Некоторые новые задачи теории потенциала



Скачать 46.85 Kb.
Дата08.10.2012
Размер46.85 Kb.
ТипДокументы
Некоторые новые задачи теории потенциала

Б.П. Кондратьев

Удмуртский госуниверситет, г. Ижевск
Нахождение притяжения и гравитационной энергии тел в астрономии представляет собой одну из самых важных задач. Ряд новых методов в теории потенциала был разработан в [1] и особенно в [2].

  1. Весьма продуктивным направлением является представление внешнего ньютоновского потенциала объёмных тел, имеющих азимутальную симметрию, с помощью круговых дисков и одномерных стержней. Такие стержни имеют, как правило, чисто мнимое распределение плотности, хотя их масса и гравитационное поле являются реальными. Основным элементом является представление потенциала однородного круглого диска с помощью мнимого стержня с распределением плотности

(1) Это позволяет, в частности, решить сложную задачу о внешнем потенциале такого диска

(2) где

(3)

Доказана

Теорема. Для однородного осесимметричного тела плотность распределения гравитирующего вещества в точке ζ на одномерных замещающих стержнях даётся интегралом

(4) где задаёт контур фигуры, а пределы интегрирования находятся из некоторых дополнительных условий.

Формула (4) позволяет найти эквигравитирующие стержни для многих объёмных тел. Так, для сфероида плотность стержня равна

(5) Шаровой сегмент имеет стержень с плотностью

(6)

Для нахождения стержней применяется также методы теории функций комплексного переменного. С помощью модифицированного интеграла Коши выводится формула

(7) где через обозначены значения потенциала на разных ветвях стягиваемого контура. Данный метод является практически наиболее часто применяемым.

Для астрономии важным является применение данной теории для вычисления потенциалов различных неоднородных плоских дисков. Доказана

Теорема. Одномерным эквигравитирующим телом для диска с плотностью является стержень «длиной» с мнимой линейной плотностью

(8)

Возможен переход от стержня к эквигравитирующему диску

gif" align=bottom> (9)

Диски могут существовать только для тел с экваториальной плоскостью симметрии, а значит – только для стержней с симметричным относительно центра распределением массы. Так, для диска с плотностью

(10) эквигравитирующий стержень имеет плотность

(11)

II. В теорию вводится понятие обобщённых софокусных преобразований. Дан эллипсоид с внутренней стратификацией

(12) Промежуточная поверхность имеет, следовательно, квадраты полуосей

(13) Выполним теперь такое преобразование этой промежуточной поверхности в другую эллипсоидальную поверхность, при котором новые квадраты полуосей будут равны

(14) Очевидно, что фокусы поверхности окажутся совпадающими с фокусами новой поверхности Поэтому преобразование (14) для краткости назовём софокусным. Подчеркнём, что здесь расширяется понятие обычных софокусных преобразований на эллипсоидальные оболочки самого общего вида

Теорема. Важнейшим свойством двух элементарных оболочек, связанных преобразованием (14), является то, что при одинаковой массе они имеют во внешнем пространстве один и тот же ньютоновский потенциал, т.е. такие софокусные в обобщённом смысле оболочки являются эквигравитирующими.

Методом софокусных преобразований найдены эквигравитирующие диски и стержни для слоисто-неоднородных сфероидов с распределением плотности

(15)

(16) Пример. Для сфероида с плотностью

17) хорошо моделирующего при соответствующем β распределение поверхностной яркости в Е-галактиках, заменяющие диск и стержень имеют плотности

(18)

(19)
III. Использование классической формулы для вычисления гравитационной энергии

(20)

на практике редко приводит к цели. Причина затруднений ясна: в конечной аналитической форме даже сам потенциал известен лишь для немногих тел; следующий же шаг - нахождение

потенциальной энергии тела – предполагает ещё и вычисление объёмных интегралов, под знаком которых стоит этот потенциал или его производные. К тому же, потенциальная энергия не относится к величинам, аддитивным по массе (заряду), и даже зная энергию тела в целом, нельзя ничего сказать об энергии его отдельных частей (справедливо и обратное!). Например, гравитационная энергия однородного цельного шара хорошо известна. Но любая попытка найти, опираясь на обычные подходы, энергию какой-либо части того же шара, будь то сегмент или шаровой слой, оказывается уже совершенно безрезультатной. Итак, известные методы позволяют найти W лишь для однородных шаров и эллипсоидов.

Но во Вселенной существуют тела и другой формы и, вдобавок, неоднородные. Сложную форму имеют, например, астероиды. А как поступать, если требуется знать потенциальную энергию слоёв, лежащих на телах сложной формы? Чтобы преодолеть кризисную ситуацию, нужны новые идеи и методы в этой трудной области математической физики. В [2] представлено двенадцать новых методов нахождения потенциальной энергии объёмных тел, а также несколько специальных методов для двумерных фигур и для тел с логарифмическим потенциалом. Отдельно изучаются слои и двумерные фигуры. Каждый из методов решает определённый класс задач. К тому же, важен контроль результатов, полученных разными методами. Большинство задач можно решить только новыми методами.

В основе нескольких методов лежит новая формула [2]

, (21) где интегрирование проводится уже по поверхности однородной фигуры. Она заменяет обычную формулу (20), основанную на объёмном интегрировании.
[1] Кондратьев Б.П. Динамика эллипсоидальных гравитирующих фигур. Москва, Наука, 1989.

[2] Кондратьев Б.П. Теория потенциала и фигуры равновесия. Москва-Ижевск: РХД, 2003.

Похожие:

Некоторые новые задачи теории потенциала iconСписок лучших работ по поми за 2008 год
Факторизация матриц-функций позволяет получать решения ряда новых сложных задач математической теории дифракции. Используя некоторые...
Некоторые новые задачи теории потенциала iconОсновные обозначения и определения
В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу и теории дифференциальных уравнений. Определены...
Некоторые новые задачи теории потенциала iconЛекция Некоторые исторические сведения о возникновении и развитии теории вероятностей
Они были убеждены в том, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. Формально-математический аппарат,...
Некоторые новые задачи теории потенциала iconКак можно решить некоторые проблемы теории плазмы точно
Почти всегда нельзя их решить точно. Часто прибегают к приближенным численным или графическим методам. Иногда удается найти аппроксимацию...
Некоторые новые задачи теории потенциала icon1. 1 Некоторые задачи физики 3 Производная
Некоторые задачи физики. Рассмотрим простые физические явления: прямолинейное движение и линейное распределение массы. Для изучения...
Некоторые новые задачи теории потенциала iconИнтегральные уравнения с ядрами типа потенциала и монотонной нелинейностью
Используя методы теории монотонных операторов, в вещественных весовых пространствах Лебега доказываются теоремы существования и единственности...
Некоторые новые задачи теории потенциала icon1 Общая характеристика школы и условия ее функционирования
Многие инициативы и решения Президента рф, Правительства РФ продиктованы необходимостью отвечать на всё новые и новые вызовы, ставить...
Некоторые новые задачи теории потенциала iconПарапсихология и психофизика. 1999. №1. С. 155-158. Принципы теории вакуумных экранов
Настоящая работа является логическим продолжением работы [1]. Введены основные положения теории каналов, проведены некоторые расчеты...
Некоторые новые задачи теории потенциала iconМ. Б. Менский Представлен обзор некоторых концептуальных проблем квантовой механики, их современного статуса и вытекающего из них развития теории. Анализируются специфика запутанных (entangled) состояний квантовой
Квантовая механика: новые эксперименты, новые приложения и новые формулировки старых вопросов
Некоторые новые задачи теории потенциала iconО недоказуемости некоторых метаматематических очевидностей в работе рассматриваются некоторые новые аспекты логики «правдоподобных»
В работе рассматриваются некоторые новые аспекты логики «правдоподобных» метаматематических «рассуждений», используемых в системах...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org