Лекция №19 Банаховы алгебры



Скачать 153.46 Kb.
страница2/4
Дата08.10.2012
Размер153.46 Kb.
ТипЛекция
1   2   3   4

Замечание 1. Принято считать, что .

Лемма 2. Если последовательность элементов банаховой алгебры такова, что при , где – единица алгебры , то существует при достаточно больших , и при .

Доказательство. Действительно, если , то , т.е. существует такое , что . Тогда, согласно леммы 1, каждый из обратим при , и в силу равенства (*)

., ().

Отсюда видно, что

,

и, поскольку , то

.

Так как , т.е. при , то

.

Отсюда видим, что gif" name="object149" align=absmiddle width=54 height=24>. Лемма доказана.

Замечание 2. Равенство – это просто сумма числового ряда, которая легко вычисляется. Действительно, если число таково, что , то обозначим через сумму

; Тогда .

Вычитая из первого равенства второе, получаем: , откуда . Поскольку при , то отсюда получаем равенство .

Обозначим через множество обратимых элементов коммутативной банаховой алгебры . Тогда, по доказанному, внутренность единичного шара с центром в единице содержится в , т.е.

.

Но множество обратимых элементов не исчерпывается внутренностью единичного шара с центром в единичном элементе нашей алгебры.

Лемма 3. Множество обратимых элементов банаховой алгебры представляет собой открытое множество в . Операция перехода от к непрерывна.

Таким образом, множество обратимых элементов представляют собой топологическую группу по умножению.

Доказательство. Пусть . Докажем, что тогда существует такое, что если , то . Введем обозначение . Тогда

,

так как , т.е. существует. Далее,

при ,

Тогда , т.е. элемент содержится внутри единичного шара с центром в единице нашей алгебры и, следовательно, согласно леммы 1 он обратим. Но тогда обратим и как произведение двух обратимых элементов. Далее, так как при , то согласно леммы 2 при достаточно малом имеем: . Поэтому

при .

Тем самым доказано, что операция перехода от к непрерывна. Лемма доказана.
Максимальные идеалы.

Определение 5. Идеалом коммутативной алгебры называется подпространство (возможно незамкнутое, т.е. линейное многообразие), обладающее тем свойством, что для всякого и любого произведение . Идеал, состоящий из одного нуля, а также идеал, состоящий из всего , мы называем тривиальными и в дальнейшем исключаем из рассмотрения.

Максимальным называется идеал, не содержащийся ни в каком другом нетривиальном идеале.

Отметим, что единица нашей алгебры не может принадлежать нетривиальному идеалу , так как если , то по определению , т.е. .

Никакой из нетривиальных идеалов не содержит обратимых элементов, т.е. . Действительно, если обратим и , то тогда , откуда следует, что , т.е. тривиален. Поскольку внутренность единичного шара состоит из обратимых элементов, т.е.

,

то . Поскольку еще нулевой элемент алгебры принадлежит любому идеалу, то приходим к выводу, что .

Лемма 4. Для того чтобы элемент был обратим, необходимо и достаточно, чтобы он не принадлежал ни к какому идеалу.

Необходимость. Если элемент обратим и , то тогда , откуда следует, что , т.е. тривиален.

Достаточность. Если элемент банаховой алгебры необратим, то существует идеал , содержащий этот элемент. Рассмотрим множество . Утверждается, что это – нетривиальный идеал. Действительно, если , то

,
т.е. – подпространство.

Далее, и имеем: . Таким образом, – идеал. Так как и необратим, то не может совпадать со всей алгеброй ; в противном случае существовал бы элемент такой, что , что противоречит необратимости . Лемма доказана.

Из предыдущих рассуждений следует, что множество обратимых элементов банаховой алгебры есть дополнение к объединению идеалов:

.

Пусть – идеал. Рассмотрим его замыкание . Утверждается, что тоже идеал. Поскольку идеал является линейным многообразием, то очевидно, что тоже замкнутое линейное подпространство. Далее, если , то существует последовательность , , такая, что . Тогда для любого имеем: , и так как , то отсюда следует, что , т.е. – идеал. Замыкание нетривиального идеала не может совпасть со всей алгеброй , так как .

Выше изложенное резюмируем следующим образом:
1   2   3   4

Похожие:

Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры
Опр. Матрицей называется упорядоченная совокупность чисел, расположенная в виде таблицы
Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция №5. Условный оператор, оператор выбора. Логические операции в Паскале, таблица истинности, основные законы алгебры логики
Операции отношений. Логические операторы в Паскале. Таблицы истинности. Основные законы алгебры логики
Лекция №19 Банаховы алгебры iconРабочая учебная программа по дисциплине математика Специальность /направленuе: 190401. 65 Электроснабжение железных дорог код, наименование специальности /направления
Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconРабочая учебная программа по дисциплине математика Специальность /направленuе: 230201. 65 Информационные системы и технологии код, наименование специальности /направления
Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconФункции алгебры логики
Как уже отмечалось, значение формулы алгебры логики полностью зависит от значений входящих в эту формулу высказываний. Поэтому формула...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconПрограмма молодежной школы-конференции «Современные проблемы алгебры и математической логики»
Полотовский Г. М. (г. Нижний Новгород, Россия) «Топология вещественных алгебраических кривых: история, результаты, методы», лекция...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconАлгебры с тремя образующими 14 > Алгебра Qn(5, ту) 23
Гомоморфизм полиспектральной алгебры с обменными соотношениями в алгебру Zntk(T, rj)
Лекция №19 Банаховы алгебры iconАнализ 1/2 год
Системы множеств (полукольца, кольца, алгебры, алгебры и т д.). Различные свойства этих систем
Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция 7 Полные системы фал. Теорема Поста. Полные системы фал. Определение Пусть задана конечная система функций алгебры логики от «m»
Определение Пусть задана конечная система функций алгебры логики от «m» переменных
Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org