Лекция №19 Банаховы алгебры



Скачать 153.46 Kb.
страница1/4
Дата08.10.2012
Размер153.46 Kb.
ТипЛекция
  1   2   3   4

Лекция № 19



Банаховы алгебры
Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена введению в теорию банаховых алгебр, т.е. банаховых пространств, в которых определено умножение элементов.

Определение и примеры банаховых алгебр. Напомним, что линейным пространством называется непустое множество элементов, в котором введены две операции – сложение элементов и умножение их на числа, удовлетворяющие восьми аксиомам, сформулированных в лекции № 8.

Определение 1. Линейное пространство называется алгеброй, если в нем введена еще одна операция – умножение, которое удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. .

  2. , .

  3. .

  4. Если существует элемент такой, что для всех , то называется единицей алгебры , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Заметим, что единица в алгебре всегда единственна, ибо если бы элемент также обладал бы свойством (4), то мы бы получили .

  1. Если операция умножения коммутативна, т.е. если выполняется аксиома , то алгебру называют коммутативной алгеброй.

Коммутативные алгебры с единицей и будут, в основном, предметом нашего изучения. Всюду в этой лекции числовое поле, над которым рассматриваются наши алгебры, это поле комплексных чисел .

В лекции № 9 было введено понятие нормированного пространства, т.е. линейного пространства, снабженного нормой , удовлетворяющей трем аксиомам.

Определение 2.
Нормированное пространство называется нормированной алгеброй, если оно является алгеброй с единицей, и при этом выполнены еще две аксиомы:

  1. .

  2. .

Если еще нормированная алгебра полна (т.е. является банаховым пространством), то она называется банаховой алгеброй.

Отображение называют гомоморфизмом алгебры и , если выполнены условия

, (1)

, (2)

. (3)

Две алгебры, и , называются (алгебраически) изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение , удовлетворяющее условиям (1)(3).

Нормированные пространства и называют изометричными, если существует взаимно однозначное отображение , удовлетворяющее условиям (1) и (2) и, кроме того, условию

.

Определение 3. Две банаховы алгебры и называются изометрически изоморфными, если существует алгебраический изоморфизм , являющийся изометрией и как нормированных пространств.

Примеры банаховых алгебр. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Комплексные числа – простейший пример банаховой алгебры, если ввести норму формулой , ().

Комплексные числа образуют поле . В нем для всех элементов, кроме нуля, определено деление – операция, обратная умножению. Можно показать, что есть единственная нормированная алгебра, являющаяся полем.

Пример 2. Пусть – некоторое компактное хаусдорфово топологическое пространство. Обозначим через линейное пространство всех непрерывных комплекснозначных функций , заданных на с обычными для функций операциями сложения и умножения на числа, в котором норма определяется равенством

.

Ранее рассматривался частный случай этой коммутативной банаховой алгебры – это алгебра . Единицей в этой алгебре служит функция .

Задача 1. Убедитесь, что действительно есть коммутативная банахова алгебра.

Пример 3. Алгебра аналитических функций в круге состоит из всех функций комплексного переменного , определенных и непрерывных в круге



и аналитических внутри этого круга. Определим умножение в как обычное умножение функций, и зададим норму формулой

.

таким образом превращается в коммутативную банахову алгебру с единицей.

Пример 4. Алгебра , элементами которой являются последовательности комплексных чисел, для которых . Превратим его в банахову алгебру, определив умножение следующим образом: если

, а ,

то определим как такую последовательность , где

.

Так определенная операция умножения элементов из называется сверткой.

Пример 5. Рассмотрим Винерово кольцо , элементами которого являются последовательности всех двусторонних абсолютно суммируемых последовательностей



комплексных чисел с нормой . Превратим его в банахову алгебру, определив умножение следующим образом: если

, а ,

то произведение (свертку) определим как такую последовательность, члены которой определяются как

.

Так определенная операция умножения элементов из , называемая сверткой, превращает банахово пространство в коммутативную банахову алгебру с единицей.

Задача 2. Убедитесь, что и действительно есть коммутативные банаховы алгебры. Укажите единичные векторы этих алгебр.

Пример 6. Банахова алгебра ограниченных линейных операторов. Пусть – банахово пространство. Рассмотрим пространство всех линейных непрерывных операторов, отображающих в себя, с обычными для операторов действиями сложения, умножения оператора на число и умножения (суперпозиции) операторов. превращается в банахову алгебру, если ввести обычную операторную норму

для любого .

Все факты, которые убеждают нас в том, что – банахова алгебра, нами уже доказаны ранее. Алгебра – важнейший пример некоммутативной банаховой алгебры с единицей, в качестве которой выступает тождественный оператор : .

Обратимые элементы.

Определение 4. Элемент , принадлежащий коммутативной банаховой алгебре с единицей, называется обратимым, если существует такой элемент , что

, где – единица алгебры .

Элемент называется обратным к и обозначается через : .

Лемма 1. Если расстояние от некоторого элемента до единицы алгебры не превосходит , т.е. , то – обратимый элемент.

Доказательство. Обозначим ; тогда и . Таким образом, отыскание обратного к свелось к отысканию обратного к . Рассмотрим ряд . Так как , то этот ряд сходится по норме банахова пространства к некоторому , т.е. . Утверждается, что является обратным к . Действительно,



Таким образом,

, где . (*)

Лемма доказана.
  1   2   3   4

Похожие:

Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры
Опр. Матрицей называется упорядоченная совокупность чисел, расположенная в виде таблицы
Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция №5. Условный оператор, оператор выбора. Логические операции в Паскале, таблица истинности, основные законы алгебры логики
Операции отношений. Логические операторы в Паскале. Таблицы истинности. Основные законы алгебры логики
Лекция №19 Банаховы алгебры iconРабочая учебная программа по дисциплине математика Специальность /направленuе: 190401. 65 Электроснабжение железных дорог код, наименование специальности /направления
Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconРабочая учебная программа по дисциплине математика Специальность /направленuе: 230201. 65 Информационные системы и технологии код, наименование специальности /направления
Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconФункции алгебры логики
Как уже отмечалось, значение формулы алгебры логики полностью зависит от значений входящих в эту формулу высказываний. Поэтому формула...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconПрограмма молодежной школы-конференции «Современные проблемы алгебры и математической логики»
Полотовский Г. М. (г. Нижний Новгород, Россия) «Топология вещественных алгебраических кривых: история, результаты, методы», лекция...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconАлгебры с тремя образующими 14 > Алгебра Qn(5, ту) 23
Гомоморфизм полиспектральной алгебры с обменными соотношениями в алгебру Zntk(T, rj)
Лекция №19 Банаховы алгебры iconАнализ 1/2 год
Системы множеств (полукольца, кольца, алгебры, алгебры и т д.). Различные свойства этих систем
Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция 7 Полные системы фал. Теорема Поста. Полные системы фал. Определение Пусть задана конечная система функций алгебры логики от «m»
Определение Пусть задана конечная система функций алгебры логики от «m» переменных
Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org