Методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач математической геофизики в кусочно-однородных средах



Скачать 89.66 Kb.
Дата08.10.2012
Размер89.66 Kb.
ТипДокументы


В.Н. Кризский, д-р физ.-мат. наук

Стерлитамакский филиал АН Республики Башкортостан

(Россия, 453103, Стерлитамак, ул. Одесская, 64,

тел. (3473) 431039, Е-mail: Krizsky@rambler.ru)

Методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач
математической геофизики в кусочно-однородных средах

Аннотация. На основе методов интегральных преобразований, интегральных представлений и интегральных уравнений решения прямых трехмерных стационарных и нестационарных задач о потенциальных геофизических полях в кусочно-однородных средах с неизменяемыми во времени геометрическими и геофизическими характеристиками, строятся метод и рекуррентные алгоритмы, позволяющие поэтапно понижать геометрическую сложность решаемой задачи до уровня ее аналитической или численной разрешимости. Алгоритмы допускают распараллеливание и могут быть реализованы на вычислительных кластерах и многопроцессорных комплексах.

Формулируются обратные задачи и алгоритмы поиска границ сред, аппроксимированных сплайн-функциями, как экстремалей регуляризирующих функционалов.

Постановка задачи. Ряд важных геофизических процессов характеризуются полями, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка [1-3]:

. (0.1)

Здесь – точка пространства, , , – числовые коэффициенты, – функция интенсивности источников/стоков поля, – функция, описывающая геофизические свойства среды, – потенциал поля. Переменную интерпретируют как время. При имеем уравнения гиперболического типа (задачи сейсмики, распределения электромагнитных полей (ЭМП) в изоляторе – волновое уравнение /,/, ЭМП в области однородности среды – телеграфное уравнение/,gif" name="object10" align=absmiddle width=37 height=19>/). При и получим уравнения параболического типа (задачи диффузии, термометрии, распределения квазистационарных ЭМП). При и будем иметь эллиптические уравнения (задачи гравиметрии, геоэлектрики стационарных ЭМП – уравнение Пуассона или Лапласа // и монохроматические ЭМП – уравнение Гельмгольца //).

В кусочно-однородных средах , где функция – кусочно-постоянна, в области постоянства функции , уравнение (0.1) имеет вид: .

Разбиение расчетной области на кусочно-однородные подобласти с достаточно гладкими границами всегда можно осуществить. Количество подобластей будет определяться задаваемой точностью аппроксимации функции кусочно-постоянной функцией.

В силу принципа суперпозиции потенциальных полей, будем считать, что функция определяет интенсивность точечного источника в некоторой фиксированной точке области , т.е.: , где – дельта-функция Дирака.

На внешней границе ограниченной области в общем случае задают граничные условия третьего рода , , из которых при и получим, соответственно, условия первого – , а при и – второго рода. На бесконечной границе неограниченной области (для внешних краевых задач) определяют условия «регулярности» решения в виде: , при .

На границе контакта сред и с различными постоянными значениями , задают условия сопряжения четвертого рода – непрерывности потенциала и плотности потока физической величины:

; .

Кроме того, задачу для нестационарных случаев в зависимости от типа уравнения дополняют одним или двумя начальными условиями, описывая состояние системы в начальный момент времени: и .

В случае эллиптических уравнений функции , и, следовательно, не зависят от времени: , , .

Опишем алгоритмы решения таких задач, позволяющие понижать их геометрическую сложность (величину ) до уровня аналитической или численной разрешимости. Апробация алгоритмов для задач геоэлектрики приведена в [4].

1. Стационарный случай. Рассмотрим кусочно-однородную среду с внешней границей , состоящую из областей . Граница области , где и . Пусть в среде в точке находится точечный источник интенсивности . Математическая модель распределения потенциала поля в данной среде имеет вид:

; , ; (1.1)

, (1.2)



, , (1.3)

(1.4)

Здесь – множество номеров областей, граничащих с областью , – номера областей , участки границ которых являются частью внешней границы области , – номера областей с участками границ, уходящими в бесконечность, – вектор внешней нормали к границе.

Рассмотрим вспомогательную задачу, определяющую функцию Грина:

, ; (1.5)

,; (1.6)

, , (1.7)

. (1.8)

Задача (1.5)–(1.8) – задача эллиптического типа с оператором Гельмгольца

, .

Без ограничения общности рассуждений будем считать, что функция Грина определяется в среде, состоящей из первых областей .

Если , то решение задачи (1.1)–(1.4) имеет вид [2]:

,

где – номера участков внешней границы , на которых заданы условия второго или третьего рода при , а – номера участков внешней границы , на которых заданы условия первого рода (при ).

При рассмотрим в каждой области формулу Остроградского [2]:

,

подставляя в нее вместо функции функцию Грина , определяемую решением граничной задачи (1.5)–(1.8). Полученные интегральные представления решения в областях , умножим на и просуммируем по от до с учетом граничных условий (1.2)–(1.4) и (1.6)–(1.8). Получим интегральное представление решения задачи (1.1)–(1.4) в :

(1.9)

,,

согласно которому, решение исходной задачи (1.1)-(1.4) может быть найдено в любой точке кусочно-однородной среды , если определено решение задачи (1.5)–(1.8) – функция Грина и известны граничные значения потенциала на границах сред, не вошедших в задачу для функции Грина.

Опуская в (1.9) точку на каждую из поверхностей , получим систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода:





относительно неизвестных граничных значений потенциала . Здесь .

Метод обладает универсальностью – он позволяет варьировать вмещающее пространство от исходного сложно-построенного () до однородного ().

Данный подход допускает реализацию процедуры упрощения геометрии среды. Так как задача для функции Грина аналогична исходной задаче, но с меньшим числом областей , то для ее решения снова может быть применен описанный выше метод, в котором вторая функция Грина строится для области с количеством подобластей . Понижение геометрической сложности среды осуществляется до такого (), для которого задача для функции Грина будет разрешима аналитически или численно. Отметим, что для однородной среды (), для ряда областей , аналитические представления для функции Грина найдены [3]: известны функции Грина часто используемых в геофизике сред – однородного пространства , и полупространства с плоской границей и граничным условием первого рода на ней , где – расстояние между точками и , – точка, симметричная точке относительно границы.

Предложенный выше способ позволяет и усложнять геометрию пространства, так как кусочно-однородное пространство, для которого получено решение прямой задачи, может быть принято за вмещающее, т.е. может быть дополнено новым включением. К новой задаче применимы аналогичные формулы.

2. Нестационарный случай. Пусть в кусочно-однородной среде , состоящей из областей , , в среде в точке находится точечный источник, изменяющий свою интенсивность во времени по закону , и математическая модель распределения потенциала поля в точке в момент времени данной среды описывается начально-краевой задачей для уравнений гиперболического типа (сохранены обозначения п.1.):

, ; (2.1)

, , , ; (2.2)

, , (2.3)

, , (2.4)

; (2.5)

, . (2.6)

Применим к задаче (2.1)-(2.6) интегральное преобразование Лапласа:

, .

Получим однопараметрическое (по ) семейство эллиптических краевых задач:

, (2.7)

, , ; (2.8)

, (2.9)

, , (2.10)

(2.11)

с оператором Гельмгольца , .

Применяя к решению задачи (2.7)-(2.11) метод п.1 с функцией Грина , определяемой задачей вида (1.5)-(1.8), получим представление решения:

(2.12)

Граничные значения потенциала в (2.12) определяются системой интегральных уравнений Фредгольма:



(2.13)

Здесь .

Геометрическая сложность задачи (2.7)-(2.11) в пространстве образов преобразования Лапласа понижается как и в стационарном случае. Алгоритм описан в п.1.

Решение задач для уравнений параболического, а также смешанных типов, тоже дается формулами (2.12) и (2.13), в которых следует обнулить в соответствующих областях соответствующие коэффициенты .

Часто задачу (2.1)-(2.6) формулируют для отклонений (возмущений) поля от стационарного распределения, полагая начальные возмущения равными нулю (,). Это упрощает расчетные формулы (2.12), (2.13) – в них исчезают объемные интегралы по областям .

3. Обратные задачи поиска границ кусочно-однородных сред с различными геофизическими значениями величины актуальны в разведочной и промысловой геофизике.

В случае стационарных процессов обратная задача поиска в пространстве границы среды с постоянным значением параметра , как экстремали регуляризирующего функционала, по известным экспериментальным значениям потенциала, полученным на множестве , имеет вид: ,

где — решение прямой задачи (1.1)–(1.4), – априори известное описание границы, – множество изменения параметров параметрического описания границы, – параметр регуляризации.

Поиск параметрической границы , где включения сводится к поиску элемента компактного множества – конечномерного вектора , входящего в описание границы при ограничении вариации его компонент . А в общем случае – к поиску аппроксимирующей границу сплайн-функции , в котором конечномерным вектором является вектор значений функции в узлах сеточной области . Число параметров – есть количество узлов сетки .

Для нестационарных процессов возможны два подхода. Первый – это сведение к семейству стационарных задач применением преобразования Лапласа к временным трендам экспериментальным данных потенциала , и получению множества данных при различных значениях параметра из фиксированного набора . Затем – определение на решении прямой задачи (2.7)–(2.11) границы как экстремали функционала:

.

Второй подход – поиск границы на исходных экспериментальных данных , – минимизация на решении задач (2.1)–(2.6) функционала .

Список литературы

  1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики – Москва: Наука, 1972. 736 с.

  2. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. ­– Москва: Высшая школа, 1964. 560 с.

  3. Жданов М.С. Электроразведка. – Москва: Недра, 1986. 316с .

  4. Кризский В.Н. Математическое моделирование потенциальных геоэлектрических полей. – дисс. … д.ф.-м.н., Стерлитамак, 2004. 350 с.


Похожие:

Методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач математической геофизики в кусочно-однородных средах iconUse of information technology for identification of filtration parameters мухамбетжанов С. Т
Алгоритмы решения обратных задач базируются на алгоритмах решения прямых краевых задач. Поэтому в работе рассматриваются постановки...
Методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач математической геофизики в кусочно-однородных средах iconМатематическая модель трехмерной геологической среды с разломами для решения прямых и обратных задач геофизики

Методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач математической геофизики в кусочно-однородных средах iconУчебная программа Дисциплины 08 «Методы решения статистических задач акустики» по направлению 011800 «Радиофизика» Нижний Новгород
Основное внимание при чтении лекций уделяется приближенным методам решения задач распространения и рассеяния скалярных волн в средах...
Методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач математической геофизики в кусочно-однородных средах iconПрограмма по курсу "Методы решения обратных задач восстановления оптических изображений"
Программа обсуждена на заседании кафедры “Системы, устройства и методы геокосмической физики” (сумгф)
Методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач математической геофизики в кусочно-однородных средах iconЧисленные и численно-аналитические методы решения краевых задач геофизики и геомеханики
Распределение вязкости, структура конвективных течений и перемешивание в мантии земли
Методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач математической геофизики в кусочно-однородных средах iconО некоторых обратных задачах во фрактальных средах
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева,...
Методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач математической геофизики в кусочно-однородных средах iconНеустановившиеся движения в плотных средах (полугодовой)
Основная задача курса – изучение основных методов решения задач о распространении волн напряжения в различных средах
Методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач математической геофизики в кусочно-однородных средах iconКонспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики
Поэтому, чтобы в дальнейшем полнее раскрыть существо описываемых вариационных и проекционных методов, проиллюстрируем близость некоторых...
Методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач математической геофизики в кусочно-однородных средах iconПрограмма цикла обучения для стажеров-бакалавров Международного института информационных технологий (г. Пуна, Индия) по вычислительной аэрогидродинамике «Численные методы решения уравнений математической физики»
«Численные методы решения уравнений математической физики»
Методы и алгоритмы решения прямых и обратных задач математической геофизики в кусочно-однородных средах iconМетоды и алгоритмы решения задач управления человеческим капиталом в социально-экономической системе корпорации 05. 13. 10 Управление в социальных и экономических системах (экономические науки)

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org