Лекция №19 Банаховы алгебры



Скачать 153.46 Kb.
страница3/4
Дата08.10.2012
Размер153.46 Kb.
ТипЛекция
1   2   3   4

Утверждение 1. Для того чтобы элемент банаховой алгебры был обратим, необходимо и достаточно, чтобы не принадлежал ни к какому замкнутому идеалу, т.е.

.

Введенное понятие (идеала) обсудим на примере алгебры (см. пример 2). Пусть – непустое подмножество компакта . Множество

,

состоящее из функций, обращающихся в нуль на , образуют, очевидно, идеал в .

Максимальные идеалы в допускают простое описание, являющиеся ключом к пониманию всего замысла теории коммутативных банаховых алгебр.

Лемма 5. Максимальный идеал алгебры есть совокупность всех функций из , обращающихся в нуль в какой-либо одной фиксированной точке множества .

Доказательство. Пусть . Для доказательства нашей леммы нам надо установить два факта:

(А) Идеал максимален;

(В) Если какой-то идеал алгебры максимален, то он состоит из функций, обращающихся в нуль в какой-то фиксированной (одной!) точке из .

(А) Если идеал не максимален, то существует идеал gif" name="object281" align=absmiddle width=25 height=18> такой, что . Пусть , т.е. , но . Тогда для любой функции положим

.

Тогда , т.е. . Но тогда



как линейная комбинация функций из . Получили, что , т.е. идеал тривиален, откуда делаем вывод, что – максимальный идеал.

(В) Пусть какой-то идеал алгебры максимален. Возьмем функцию . Так как идеал не может содержать обратимые элементы, то она обязательно обращается в нуль в какой-нибудь точке , ибо в противном случае функция была бы обратимым элементом алгебры , так как тогда функция непрерывна и является обратным элементом к . Рассмотрим следующее подмножество идеала :

.

Поскольку это множество – максимальный идеал, то . Лемма доказана.

Таким образом, мы получили, что в случае банаховой алгебры непрерывных функций на компакте между максимальными идеалами и точками из пространства можно установить взаимно однозначное соответствие. Это позволяет трактовать функции на как «функции на пространстве максимальных идеалов».
Спектр и резольвента.

Определение 6. Спектром элемента банаховой алгебры называется множество комплексных чисел , для которых элемент необратим. Если же он обратим, т.е. , точку называют регулярной для элемента .

Функция

, (1)

определенная на множестве регулярных точек элемента , называется резольвентой этого элемента.

Спектральным радиусом элемента называется число

. (2)

Таким образом, (при любом фиксированном ) комплексная плоскость разбилась на два непересекающихся множества: множество регулярных значений таких, что при них элемент обратим, и оставшуюся часть комплексной плоскости, называемой спектром элемента .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 7. Если , т.е. есть банахова алгебра комплексных чисел, то в ней обратимы все элементы, кроме нуля. Выражение в данном случае выглядит так:

, где , т.е. , .

Тогда спектром любого элемента является комплексное число . Все остальные точки комплексной плоскости являются регулярными для .

Пример 8. Пусть , т.е. есть банахова алгебра непрерывных комплекснозначных на компакте функций. Тогда для обратимости элемента необходимо и достаточно, чтобы функция была всюду отлична от нуля. Резольвента в данном случае выглядит так:

.

Спектр совпадает с множеством значений функции , а спектральный радиус равен

.

Пример 9. Пусть есть банахова алгебра непрерывных линейных операторов, действующих из нормированного пространства в , т.е. элементами являются ограниченные линейные операторы . Понятия спектра и резольвенты совпадают с введенными ранее понятиями спектра и резольвенты для операторов.

Свойства спектра и резольвенты. Как было доказано в лемме 3, множество обратимых элементов банаховой алгебры является открытым множеством. Из этого факта легко выводится следующее утверждение.

Утверждение 2. Множество регулярных значений произвольного элемента банаховой алгебры является открытым (на комплексной плоскости) множеством. Кроме того, резольвента является непрерывной функцией от на , и

  1. ,

  2. (Тождество Гильберта.)

Доказательство. Если элемент алгебры обратим, то в силу открытости множества обратимых элементов алгебры , при , достаточно близких к , обратим и элемент алгебры , так как . Таким образом, множество регулярных точек элемента открыто. Далее, справедлива очевидная цепь равенств



,

которая доказывает равенство (1) (не нуждающееся, впрочем, в доказательстве, если алгебра коммутативна).

Докажем теперь тождество Гильберта (2).

,

.

Тогда, вычитая из первого равенства второе, получим тождество Гильберта.

Непрерывность резольвенты следует из леммы 3, в которой было доказано, что множество обратимых элементов открыто, и операция перехода от к непрерывна.

Утверждение доказано.

Теорема 1. Для любого линейного непрерывного функционала функция аналитична на и при .
1   2   3   4

Похожие:

Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция №2 Прикладная математика Элементы матричной алгебры
Опр. Матрицей называется упорядоченная совокупность чисел, расположенная в виде таблицы
Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция №5. Условный оператор, оператор выбора. Логические операции в Паскале, таблица истинности, основные законы алгебры логики
Операции отношений. Логические операторы в Паскале. Таблицы истинности. Основные законы алгебры логики
Лекция №19 Банаховы алгебры iconРабочая учебная программа по дисциплине математика Специальность /направленuе: 230201. 65 Информационные системы и технологии код, наименование специальности /направления
Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconРабочая учебная программа по дисциплине математика Специальность /направленuе: 190401. 65 Электроснабжение железных дорог код, наименование специальности /направления
Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconФункции алгебры логики
Как уже отмечалось, значение формулы алгебры логики полностью зависит от значений входящих в эту формулу высказываний. Поэтому формула...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconПрограмма молодежной школы-конференции «Современные проблемы алгебры и математической логики»
Полотовский Г. М. (г. Нижний Новгород, Россия) «Топология вещественных алгебраических кривых: история, результаты, методы», лекция...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconАлгебры с тремя образующими 14 > Алгебра Qn(5, ту) 23
Гомоморфизм полиспектральной алгебры с обменными соотношениями в алгебру Zntk(T, rj)
Лекция №19 Банаховы алгебры iconАнализ 1/2 год
Системы множеств (полукольца, кольца, алгебры, алгебры и т д.). Различные свойства этих систем
Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция 7 Полные системы фал. Теорема Поста. Полные системы фал. Определение Пусть задана конечная система функций алгебры логики от «m»
Определение Пусть задана конечная система функций алгебры логики от «m» переменных
Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org