4. линейные операторы



Скачать 231.83 Kb.
Дата08.10.2012
Размер231.83 Kb.
ТипДокументы

4. линейные операторы


















Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение A называется линейным оператором из Xn в Ym , если оно сохраняет линейные зависимости, т.е. образ линейной комбинации есть такая же (т.е. с теми же коэффициентами) линейная комбинация образов. Более точно:  x1,x2 Xn, 1,2 R



Отметим, что в случае линейных операторов обычно пишут Ax , а не A(x), и говорят “результат действия оператора A на элемент x”, а не “значение A от x”, хотя и функциональная терминология иногда употребляется.1 Теория линейных операторов есть теория самых простых и, одновременно, самых важных функций в линейных пространствах.

В частном случае пространства Xn и Ym могут и совпадать, тогда говорят, что линейный оператор отображает Xn “в себя”.

Линейный оператор, отображающий линейное пространство X на вещественную прямую R, называется линейным функционалом на X.

Совокупность образов всех элементов пространства Xn образует подпространство в Ym, это подпространство называется образом оператора A и обозначается ImA или ImA, образ любого подпространства Zm Xn также является подпространством и обозначается ImA(Zm).

Размерность образа ImA называется рангом оператора и обозначается rg(A): rg(A) = dim ImA

Очевидно, A(0X)=0Yобраз нуль-вектора при линейном отображении всегда нуль-вектор; индексы внизу указывают на тот факт, что это, вообще говоря, нуль-векторы из разных пространств.


Прообраз 0Y при линейном отображении всегда подпространство, это подпространство называется ядром оператора и обозначается KerA или KerA; более подробно: xKerA  Ax=0Y (вектор x принадлежит ядру оператора A тогда и только тогда, когда оператор A переводит этот вектор в 0Y). Размерность ядра называется дефектом оператора и обозначается def(A): def(A)=dim KerA

Теорема 6. Пусть линейное отображение. Тогда:

rg(A) + def(A) = n  dim ImA + dim KerA = dim X (5)2

Отметим, что ядро и образ оператора (KerA и ImA) лежат, вообще говоря, в разных пространствах – ядро в пространстве-прообразе Xn, а образ в пространстве-образе Ym .

Равенство def(A)=0 означает, что ядро A нульмерно и, следовательно, содержит единственный элемент – нуль-вектор, такой оператор называется невырожденным; если def(A)>0, оператор называется вырожденным.

Линейный оператор , отображающий пространство большей размерности в пространство меньшей размерности (n>m) всегда вырожденный, и def(A)  n–m (следует из (5)).

Линейный функционал всегда вырожден, если прообраз имеет размерность больше единицы (если n>1), причем размерность ядра линейного функционала равна n-1.3

4.1 Действия над операторами


На множестве операторов с общими пространствами определения и значений естественным образом определяются операции сложения и умножения на число. Пусть A и B линейные операторы, отображающие Xn в Ym. Тогда их сумма тоже линейный оператор D=A+BDx=Ax+Bx xXn. Аналогично, D = ADx = AxxXn.

Легко убедиться, что множество операторов, отображающих Xn в Ym, образует линейное пространство, т.к. все аксиомы сложения и умножения на число выполнены.

В пространствах операторов кроме обычных линейных операций можно ввести и операцию умножения. Пусть A и B линейные операторы, отоб­ра­жающие Xn в себя. Последовательное применение линейных операторов называется произведением оператора A на B или композицией отображений. C = ABCx = A(Bx) xXn. Произведение операторов, вооб­ще говоря, не коммутативно, т. е. AB  BA 4.

4.2 Примеры линейных операторов


1. Тождественный оператор – оператор, который отображает пространство Xn в себя и каждому xXn ставит в соответствие его самого называется тождественным оператором и обозначается E: Ex = xxXn. У тождественного оператора образ – все пространство, а ядро содержит только нуль-вектор.

Оператор, который каждому xXn ставит в соответствие нуль-вектор 0Y, называется нулевым оператором; у нулевого оператора ядром является все пространство, а образ содержит только один вектор 0. Нулевой оператор играет роль нуль-вектора в пространстве операторов. Тождественный и нулевой оператор коммутируют с любым оператором, который отображает Xn в себя.

2. Оператор Px проектирования на ось x ставит в соответствие любому вектору на плоскости a его проекцию ax на ось x.






У оператора Px образом является ось x, а ядром – ось y .
3. Оператор поворота на угол  вектору a на плоскости ставит в соответствие вектор, который получается из a поворотом в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол  (на рисунке угол равен /2). Оператор поворота не коммутирует с оператором проектирования (проверьте!).






Ядро оператора поворота содержит только 0, а образом оператора поворота является вся плоскость.

4. Оператор S покоординатного сдвига в K3 ставит в соответствие вектору aK3 вектор SaK3 по следующему правилу: т.е. i-ая координата получает значение i1-ой координаты, а первая координата заменяется нулем.

4. Оператор Dx = дифференцирования по x в пространстве многочле­нов, степени не выше n переводит многочлен

Pn(x) = n x+ n-1xn n-1 + … + 1x + 0

в элемент того же пространства  многочлен, степени не выше n-1:

(Pn(x))′ = P n-1(x) = nn xn-1 + (n-1)n-1xn-2 + … + 22x + 1

Поскольку оператор дифференцирования все константы (многочлены степени 0) переводит в нуль, это вырожденный оператор с одномерным ядром  подпространством многочленов степени 0.

4.3 Линейные уравнения


Уравнение

Ax = b (6)

где A – линейный оператор , называется линейным уравнением; если в правой части стоит нуль-вектор (b = 0), уравнение называется однородным

Ax = 0 (7) 5

По определению ядра оператора множество решений уравнения (7) совпадает с ядром A.

Пусть x1 – решение неоднородного уравнения (6), а y любое решение соответствующего6 однородного уравнения (7). Тогда их сумма есть решение уравнения (6) :

A(x1 + y) = A x1 + Ay = b + 0 = b .

Обратно, пусть x1, x2 – различные решения неоднородного уравнения (6). Тогда их разность есть решение уравнения (7), т.е.– вектор из ядра опера-тора A.

A(x1 – x2) = Ax1 – Ax2 = b – b = 0 .

Таким образом, получается следующий результат:

1. Если оператор A невырожденный (ядро содержит только 0), то решение уравнения Ax = b всегда единственно, а размерность образа равна n размерности пространства X, в котором оператор определен. Если невырожденный оператор A отображает X в себя7, то решение уравнения (6) всегда существует (у всякого bX есть прообраз).▄

2. Если A вырожденный оператор, то размерность ядра больше 0. Пусть def(A) = k>0 и – базис ядра. Тогда общим решение однородного уравнения Ax = 0 является общий вектор y из ядра оператора y = 1f1 + 2f2 + kfk , где {1…k} – любые числа.

Далее, если A вырожден, то решение неоднородного уравнения Ax = b всегда не единственно (если оно существует), и общее решение неоднородного уравнения (6) имеет вид:

xобщ = x0 + y = x0 + 1f1 + 2f2 + kfk (8)

Здесь xобщ – общее, x0 – некоторое частное решение уравнения (6), а 1f1+2f2 kfk – произвольный вектор из ядра A. 8

В этой ситуации размерность образа равна (теорема 6) rg(A)=n-k; решение существует при всяком bYm только в том случае, когда размерность m пространства образов Y равна n-k: m = n-k= rg(A). В частности, если A отображает X в себя, то решение не всегда существует (не у всякого bX есть прообраз).▄

Изложенный выше результат называется альтернативой Фредгольма.

Разрешение вопроса о том, является ли данный линейный оператор вырожденным, и если да, то как найти его ядро, требует применения техники матричного исчисления, которая будет изложена ниже.

4.4 Матрица линейного оператора


Пусть A: – линейный оператор, – базис в пространстве-прообразе Xn , а – базис в пространстве-образе Ym , и пусть при отображении A базисные векторы отображаются в векторы , т.е. Aei = ai

Поскольку все ai Ym , то они имеют соответствующие координаты в базисе . Матрица A , в которой по столбцам стоят координаты образов базисных векторов Xn относительно базиса Ym, называется матрицей оператора относительно базисов и . То есть, утверждение, что оператор A:в базисах и эквивалентно системе равенств:

(9)

Таким образом, элемент akj матрицы A означает k-ую координату образа j-го базисного вектора.

Если оператор A отображает пространство Xn в себя, то матрица оператора – квадратная порядка n, и по столбцам стоят координаты образов базисных векторов в этом же базисе.

Совокупность – образов базисных векторов при отображении A образует полную систему в образе оператора ImA, т.е. если yImA , то он раскладывается (может, неединственным образом) по векторам ai.

Основной смысл введения матрицы оператора состоит в следующем фак­те: результат действия оператора A на любой вектор равен результату умножения матрицы A на этот вектор. Тем самым абстрактная теория линейных операторов получает средство для конкретных вычислений – если матрица оператора построена, то можно вычислить результат действия оператора на любой вектор, если известны его координаты в том же базисе, в котором построена матрица оператора. Недостаток такого подхода – несколько громоздкие формулы с большим количеством индексов, которые нужно внимательно читать, и зависимость результатов от выбора базиса. Поэтому желательно вести рассуждения параллельно на языке операторов и на языке матриц – только оба представления дают полную картину.

Теорема 7. Пусть A  линейный оператор, A  его матрица в некотором базисе. Тогда ранг матрицы A равен рангу оператора A: rg(A) = rg(A)▄

В самом деле, любой yImA представим в виде линейной комбинации ai 9, т.е. в виде линейной комбинации столбцов матрицы A. Значит, размерность образа ImA (а это и есть ранг оператора) равна числу независимых столбцов матрицы A , т.е. ее рангу. ▄

Матрица оператора не вырождена (напомним, что это означает, что матрица квадратная и detA  0) тогда и только тогда, когда не вырожден оператор (напомним, что это означает dim Ker A = 0 , т.е. ядро содержит только нуль-вектор).

Матрица произведения операторов равна произведению их матриц в том же порядке (разумеется, все матрицы определяются в одном базисе).

4.5 Примеры


1.Тождественный оператор E имеет единичную матрицу E в любом базисе.

Аналогично, нулевой оператор имеет в любом базисе нулевую матрицу.

2. Оператор проектирования на ось Px имеет матрицу (для плоскости!): поскольку переводит вектор i в себя, а вектор j – в нуль-вектор. Матрица Px очевидно вырождена.

3. Оператор поворота на угол  имеет в стандартном базисе на плоскости матрицу (проверьте!). Эта матрица очевидно не вырождена det = 1.

4. Оператор S покоординатного сдвига в K3 (см. пример 3 предыдущего параграфа) в стандартном базисе имеет матрицу Матрица, а значит и сам оператор, очевидно вырождены. Оператор S являет собой пример нильпотентного оператора, т.е. такого, некоторая степень которого равна 0.

S S = S = , а третья степень - S23 = (0)3.10

Таким образом, в отличие от чисел, если произведение двух матриц равно (0)k, это еще не значит, что одна из них (0)k , правда, определитель нильпотентной матрицы обязательно равен нулю.

5. Оператор дифференцирования по х Dx = в 4-х мерном пространстве многочленов, степени не выше трех, базисные векторы пространства {} переводит в векторы Dxe1 = 0, Dxe2 =1, Dxe3 = 2e2, Dxe4 = 3e3. Соответственно, матрица оператора в стандартном базисе имеет вид11: . Очевидно, что Dx вырожденный нильпотентный оператор.

4.6 Переход к новому базису


Пусть некоторый базис в Xn , а – другой базис в Xn . Построим матрицу C, по столбцам которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе. Такая матрица называется матрицей перехода.

12

Обратный переход от к осуществляется с помощью обратной матрицы C. Т.к. столбцы матрицы C линейно независимы, то det C 0 и, значит, обратная матрица C-1-1 существует (см. формулу (4)).

Пусть вектор x имеет координаты в базисе и координаты в базисе . Тогда между ними существуют такие соотношения:

= C = C-1 (10)

Как видно, умножение на матрицу перехода переводит базис в ба­зис , а координаты х′ в координаты х . Таким образом, координаты век­тора преобразуются обратно к преобразованию базисов – новые координаты вектора вычисляются по старым координатам с помощью матрицы C-1 .

Теорема 8. Матрица линейного оператора при переходе от старого базиса к новому преобразуется следующим образом

- (11)▄

Отметим, что хотя матрица оператора изменяется при переходе от базиса к базису, однако определитель матрицы при таком переходе не изменяется

13

Такие величины, которые не изменяются при переходе от одного базиса к другому, называются инвариантами. Полученный результат свиде­тельст­вует, что определитель является инвариантом матрицы линейного оператора.

4.7 Собственные значения и собственные векторы линейного оператора


Коль скоро линейный оператор имеет различные матрицы в разных базисах, разумно поставить вопрос о “наилучшем базисе”, т.е. о таком базисе, в котором матрица оператора имеет наиболее простой и удобный вид. Наиболее простую структуру имеет диагональная матрица



С точки зрения вычислительной процедуры, действие оператора A на любой вектор b сводится к умножению вектора b на матрицу оператора A; если эта матрица диагональная, мы получим:

.

Как видим, в этом случае действие оператора A на вектор b сводится к умножению каждой k–ой компоненты вектора на k–ое диагональное число, в частности, действие на k-й базисный вектор сводится к умножению этого вектора на k. Определитель такой матрицы также вычисляется очень просто – он равен произведению диагональных элементов матрицы detA = 12…n . Таким образом, видно, что диагональная форма матрицы линейного оператора действительно очень удобна, и потому следует изучить вопрос о возможности приведения матрицы линейного оператора к диагональной форме.

Пусть A: – линейный оператор. Вектор a0 называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному числу (собственному значению) , если действие оператора A на вектор a сводится к умножению вектора a на число 14 .

Aa = a (12)

Из определения видно, что если собственный вектор входит в базис, то отвечающий ему столбец в матрице A содержит только диагональный элемент, а все остальные элементы такого столбца равны 0.

Теорема 9. Собственные векторы {a1, a2, … ak,} оператора A, отвечающие попарно различным собственным значениям {1, 2,… k,} образуют линейно независимую систему векторов. ▄

Следовательно, если у оператора есть n различных собственных значе­ний, у этого оператора есть базис из собственных векторов. В этом базисе матрица оператора имеет диагональный вид, а по диагонали стоят соответст­вующие собственные числа, поскольку действие оператора на собственный вектор сводится к умножению на соответствующее собственное число.

Для того, чтобы найти собственные векторы оператора A, перепишем уравнение (12), используя единичную матрицу E:

Aa = a Aa = Ea Aa – Ea = 0 (A – E)a = 0 (13)

Чтобы уравнение (13) имело ненулевые решения необходимо, чтобы оператор (A – lE), а значит и матрица (A – E) были вырожденными. Отсюда ясно, что число  является собственным числом оператора A тогда и только тогда, когда оно является корнем уравнения

det (A – E) = 0 (14)15

Если раскрыть определитель, стоящий в левой части (14), то увидим, что он представляет собой многочлен степени n, этот многочлен называется характеристическим многочленом линейного оператора или характеристическим многочленом матрицы.16 Задача нахождения собственных чисел оператора сводится к нахождению корней характеристического многочлена, то есть, к решению уравнения степени n. Если у этого уравнения есть n различных корней, то можно построить базис из собственных векторов. Как найти собственные векторы, отвечающие уже найденным собственным значениям, будет рассмотрено в следующей главе.

1 Напомним, что если Ax = у, то у называется образом элемента x, а x прообразом у.

2 Прочтите словами!

3 У функционала размерность образа равна 1, поскольку векторы отображаются в ве­щественные числа (см. теорему 6).

4 Строго говоря, для определения умножения операторов не обязательно, чтобы оба оператора действовали в одном пространстве. Достаточно если область значений (образов) левого сомножителя принадлежала области определения правого сомножи- теля – если и то определен линейный оператор С = BA.

5 Учитывая, что x и b – вообще говоря, многомерные векторы, уравнение (2) можно рассматривать как векторную запись системы линейных уравнений.

6 “ Соответствующего ” – т.е. однородного уравнения с тем же оператором A .

7 Строго говоря, результат имеет место в том случае, когда размерность образа равна размерности прообраза

“Общий” в смысле любой, а любой вектор из ядра, как и любое решение однородного уравнения, представляется в виде линейной комбинации базиса ядра .

8 Таким образом, совокупность всех решений есть подпространство, сдвинутое на вектор x0 – “плоскость”, не проходящая через начало координат (0-вектор).

9 Действительно, т.к. yÎImA найдется xÎXn ,такой что Ax=y. Т.к. y есть линейная комбинация базисных векторов , то x есть такая же линейная комбинация образов векторов ei , т.е. векторов ai

10 (0)3. нулевая матрица третьего порядка.

11 Напомним, что по столбцам стоят координаты образов базисных векторов,

12 Обратите внимание, что векторы ei умножаются на элементы k-го столбца матрицы C, чтобы получить вектор .

13 Напомним, что = 1.

14 Т.е. оператор изменяет “длину” своего собственного вектора, но не изменяет “направления”.

15 Действительно, уравнение (12) может иметь нетривиальные решения, только если оператор A – l E –вырожденный, т.е. если det(Al E)=0.

16 Отметим, что хотя матрица оператора меняется при переходе от базиса к базису, но определитель матрицы при этом не меняется. Т.к. характеристический многочлен это определитель, то и он является инвариантом, поэтому имеет смысл говорить о характеристическом многочлене и собственных числах матрицы.



Похожие:

4. линейные операторы iconDf. Вектор – это элемент векторного пространства (пространство с аксиомами для векторов). Df
Вопрос Линейные операторы (ЛО) в конечномерном пространстве и их матричное представление. Характеристический многочлен, собственные...
4. линейные операторы icon2. линейные операторы над векторным пространством
Корневые подпространства. Жорданова нормальная форма. Теорема Гамильтона—Кэли. Комплексификация линейного оператора. Собственные...
4. линейные операторы iconЛинейные операторы методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 1 Москва 2005
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 1...
4. линейные операторы iconУрок 5 Тема: Простейшие линейные программы. Арифметические выражения. Оператор присваивания. Вопросы для повторения
Линейная программа (конструкция следования) содержит в себе операторы ввода, вывода и присваивания. Операторы линейного алгоритма...
4. линейные операторы iconЗанятие Ввод вывод. Операторы Read (Readln), Write (Writeln). Простейшие линейные программы 11 Операторы Write и WriteLn 11
Занятие Язык программирования Паскаль. Знакомство со средой программирования Турбо Паскаль. Основные понятия. Первая программа. Оператор...
4. линейные операторы iconЛекция I. Функциональные пространства. 3 часа
Евклидово пространство, норма вектора. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Норма оператора в евклидовом пространстве. Линейные...
4. линейные операторы iconЛинейные операторы
Линейным оператором, действующим из линейного пространства h в линейное пространство H1, называется отображение, удовлетворяющее...
4. линейные операторы icon" Линейные операторы векторных пространств"
Матрица линейного оператора. Взаимно-однозначное соответствие между линейными операторами и их матрицами
4. линейные операторы iconЛекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства
Определение. Отображение : Kn  Kn называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям
4. линейные операторы iconКонтрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы»
Будет ли линейным оператором векторного пространства R3 отображение j ( x1, x2, x3 ) = ( x1 – x2,0, x1 x3 ). Определить его матрицу,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org