Алгебра и геометрия



Скачать 86.53 Kb.
Дата08.10.2012
Размер86.53 Kb.
ТипДокументы
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики, факультет физико-математических и естественных наук

Обязательная дисциплина, привязанная к семестрам.

Трудоемкость:

I семестр - 4 кредитов, 4 часа лекций и 2 часа практических занятий в неделю

II семестр - 3 кредита, 2 часа лекций и 2 часа практических занятий в неделю

Цель курса


Познакомить студентов с базовыми понятиями современной математики – группами, кольцами, полями, многочленами, линейными пространствами, евклидовыми пространствами, линейными операторами, определителями, системами линейных уравнений, линейными и билинейными функциями, кривыми 1-го и 2-го порядка на плоскости, поверхностями 1-го и 2-го поряка в пространстве.

Содержание курса


Тема 1. Комбинаторика, бином Ньютона. Поле комплексных чисел.

Тема 2. Соответствия. Функции. Отношения. Отношение эквивалентности.

Соответствия. Функции. Инъекции, сюръекции, биекции, их свойства. Подстановки, транспозиции, операции над подстановками, их свойства. Циклы. Четность. Отношения. Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества в объединение непересекающихся классов. Фактор-множество.

Тема 3. Системы линейных уравнений (СЛУ).

Системы линейных уравнений. Эквивалентные системы. Элементарные преобразования (ЭП) систем, их свойства. Приведение систем к ступенчатому виду методом Гаусса. Исследование и решение систем ступенчатого вида. Метод Жордана.

Тема 4. Определители.

Определители. Полилинейность и кососимметричность определителя по строкам и по столбцам. Обратная теорема. Определитель транспонированной матрицы и матрицы с углом нулей. Разложение определителя по столбцам и по строкам. Теорема о полном разложении определителя. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Теорема Лапласа.

Тема 5. Группы, кольца, поля.

Алгебраические операции, универсальные алгебры. Полугруппы, моноиды, группы, кольца, поля. Примеры, свойства. Кольцо вычетов по модулю m. Поля. Поле вычетов по простому модулю. Простые поля. Характеристика поля.

Тема 6. Линейные пространства.

Линейное пространство, определение, основные свойства, примеры. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность линейного пространства. Базис линейного пространства. Теоремы о базисах. Теорема о дополнении линейно независимой системы векторов до базиса линейного пространства.

Координаты вектора. Операции над векторами в координатной форме. Пространство строк длины n. Изоморфизм линейных пространств. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка и ранг системы векторов. Система образующих. Теорема Кронекера-Капелли. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.


Определение ранга матрицы через миноры. Свойства ранга. Теорема о ранге матрицы (эквивалентное определение). Применение понятия ранга к решению систем линейных уравнений.

Общее решение однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Общее решение неоднородной СЛУ.

Тема 7. Алгебра матриц.

Определение и свойства умножения прямоугольных матриц. Умножение квадратных матриц. Обратная матрица (левая и правая). Матричный вид СЛУ. Определитель произведения матриц. Решение матричных уравнений. Нахождение обратной матрицы. Ранг произведения матриц. Транспонирование произведения матриц.

Тема 8. Аналитическая геометрия. Алгебра векторов.

Линейные операции над векторами в трехмерном пространстве. Репер. Скалярное, векторное и смешанное произведение.

Тема 9. Прямые и плоскости.

Уравнения прямой на плоскости и в пространстве, параметрические уравнения в векторной и в координатной форме, канонические уравнения.

Уравнения плоскости, параметрические уравнения в векторной и в координатной форме, общее уравнение.

Расстояние от точки до прямой и до плоскости, расстояние между прямыми, углы между прямыми и плоскостями, взаимное расположение прямых и плоскостей, пересечения прямых и плоскостей.

Тема 10. Кривые 2-го порядка.

Кривые 2-го порядка. Приведение общего уравнения к каноническому виду. Свойства эллипса, гиперболы, параболы. Фокусы, эксцентриситет, директрисы, центр, асимптоты.

Тема 11. Поверхности 2-го порядка.

Поверхности 2-го порядка. Свойства эллипсоидов, гиперболоидов, параболоидов, конусов, цилиндров.

Тема 12. Алгебра многочленов.

Алгебра многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов и натуральных чисел, свойства. Алгоритм Евклида.

Производная многочлена, кратные корни.

Основная теорема алгебры (без доказательства). Алгебраически замкнутые поля, формулы Виета. Разложение многочлена на неприводимые над полями действительных и комплексных чисел.

Тема 13. Поле рациональных функций.

Построение поля рациональных функций. Теорема о разложении рациональной функции на простейшие дроби.

Тема 14. Линейные операторы.

Линейный оператор и его матрица. Изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры матриц. Матрица перехода к новому базису. Изменение координат вектора и матрицы линейного отображения при изменении базисов. Эквивалентные матрицы.

Тема 15. Подпространства.

Операции с подпространствами. Размерность суммы и пересечения подпространств.

Прямая сумма подпространств. Теоремы о прямых суммах. Задание подпространства однородной системой линейных уравнений.

Тема 16. Структура линейного оператора.

Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект. Свойства. Невырожденные линейные операторы. Матрица линейного оператора.

Инвариантные подпространства. Собственные векторы и значения, характеристический многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.

Диагонализируемые операторы. Существование инвариантного подпространства размерности 1 для поля С и размерности ≤2 для поля R.

Тема 17. Евклидовы и унитарные векторные пространства.

Евклидовы и унитарные векторные пространства. Общие свойства. Примеры. Неравенства Коши-Буняковского, треугольника. Матрица Грама.

Ортонормированный базис. Ортогональное дополнение. Ортогонализация базиса по Граму-Шмидту.

Изометрии. Ортогональные преобразования и их свойства. Группы О(Е) и О(n), SО(Е) и SО(n). Линейные функционалы на евклидовых и унитарных пространствах.

Дуальные линейные пространства. Комплексификация и овеществление линейных пространств. Сопряженные линейные отображения. Сопряженные линейные операторы. Канонический изоморфизм Е* Е.

Тема 18. Операторы в евклидовых и унитарных пространствах.

Структура ортогонального и самосопряженного оператора. Структура унитарного и эрмитова оператора.

Группы U(n) и SU(n).

Тема 19. Билинейные и квадратичные формы.

Билинейная и квадратичная формы над полем K. Матрица формы в новом базисе. Эквивалентные формы. Ранг формы. Канонический вид формы. Метод Лагранжа. Нормальный вид формы. Закон инерции. Классификация форм по знаку. Критерий Сильвестра.

Тема 20. Формы в евклидовых и унитарных пространствах.

Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве, их канонический вид. Приведение пары форм.

Тема 21. Понятие о нормальной форме Жордана матрицы линейного оператора.

Темы коллоквиумов

Коллоквиум № 1. Комбинаторика, бином Ньютона. Поле комплексных чисел. Функции. Отношения. Отношение эквивалентности. Системы линейных уравнений. Определители. Группы, кольца, поля. Линейные пространства.

Коллоквиум № 2. Линейные операторы. Подпространства. Структура линейного оператора. Евклидовы и унитарные векторные пространства.

Темы итогового контроля знаний после 1-го семестра с 1 по 13.

Темы итогового контроля знаний после 2-го семестра с 14 по 21.

Темы контрольных работ

Контрольная работа № 1. Системы линейных уравнений. Подстановки. Определители.

Задачи:

  1. Решение СЛУ по Гауссу или по Жордану.

  2. Решение СЛУ по Крамеру.

  3. Задача на подстановки.

4-6.Вычисление определителей.

Контрольная работа № 2. Ранг системы векторов. Общее решение НСЛУ. Матричные уравнения. Обратная матрица.

Задачи:

  1. Нахождение ранга системы векторов, коэффициентов линейной зависимости, базиса линейной оболочки.

  2. Задание линейной оболочки системой ЛУ.

  3. Нахождение общего решения НСЛУ.

  4. Задача на зависимость ранга системы векторов от .

  5. Решение матричного уравнения с помощью ЭП.

  6. Нахождение обратной матрицы с помощью миноров.

Контрольная работа № 3. Прямые и плоскости в пространстве.

Задачи:

  1. Найти пересечение прямой и плоскости.

  2. Найти взаимное расположение двух прямых.

  3. Найти уравнение пересечения двух плоскостей.

  4. Найти уравнение прямой, ортогональной двум заданным.

  5. Найти расстояние между двумя прямыми.

  6. Найти расстояние от точки до прямой.

Контрольная работа № 4. Кривые 2-го порядка. Многочлены.

Задачи:

1,2. Кривые 2-го порядка.

3. Алгоритм Евклида и следствие к нему.

4. Задача на кратные корни многочлена.

5. Нахождение многочлена Лагранжа.

6. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
Контрольная работа № 5. Матрицы линейных операторов. Евклидово пространство.

Задачи:

  1. Нахождение матрицы линейного оператора.

  2. Матрица линейного оператора в новом базисе.

  3. Нахождение собственных векторов.

  4. Нахождение ортогонального дополнения линейного подпространства.

  5. Ортогонализация по Грамму-Шмидту.

  6. Разложение вектора на ортогональные компоненты.

Контрольная работа № 6. Билинейные и квадратичные формы.

Задачи:

  1. Нахождение матрицы сопряженного линейного оператора.

  2. Приведение квадратичной формы к нормальному виду.

  3. Задача на критерий Сильвестра.

  4. Нахождение ядра билинейной формы.

  5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированном базисе.

  6. Приведение пары форм.



Литература.


  1. Попов А.М. Курс лекций по линейной алгебре. Ч.1.

  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.

  3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.I – III.

  4. Винберг Э.Б. Курс алгебры.

  5. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.

  6. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

  7. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии.

  8. Булгаков Д.Н., Попов А.М. Введение в теорию линейных операторов. Учебное пособие.

  9. Булгаков Д.Н., Попов А.М. Билинейные и квадратичные формы. Учебное пособие.

  10. Булгаков Д.Н., Попов А.М. Элементы теории колец. Учебное пособие.

Программу составил

Безяев Владимир Иванович ,

кандидат физико-математических наук,,

доцент кафедры дифференциальных уравнений и математической физики,

факультет физико-математических и естественных наук




Похожие:

Алгебра и геометрия iconАлгебра и геометрия
Дисциплина Алгебра и геометрия представляет собой одну из дисциплин базовой части математического и естественнонаучного цикла фгос...
Алгебра и геометрия iconАналитическая геометрия и линейная алгебра
Ны «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным...
Алгебра и геометрия icon1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Основной курс "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" предназначен для студентов первого курса отделения прикладной инфоматики...
Алгебра и геометрия iconРабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" Направление подготовки 010200 «Математика и компьютерные науки»
Дисциплина "Линейная алгебра" обеспечивает подготовку по следующим разделам математики: линейная алгебра и аналитическая геометрия,...
Алгебра и геометрия iconГраф научных интересов магистранта Мукосей О. И. механико-математический факультет
Теории полугрупп, групп, колец, модулей и алгебр, полей и многочленов; линейная и полилинейная алгебра, гомологическая алгебра и...
Алгебра и геометрия iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Москва 2008
Евклидовы пространства: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»./ Моск...
Алгебра и геометрия iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 2 Москва
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 2...
Алгебра и геометрия iconЛинейные операторы методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 1 Москва 2005
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 1...
Алгебра и геометрия iconГеометрия и алгебра

Алгебра и геометрия iconАлгебра и геометрия

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org