим методическим комиссиям и жюри в...
Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса iconЗадания школьного тура олимпиады по биологии. 9 класс. Работа выполняется 120 минут (2 астрономических часа). Задание №1
Вам предлагаются тестовые задания, требующие выбора только одного ответа из четырёх возможных
Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса iconГомулина Н. Н., методист по физике и астрономии
Данные задачи окружного тура астрономической олимпиады, который прошел в Москве в 14 января 2000 года, рекомендуется использовать...
Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса iconЗадания тестового тура муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по географии для 11 класса
Для какой из перечисленных стран характерен максимальный миграционный прирост населения?
Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса iconЗадания тестового тура муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по географии для 10 класса
Среди несамоуправляющихся территорий мира укажите ту, которая находится под управлением Франции
Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса iconЗадания школьного тура олимпиады по географии. 6 класс
Как изменилось бы положение со временами года на Земле, если бы земная ось была перпендикулярна плоскости земной орбиты?
Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса iconЗадачи школьного тура всеросскийской астрономической олимпиады
Решение каждого задания оценивается по 8-балльной системе с возможностью выставления оценки в 10 баллов. Максимальное количество...
Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса iconЗадания школьного тура олимпиады по географии. 8 класс
Классифицируйте географические понятия. Укажите принципы классификации. Подчеркните понятия, применимые к территории Москвы и Московской...
Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса iconReading Текст для чтения
Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по английскому языку для 11 класса. Время на выполнение заданий-120 мин....
Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса iconЗадания теоретического тура школьного этапа XXVI всероссийской олимпиады школьников по биологии. 2011 г. 7 класс Часть I
Для удобства проверки Вашего обоснования текст желательно разбить на четыре коротких абзаца – по числу проанализированных Вами вариантов...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org