Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» Бийск



Скачать 162.33 Kb.
Дата08.10.2012
Размер162.33 Kb.
ТипМетодические рекомендации


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Бийский технологический институт (филиал)

государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет

им. И.И. Ползунова»

Т.М. Тушкина, В.С. Фролов, О.Д. Ростова, Л.П. Кувшинова


дискретная математика


Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы»




Бийск

Издательство Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова

2009

УДК 519.1
Рецензент: к.ф.-м.н., доцент кафедры МСИА БТИ АлтГТУ Пальчиков А.В.

Тушкина, Т.М.

Дискретная математика: методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» / Т.М. Тушкина, В.С. Фролов, О.Д. Ростова, Л.П. Кувшинова; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2009. – 14 с.
Данная методическая разработка является составной частью учебно-методического комплекса по дисциплине «Дискретная математика» для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» и представляет собой комплекс рекомендаций и разъяснений, позволяющих студенту оптимальным образом организовать процесс изучения курса «Дискретная математика». В методических рекомендациях сформулированы цели и задачи курса, приведена структура курса и конкретизированы отдельные модули, составляющие курс. Даны рекомендации по работе с литературой, по подготовке к лекциям и практическим занятиям, по выполнению заданий типового расчета и подготовке к экзамену.

УДК 519.1

Рассмотрены и одобрены на заседании

кафедры высшей математики

и математической физики.

Протокол № 6 от 02.12.2008 г.

© Т.М. Тушкина, В.С. Фролов, О.Д. Ростова, Л.П. Кувшинова, 2009

©

БТИ АлтГТУ, 2009
1 ОСОБЕННОСТИ КУРСА
Дискретная математика – область математики, занимающаяся изучением свойств дискретных структур, которые имеют место как внутри математики, так и в ее приложениях. К их числу можно отнести, например, конечные группы, конечные графы, математические модели преобразования информации, конечные автоматы, машины Тьюринга и т.д.

Дискретная математика предлагает универсальные средства (языки) формализованного представления, способы корректной переработки информации, представленной на этих языках, а также возможности и условия перехода от одного из них к другому с сохранением содержательной ценности моделей.
Методы дискретной математики пригодны для описания и последующего конструктивного анализа многих сложных проблемных ситуаций, которые зачастую не поддаются описанию традиционными средствами классической математики, и позволяют использовать информационные технологии и современную вычислительную технику. Больше того, современная техника переработки информации целиком базируется на дискретных представлениях.

Курс «Дискретная математика» входит в число дисциплин, включенных в учебный план специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике» и 230201 «Информационные системы» в соответствии с ГОС ВПО.

Целью дисциплины является овладение студентами математическим аппаратом дискретной математики для решения различных задач конечной структуры. Более подробно цели курса «Дискретная математика» представлены в таблице 1.
Таблица 1 – Цели курса «Дискретная математика»

Содержание цели

Студент будет иметь представление:

1 О предмете дискретной математики

2 О месте и роли дискретной математики в системе математических наук и в решении задач управления

3 О методах изучения свойств дискретных структур

Студент будет знать:

4 Основные понятия теории множеств (множество, элемент множества, подмножество, операции над множествами, свойства операций над множествами, декартово произведение множеств, упорядоченные совокупности элементов, отношения, операции над отношениями, свойства отношений, эквивалентность, порядок, замыкания отношений, соответствия, свойства соответствий, функции, отображения, взаимно однозначные соответствия)

Продолжение таблицы 1

5 Основные понятия абстрактной алгебры (операции, свойства операций, нейтральные и симметричные элементы, гомоморфизмы, изоморфизмы, полугруппы, моноиды, группы, кольца, поля, решетки, булевы алгебры)

6 Основные комбинаторные схемы и формулы (сочетания, размещения, перестановки, разбиения, бином Ньютона, полиномиальная формула, формула включений и исключений)

7 Основные понятия теории графов (граф, орграф, цепь, цикл, эйлеров граф, гамильтонов граф, смежность, инцидентность, достижимость, связность, дерево, сеть, поток, нагруженный орграф)

8 Соответствие между орграфами, бинарными отношениями и предикатами

Студент будет уметь:

9 Задавать множества и отношения различными способами

10 Доказывать равенство множеств различными способами

11 Определять мощность множества без их вычисления

12 Генерировать разбиение множества посредством эквивалентности

13 Находить транзитивное (рефлексивное транзитивное) замыкание бинарного отношения

14 Выполнять операции над элементами различных множеств

15 Устанавливать свойства операций в алгебраических структурах

16 Устанавливать изоморфизм алгебраических структур

17 Пересчитывать и перечислять элементы с заданными свойствами в конечных множествах

18 Находить кратчайшие пути в графах

19 Находить максимальные потоки в сетях

20 Определять эйлеровы и гамильтоновы циклы

21 Устанавливать связность графов (орграфов)


Курс «Дискретная математика» является базовым для многих дисциплин, изучаемых в дальнейшем студентами специальностей «Прикладная информатика в экономике» и «Информационные системы и технологии». Успешное овладение методами дискретной математики снимает трудности вхождения студентов специальности «Информационные системы и технологии» в такие общепрофессиональные и специальные дисциплины, как «Теория информационных процессов и систем», «Управление данными», «Моделирование систем», «Основы теории управления», «Алгоритмы и методы переработки информации», а студентов специальности «Прикладная инофрматика в экономике» – «Методы оптимального управления», «Информационный менеджмент», «Моделирование информационных процессов», «Проектирование информационных систем» и др. В этой связи будущие специалисты должны иметь представления о формальных системах и владеть дискретными методами формализованного представления информации. К ним относятся методы, основанные на теоретико-множественных, графических, логических представлениях.

Основными разделами дискретной математики являются: теория множеств, абстрактная алгебра, комбинаторика, теория графов и математическая логика. Изучение математической логики студентами данных специальностей осуществляется во втором семестре и предшествует изучению других разделов дискретной математики, которые, в свою очередь, рассматриваются в третьем семестре.

Структура курса «Дискретная математика» представлена на рисунке 1.

Выделяются четыре модуля, тесно связанные друг с другом.

Модуль 1 – Теория множеств. Теория множеств является фундаментом математики, ведь любая математическая теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных между собой некоторыми отношениями. Теоретико-множественные представления – описание исследуемой системы, процессов средствами теории множеств, т.е. как множества взимосвязанных или взаимодействующих частей – элементов. В свою очередь, связи между элементами задаются через отношения и соответствия. Множества, элементы, отношения, соответствия характеризуются определенными свойствами и набором допустимых операций над ними.

Модуль 2 – Абстрактная алгебра. Абстрактная алгебра – раздел дискретной математики, изучающий алгебраические структуры (группы, кольца, поля, решетки и т.д.). Другими словами, это наука о системах объектов, в которых задано конечное число операций, применимых к конечному числу объектов и производящих из них новый объект той же системы. Например, в случае алгебраического поля – две операции (сложение и умножение) над двумя элементами каждая. Одним из центральных понятий абстрактной алгебры, обеспечивающих применимость алгебраических методов в различных областях, является понятие изоморфизма. Достаточно установить некоторое свойство в одной алгебре, и оно автоматически распространяется на все изоморфные алгебры. Именно поэтому абстрактная алгебра находит многочисленные применения в большинстве областей математики.

Модуль 3Комбинаторика. Основные задачи комбинаторики – пересчет и перечисление элементов в конечных множествах. При этом на элементы множеств могут накладываться определенные ограничения, такие как различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т.д. Задачи пересчета и перечисления тесно связаны друг с другом, а также с задачами оптимизации, возникающими во многих приложениях математики. Суть состоит в том, что на исходном конечном множестве элементов определяется некоторая целевая функция и требуется найти элементы, доставляющие ей минимальное (максимальное) значение. При решении задачи оптимизации обычно предполагается, что исследователь располагает методом перечисления элементов иходного множества, а для того, чтобы оценить эффективность перечисления или оптимизации, необходимо произвести их пересчет.

Модуль 4 – Теория графов. Графические представления в широком смысле – любые наглядные отображения исследуемой системы, процесса или явления на плоскости – есть удобный способ иллюстрации содержания различных понятий, относящихся к другим способам формальных представлений. Мощным и наиболее исследованным классом объектов, относящихся к графическим представлениям, является теория графов. На языке теории графов формулируются и решаются многие задачи управления в силу того, что язык теории графов, с одной стороны, понятен и нагляден, а с другой стороны, удобен в формальном исследовании.

Математическая логика, как было сказано выше, является разделом дискретной математики и изучает способы формального представления высказываний, построения новых высказываний из имеющихся, а также способы установления истинности или ложности высказываний. Логические представления – описание исследуемой системы, процесса, явления в виде совокупности сложных высказываний, составленных из простых (элементарных) высказываний и логических связок между ними. Логические представления и их составляющие характеризуются определенными свойствами и набором допустимых преобразований над ними (операций, правил вывода и т.п.), реализующих разработанные в формальной логике правильные методы рассуждений – законы логики.

Курс «Дискретная математика» имеет практическую часть (практические занятия – 51 час), на самостоятельную работу студентов специиальности «Прикладная информатика в экономике» отводится 59 часов, специальности «Информационные системы и технологии» 71 час.

Итоговая аттестация знаний студентов по дисциплине «Дискретная математика» осуществляется во время экзамена по окончании семестра.
2 МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

Учебным планом по дисциплине «Дискретная математика» для студентов предусмотрено участие в лекциях, практических занятиях, выполнение типового расчета. В течение семестра студентам предлагается два теста текущего контроля знаний. Завершающим этапом изучения дисциплины является сдача экзамена. Организация самостоятельной работы по дисциплине «Дискретная математика» подробно изложена в [11].

2.1 Лекции и практические занятия
Основной составной частью учебного процесса в преподавании дисциплины «Дискретная математика» студентам дневной формы обучения являются лекции и практические занятия. Очевидно, что студенты, активно участвующие в этих занятиях, способны успешнее освоить предмет.

Все лекции студентам необходимо конспектировать. В конспект рекомендуется выписывать определения, формулировки и доказательства теорем, формулы и т.п. На полях конспекта следует помечать вопросы, выделенные студентом для консультации с преподавателем. Выводы, полученные в виде формул, а также алгоритмы решения тех или иных классов задач дискретной математики рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Полезно составить краткий справочник, содержащий определения важнейших понятий и наиболее часто употребляемые формулы дисциплины. К каждой лекции следует разобрать материал предыдущей лекции. Ряд вопросов дискретной математики вынесен на самостоятельное изучение. Такое задание требует оперативного выполнения. В конспекте лекций необходимо оставить место для освещения упомянутых вопросов.

На практических занятиях подробно рассматриваются основные
вопросы дисциплины, разбираются основные типы задач. К каждому практическому занятию следует заранее самостоятельно выполнить домашнее задание и выучить лекционный материал к следующей теме. Систематическое выполнение домашних заданий обязательно и является важным фактором, способствующим успешному усвоению дисциплины.
2.2 Чтение учебника и конспекта лекций
В настоящее время имеется достаточно большое количество литературы по дискретной математике. Однако, в связи с тем, что в дискретной математике отсутствует ядро, подобное дифференциальному и интегральному исчислению в математическом анализе, перечень вопросов, включенных в тот или иной учебник зависит от того, кому он предназначен. Поскольку в данном случае курс предназначен специалистам в области информационных технологий, в первую очередь можно порекомендовать учебные пособия [1–4], а также [7, 8].

Изучая материал по учебнику или конспекту лекций, следует переходить к следующему вопросу только в том случае, когда хорошо усвоен предыдущий вопрос. При этом необходимо воспроизводить на бумаге все рассуждения, как имеющиеся, так и пропущенные в силу их простоты.

Особое внимание следует обращать на определение основных понятий дисциплины. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют понятия, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. Это является одним из важных условий усвоения дисциплины.

В курсе дискретной математики рассматриваются способы решения задач теории графов и сетей. Эти задачи являются математическими моделями ряда прикладных задач, а методы их решения доведены до уровня простых алгоритмов, реализуемых на ЭВМ. В этой связи студент должен уметь привести примеры задач, решения которых осуществляются по тому или иному алгоритму, реализовать алгоритм на каком-либо языке программирования, оценить вычислительную сложность алгоритма.
2.3 Решение задач
В процессе изучения дисциплины «Дискретная математика» студенты, как правило, сталкиваются с рядом трудностей. Дискретная математика в отличие от классической математики не связана с понятиями бесконечности, предела и непрерывности, следовательно, методы классической математики (в основном математического анализа) мало- пригодны для изучения объектов дискретной математики, имеющих конечную структуру.

В частности, в теории множеств, абстрактной алгебре преобладают абстрактно-логические рассуждения в сравнении с аналитическим аппаратом (формулами и алгебраическими выводами), который преобладал в других математических дисциплинах.

Еще одна трудность связана с необходимостью «перевода» абстрактных теоретико-множественных понятий и положений на конкретный язык исследуемой реальной ситуации. В свою очередь, при решении комбинаторных задач важно «перевести» содержательное толкование задачи на абстрактный язык теоретико-множественной комбинаторной модели.

Чтобы справиться с этими трудностями, нужно решить достаточно много задач [5,6, 10], что даст возможность глубже понять основные положения разделов изучаемой дисциплины, научиться применять их при анализе конкретной ситуации. В этой связи типовые задачи, рассмотренные в рекомендуемых учебных пособиях, следует разобрать внимательно, обращаясь при необходимости к соответствующим указаниям, подробным решениям или ответам. Задачи должны быть использованы в процессе работы над курсом и затем при подготовке к экзамену. При этом непременным условием является глубокое усвоение соответствующего материала по конспекту лекций или учебнику.

При решении задач в первую очередь следует обращать внимание на логический анализ содержания задачи, объяснение выполняемых операций. В комбинаторных задачах полезно продумать иные возможные подходы к их решению или решение при некоторых видоизменениях условий задачи. Решение задач определенного типа следует продолжать до приобретения твердых навыков.

При решении задач (не только математических), которые кажутся наиболее сложными, следует придерживаться ниже приведенных рекомендаций, данных академиком А.Б. Мигдалом.

1) Важно для плодотворного рабочего дня поработать хотя бы недолго накануне вечером. Вы как бы дадите задание подсознанию и утром следующего дня встанете с ясной программой действий.

2) Чтобы сдвинуться с мертвой точки при решении трудной задачи, необходимо сознательными усилиями, многократно повторяя рассуждения, довести себя до состояния, когда аргументы «за» и «против» известны наизусть, а все выкладки проделываются без бумаги, в уме. Такая подготовка настолько облегчает работу подсознания, что очень скоро решение придет само собой.

3) Можно искусственно регулировать соотношение между работой сознания и подсознания, между анализом («да» или «нет») и интуицией (и «да» и «нет» одновременно). Чтобы увеличить удельный вес контроля, можно работать вместе с критически настроенным соавтором, чтобы подстегнуть интуицию – с соавтором, склонным фантазировать.

4) Есть только один путь – упорными, неотступными усилиями, решением вспомогательных задач, подходами с разных сторон, отметая все препятствия, отбрасывая посторонние мысли, довести себя до вдохновения, когда сознание и подсознание смешиваются, когда сознательное мышление продолжается во сне, а подсознательное – наяву.
2.4 Самопроверка
После изучения определенной темы и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем, проверяя себя каждый раз по учебнику или конспекту лекций. Контрольные вопросы, приводимые в конспекте лекций по дисциплине, имеют цель помочь студенту в таком повторении, закреплении и проверке прочности усвоения изученного материала.

Часто недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо повторить плохо изученный раздел, внимательно разобрав материал учебника, а также прорешать задачи.
2.5 Выполнение расчетных заданий
В процессе изучения дисциплины «Дискретная математика» студент должен выполнить типовой расчет [9], состоящий из восьми заданий по основным разделам дисциплины: теория множеств (множества, бинарные отношения), комбинаторика (основные комбинаторные схемы, полиномиальная формула), теория графов (связность графов, поиск минимальных путей, поиск максимальных потоков в сетях). Не следует приступать к решению расчетного задания до решения достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу типового расчета вызывается тем, что у студента отсутствует необходимая практика в решении задач.

Расчетные задания должны выполняться самостоятельно. В противном случае студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к защите типового расчета, а в конечном итоге к контрольной работе и к экзамену.
2.6 Экзамен
На экзамене, прежде всего, выясняется отчетливое усвоение теоретических и прикладных вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Экзаменационный билет имеет теоретическую и практическую составляющие. Определения и алгоритмы решения задач должны формулироваться точно и подкрепляться примерами. Студент должен уметь объяснить как выбор схемы решения задачи, так и все его этапы.


ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
1. Хаггарти, Р. Дискретная математика для программистов / Р. Хаг-гарти. – М.: Техносфера, 2005.

2. Новиков, Ф.А. Дискретная математика для программистов / Ф.А. Новиков. – СПб.: Питер, 2001.

3. Нефедов, В.Н. Курс дискретной математики: учеб. пособие / В.Н. Нефедов, В.А. Осипова. – М.: Изд-во МАИ, 1992.

4. Яблонский, С.В. Введение в дискретную математику: учебное пособие для вузов / под ред. В.А. Садовничего. – 3-е изд., стер. / С.В. Яблонский. – М.: Высшая школа, 2002.

5. Лавров, И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. –4-е изд. / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

6. Москинова, Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях: учеб. пособие / Г.И. Москинова. – М.: Логос, 2000.
Дополнительная литература
7. Судоплатов, С.В. Дискретная математика: учебное пособие / С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. – М.: Инфра-М, 2007.

8. Романовский, И.В. Дискретный анализ. – 2-е изд. / И.В. Романовский. – СПб.: Невский диалект, 2000.

Перечень пособий, методических указаний и материалов,

используемых в учебном процессе
9. Ростова, О.Д. Дискретная математика: методические рекомендации к типовому расчету по математике с вариантами заданий для студентов специальностей 071900, 351400, 170600, 171200 / О.Д. Ростова, Т.М. Тушкина, В.С. Фролов. – Бийск, 2005

10. Тушкина, Т.М. Дискретная математика: методические рекомендации по проведению практических занятий для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы и технологии» / Т.М. Тушкина, В.С. Фролов, О.Д. Ростова, Л.П. Кувшинова. – Бийск, 2009.

11. Тушкина, Т.М. Дискретная математика: методические рекомендации по самостоятельной работе студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы и технологии» / Т.М. Тушкина, В.С. Фролов, О.Д. Ростова, Л.П. Кувшинова. – Бийск, 2009.

СОДЕРЖАНИЕ

дискретная математика 1


Учебное издание


ТУШКИНА Татьяна Михайловна

ФРОЛОВ Виктор Савельевич

РОСТОВА Ольга Дмитриевна

КУВШИНОВА Лидия Павловна


ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные

системы»

Редактор Идт Л.И.

Технический редактор Сазонова В.П.

Подписано в печать 29.01.09. Формат 6084 1/16

Усл. п. л. 0,81. Уч.-изд. л. 0,88

Печать − ризография, множительно-копировальный

аппарат «RISO TR 1510»
Тираж 50 экз. Заказ 2009-06

Издательство Алтайского государственного

технического университета

656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46
Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ

Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ

659305, г. Бийск, ул. Трофимова, 27

Архив создан Бухвиной А.А



Похожие:

Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» Бийск iconМетодические рекомендации по самостоятельной работе студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы и технологии» Бийск
Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова
Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» Бийск iconМетодические рекомендации по проведению практических занятий для студентов специальности 080801 «Прикладная информатика в экономике»
Математический анализ: методические рекомендации по проведению практических занятий для студентов специальности 080801 «Прикладная...
Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» Бийск iconМетодические рекомендации для выполнения контрольных работ по математике для студентов института дизайна, обучающихся по специальностям 080801. 65 «Прикладная информатика (по отраслям)»
Методические рекомендации предназначены, в первую очередь, для студентов Института Дизайна, обучающихся по специальностям 080801....
Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» Бийск iconПрограмма государственного экзамена для студентов всех форм обучения Специальность 080801 Прикладная информатика в экономике
«Прикладная информатика в экономике» преследует цель произвести комплексную оценку полученных за период обучения знаний, умений и...
Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» Бийск iconМетодические рекомендации по выполнению расчетного задания по курсу «Информатика» для студентов специальностей 200106 «Информационно-измерительная техника и технологии»
Методические рекомендации предназначены в качестве руко-водства к самостоятельной работе студентов первого курса технических специальностей,...
Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» Бийск iconУчебно-методический комплекс Специальность: 080801 Прикладная информатика (в экономике) Москва 2009
Учебно-методический комплекс «Математическая экономика» составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного...
Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» Бийск iconСпециальность 080801. 65 (351400) – Прикладная информатика в экономике квалификация – информатик-экономист Специализация
Специальность 080801. 65 (351400) – Прикладная информатика в экономике открыта в 2000 г. (Заключение умо по специальности №66 от...
Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» Бийск iconМетодические рекомендации для самостоятельной работы студентов механических специальностей Бийск 2010 удк 744. 4 (076) С17
Методические рекомендации предназначены для индивидуальной работы студентов, углубленно изучающих курс начертательной геометрии
Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» Бийск iconУчебное пособие для студентов всех форм обучения специальности 080801 Прикладная информатика в экономике Разработчик
Данное учебное пособие предназначено для студентов всех форм обучения специальности «Прикладная информатика в экономике»
Методические рекомендации для студентов специальностей 080801 «Прикладная информатика в экономике», 230201 «Информационные системы» Бийск iconИнформационные системы и технологии на предприятиях
Методические рекомендации предназначены для студентов 4-го курса экономических специальностей заочной формы обучения в помощь при...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org