Решением системы линейных уравнений



Скачать 325.95 Kb.
страница1/3
Дата08.10.2012
Размер325.95 Kb.
ТипРешение
  1   2   3




  1. Линейная алгебра




    1. Системы линейных уравнений




      1. Понятия системы линейных уравнений и ее решения


Системы линейных уравнений – это системы уравнений первой степени с несколькими неизвестными:



где - неизвестные;

- коэффициент при неизвестном в -ом уравнении,

- свободный член -ого уравнения.

В компактном виде эту систему можно представить в записи:

.

В отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.

Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность чисел , что каждое из этих уравнений обращается в тождество после замены в нем неизвестных соответствующими числами , .

Несовместной называется система линейных уравнений, которая не имеет ни одного решения.

Совместной называется система линейных уравнений, которая обладает решениями.

Определенной называется совместная система линейных уравнений, если она обладает одним – единственным решением, а неопределенной, если решений больше, чем одно.

Неизвестные (переменные) в системе линейных уравнений могут быть представлены вектором размерности :



Тогда и решение системы линейных уравнений может быть представлено вектором той же размерности:



Решением неопределенной системы линейных уравнений является множество векторов.

Задача теории систем линейных уравнений состоит:

  1. в установлении совместности системы линейных уравнений;

  2. в установлении определенности совместной системы линейных уравнений;

  3. в указании способа нахождения решений совместной системы линейных уравнений.



Вопросы для самопроверки

  • Какие уравнения называются линейными?

  • Что является решением системы линейных уравнений?

  • Какая система линейных уравнений называется несовместной?

  • Относятся ли определенная и неопределенная системы линейных уравнений к совместным?

  • Может быть неопределенная система линейных уравнений несовместной?

  • Чем отличаются между собой определенная и неопределенная системы линейных уравнений?

  • В чем состоит задача теории систем линейных уравнений?




    1. Решение определенной системы линейных уравнений




      1. Матрицы и действия над ними


Матрицей из строк и столбцов называется составленная из коэффициентов при неизвестных в системе линейных уравнений прямоугольная таблица



где - элемент матрицы, , .

- мерным вектором называется упорядоченная система чисел:



Компонентами (муж. род) вектора называются числа ,

Строки матрицы являются -мерными векторами , а столбцы - -мерными векторами

Любой вектор может быть представлен как матрица:



Действия над матрицами соответствуют действиям над векторами.

Суммой двух матриц и является матрица элементы которой есть сумма соответствующих элементов слагаемых матриц:



где

Суммируются матрицы только одинаковой размерности.

Произведением матрицы на число называется матрица элементы которой есть произведения элементов матрицы на число :



где

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой есть сумма произведений соответствующих элементов из строки матрицы и из столбца матрицы (по правилу “строка на столбец”):



где

Умножаются первая матрица на вторую только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Получаемая в результате этого произведения матрица имеет столько же строк, сколько имеет первая матрица-сомножитель, и столько столбцов, сколько имеет вторая матрица-сомножитель.


Примеры
Дано:

и .

Найти и .

Решение:




Дано:

и

Найти

Решение:








Как правило,

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Квадратная матрица



называется единичной.

Умножение на нее обладает следующими свойствами:


1.2.2. Запись системы линейных уравнений в виде матричного уравнения
Обозначим столбец неизвестных:



Обозначим столбец свободных членов:



Тогда рассматриваемую систему линейных уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения:




Примеры

В рассмотренных ранее примерах системы линейных уравнений представляются в виде матричных уравнений:



эквивалентна

;



эквивалентна

;



эквивалентна

;



эквивалентна

.


Систему линейных уравнений



можно представить расширенной матрицей

.

1.2.3. Определитель квадратной матрицы и его вычисление
Определитель есть число, определяемое для квадратной матрицы.

Системе линейных уравнений



из двух уравнений с двумя неизвестными соответствует квадратная матрица второго порядка



Исключая из системы поочередно каждое неизвестное, получим выражения:



Обозначим определитель второго порядка матрицы вычисляемый по правилу:



Аналогично выводится правило для определителя третьего порядка:



Схематично обозначим в определителе произведения элементов, которые берутся со знаком плюс и минус:



Определителем –ого порядка, соответствующим матрице , называется определенная алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце.

Вычисление определителя для матрицы требует расчета произведений и определения знака их суммирования. При - это произведения, при - это произведений, а при - уже . Поэтому определители высоких порядков проще вычислять понижением порядка.

Минором -ого порядка элемента матрицы называется определитель матрицы, получающейся после вычеркивания из матрицы -ой строки и -ого столбца:



Алгебраическим дополнением элемента называется определитель:

.

Определитель равен сумме произведений всех элементов его -ой строки на их алгебраические дополнения:



Последнее выражение называется разложением определителя по -ой строке. Аналогичное разложение определителя можно получить и по любому его столбцу:



Вычисление определителя -ого порядка понижением порядка сводится к вычислению определителей -ого порядка.

Специальным приемом можно снизить необходимое число рассчитываемых определителей, как это показано ниже на примере.


Пример

Вычислить определитель матрицы



Решение.

А) Вычислим определитель способом понижения порядка, используя разложение по -ому столбцу:







Ответ:

Б) Вычислим определитель более рациональным способом, используя предварительные эквивалентные преобразования.

Следующее эквивалентное преобразование матрицы не влияет на величину ее определителя: прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число.

Будем вычислять определитель путем разложения по -ой строке.

Преобразуем эту строку прибавлением к ней -ой строки с целью получения в ней больше нулевых элементов:



Продолжаем эквивалентные преобразования с той же целью, прибавляя к -ому столбцу утроенный -ой столбец:



Тогда


Ответ:



1.2.4. Признак определенности системы линейных уравнений

с квадратной матрицей коэффициентов и ее решение

по правилу Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений из уравнений с неизвестными:



Матрица коэффициентов при неизвестных содержит строк и столбцов:



Теорема Крамера. Если определитель отличен от нуля, то рассматриваемая система линейных уравнений определенная и ее единственное решение находится по формулам:



где

- определитель, полученный из определителя заменой - ого столбца, т.е. столбца коэффициентов при неизвестной , на столбец свободных членов.



Пример

Решить систему, заданную расширенной матрицей:



Решение.









Ответ:





  1   2   3

Похожие:

Решением системы линейных уравнений iconПрограмма по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень
Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неизвестные. Разложение...
Решением системы линейных уравнений iconЛекция № Методы решения систем линейных уравнений
Мы будем рассматривать частный случай системы линейных уравнений, а именно случай, когда т е число уравнений равно числу неизвестных....
Решением системы линейных уравнений iconТема Системы линейных уравнений
Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x1, x2, , xn, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство
Решением системы линейных уравнений iconСистемы линейных уравнений
Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают...
Решением системы линейных уравнений iconЛинейных уравнений
Линейные уравнения. Системы линейных уравнений. Разрешенная система линейных уравнений
Решением системы линейных уравнений iconНачала линейной алгебры § Системы линейных уравнений
Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x1, x2, , xn, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство
Решением системы линейных уравнений iconМетодические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений»
«Системы линейных уравнений» по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса факультета тэс
Решением системы линейных уравнений iconИсследование системы линейных уравнений (неоднородной и однородной) через ранги основной и расширенной матриц
Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы через обратную матрицу
Решением системы линейных уравнений iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Системы линейных уравнений. Метод Гаусса Сведения из теории
Многие задачи естествознания своими моделями имеют системы линейных уравнений с несколькими неизвестными
Решением системы линейных уравнений iconРешение систем линейных уравнений методом Гаусса (исключения неизвестных)
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org