Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство



Скачать 470.96 Kb.
страница1/8
Дата08.10.2012
Размер470.96 Kb.
ТипМетодические указания
  1   2   3   4   5   6   7   8


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет»

Кафедра вычислительной математики и механики

  • Основы вариационного исчисления - II



Методические указания

и варианты заданий

для самостоятельной работы студентов

III курса специальностей КМ и ДПМ

Издательство

Пермского государственного технического университета

2008
  • Составитель: В.В. Малыгина

  • УДК 517 (075.8)


О75

Рецензент:

канд. техн. наук, доцент кафедры ВММ И.НБояршинова

Основы вариационного исчисления. Ч. II: метод. указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей КМ и ДПМ / сост. В.В. Малыгина. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. – 58 с.
Данное методическое пособие является продолжением пособия «Основы вариационного исчисления – I», сохраняя его обозначения и терминологию, а также продолжая нумерацию формул, примеров и заданий. В часть II вошли разделы «Вариационные задачи на плоскости и в пространстве», «Вариационные задачи с подвижными границами» и «Задачи на условный экстремум».
  • УДК 517 (075.8)



© ГОУ ВПО

«Пермский государственный

технический университет», 2008
  • Вариационные задачи на плоскости и в пространстве



Функционалы, рассматриваемые в части I, имели областью определения множества функций одной переменной. Соответственно, уравнение Эйлера, к которому сводилась вариационная задача, представляло собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

Предположим, что вариационная задача должна быть поставлена и решена для функции нескольких (ради определенности – двух) независимых переменных: . Тогда, если мы продолжим изучение функционалов интегрального вида, то вместо функции следует рассматривать функцию , а вместо однократного интеграла появится двойной, взятый по некоторой области
. (4)
Уточним условия на функцию . Помимо непрерывности в области вместе со своими частными производными, она должна удовлетворять граничным условиям. Остановимся на этом подробнее. В части I для однозначного определения экстремали задавались значения и , т.е. значения функции на границах отрезка . Для функции двух переменных, продолжая аналогию, естественно задать условия на границе области . Обозначим эту границу и потребуем, чтобы
.

На функционал (4) легко обобщается необходимое условие экстремума.

Обозначим для удобства В этих обозначениях функция примет вид .

Теорема. Пусть функция – экстремаль функционала (4). Тогда является решением уравнения:

. (5)

Полученное уравнение представляет собой уравнение в частных производных второго порядка. Если функция зависит только от одной переменной, то оно превращается в уравнение Эйлера. В самом деле, если , то , , , и (5) принимает вид

.
Пример 5. Найти экстремаль функционала

где – единичный круг с центром в начале координат, с граничными условиями .

Решение. Пользуясь введенными ранее обозначениями, запишем: . Уравнение (5) имеет вид: , то есть представляет собой уравнение эллиптического типа. Область, на которой ищется решение – внутренность круга (ограниченное множество), граница его – окружность, вдоль которой функция обращается в нуль. Следовательно, искомая экстремаль является решением задачи Дирихле для внутренности круга. Для круговых областей естественно переформулировать задачу, перейдя к полярным координатам :
(6)
Заменой переменных сводим уравнение (6) к однородному (с ненулевыми граничными условиями):
(7)

Как известно из курса уравнений математической физики, решение задачи (7) имеет представление в виде ряда:
.

Учитывая граничные условия, получаем:
,
откуда по формуле для коэффициентов ряда Фурье имеем:
. Следовательно,

, а .

Если функция зависит от переменных, то вариационная задача ставится для функционала, который представляет собой кратный интеграл

(8)
по области . Обобщая вышеприведенную теорему, приходим к выводу, что функция, являющаяся экстремалью функционала (8), необходимо удовлетворяет уравнению:
, где
В частности, для случая трехмерной области получаем следующее необходимое условие экстремума.

Теорема. Пусть функция – экстремаль функционала
.
Тогда является решением уравнения:
, где . (9)
Пример 6. Пусть – прямой круговой цилиндр. Найти экстремаль функционала
,
удовлетворяющую граничным условиям: , .

Решение. Для данного функционала уравнение (9) принимает вид . Поскольку область – цилиндр, то задачу удобнее переформулировать в цилиндрических координатах . Из вида граничных условий заключаем, что задача является осесимметричной. Ее решение не зависит от и является функцией двух переменных: . Следовательно, экстремаль данного функционала есть решение следующей задачи:

Полученное уравнение является уравнением в частных производных эллиптического типа и в совокупности с условиями на границе образует задачу Дирихле. Ее решение может быть получено методом разделения переменных.

Будем искать решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям в виде . Разделяя переменные, имеем:
.
Учитывая граничные условия, получаем, что функция является собственной функцией задачи Штурма–Лиувилля:

Как известно, собственные числа этой задачи , а соответствующие собственные функции . Для функции получаем уравнение
,
решением которого являются функции Бесселя мнимого аргумента: . Так как рассматриваемое уравнение и граничные условия являются линейными, то ряд, составленный из найденных функций и
,
при любых коэффициентах также является решением уравнения, удовлетворяющим однородным краевым условиям. Для определения используем последнее граничное условие:
.

Применяя теорему Стеклова, получаем: , при , то есть искомая экстремаль имеет вид:
.
  1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство
Основы вариационного исчисления. Ч. III: метод указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм пермь 2006
...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей
Методические рекомендации предназначены для индивидуальной работы студентов дневной формы обучения специальностей 080502, 080301,...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей
Методические указания предназначены для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов с целью выработки...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания содержат варианты заданий для самостоятельной работы студентов первого курса математического факультета по темам «Комплексные числа»
Описать множество точек, изображающих на комплексной плоскости числа удовлетворяющие условию
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания и варианты заданий для контрольных работ по курсу " концепции современного естествознания "
Методическая разработка содержит методические рекомендации и варианты заданий для контрольных работ. Она предназначена для студентов...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания к самостоятельной работе студентов 1-го курса всех специальностей, изучающих химию
Д. И. Менделеева. Прогнозирование свойств элементов и их соединений : методические указания к самостоятельной работе студентов 1-го...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconТесты для закрепления данной темы. Предназначены для самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы студентов 1-го курса всех специальностей, изучающих химию
Основные классы неорганических соединений : методические указания к изучению раздела курса общей химии / cост. Н. Л. Мара. – Хабаровск...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей
Методические рекомендации предлагаются для самостоятельной работы студентов дневной, вечерней и заочной форм обучения
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания для самостоятельной работы в межсессионный период и подготовки к сдаче контрольных работ для студентов 1 курса заочного отделения по специальности 1-74 02 01 «агрономия»
Методические указания предназначены для студентов агрономического факультета заочного отделения. В них содержаться рекомендации по...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org