Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство



Скачать 151.85 Kb.
страница1/4
Дата08.10.2012
Размер151.85 Kb.
ТипМетодические указания
  1   2   3   4
Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет»

Кафедра вычислительной математики и механики


Основы вариационного исчисления - III



Методические указания

и варианты заданий

для самостоятельной работы студентов

III курса специальностей КМ и ДПМ

Издательство

Пермского государственного технического университета

2011

Составитель: В.В. Малыгина

УДК 517 (075.8)


О75

Рецензент:

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ВММ К.М. Чудинов

Основы вариационного исчисления. Ч. III: метод. указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей КМ и ДПМ / сост. В.В. Малыгина. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 23 с.
Данное методическое пособие является продолжением пособий «Основы вариационного исчисления – I» и «Основы вариационного исчисления – II», сохраняя их обозначения и терминологию, а также продолжая нумерацию формул, примеров и заданий. Часть III посвящена достаточным условиям экстремума интегральных функционалов.

УДК 517 (075.8)



© ГОУ ВПО

«Пермский государственный

технический университет», 2011

Достаточные условия экстремума



В первой и второй части нашего методического пособия было показано, что решение уравнения Эйлера (или его обобщений) позволяет определить класс экстремалей, то есть кривых, на которых возможен экстремум. Точнее сказать, теорема о необходимом условии экстремума утверждает, что ни на каких иных кривых, кроме тех, которые являются решением уравнения Эйлера, экстремум достигаться не может. Но всегда ли экстремум достижим на экстремалях? И если да, то каков характер экстремума – максимум или минимум? Ни одно из приведенных выше утверждений не дает ответа на этот вопрос.

Конечно, возможна простая и приятная ситуация, когда вариационная задача имеет ясно выраженный геометрический и физический смысл, из которого сразу следует, что функционал обязательно имеет экстремум, и к тому же понятно – максимум это будет или минимум. Тогда, если экстремаль определяется однозначно, то никаких дополнительных исследований не понадобится: эта экстремаль и есть решение вариационной задачи.

Если же дополнительной информации о свойствах функционала нет, то необходимы формальные условия, гарантирующие наличие у данного функционала экстремума и разделяющие максимум с минимумом.

Установлению таких – достаточных – условий максимума и минимума функционалов интегрального вида посвящена третья часть нашего методического пособия.


  1. Вторая вариация


Снова обратимся к функции одной переменной и вспомним, как решалась для нее аналогичная задача. Наряду с необходимым условием экстремума (обращение в нуль первой производной) в курсе математического анализа доказывался ряд достаточных условий экстремума. Проще всего обобщается на случай функционалов следующий признак: если вторая производная сохраняет знак в точке экстремума, то в этой точке минимум – если вторая производная положительна, и, соответственно, максимум – если вторая производная отрицательна.

Чтобы обобщить эту теорему, нам нужно ввести аналог второй производной. Так как аналогом первой производной (точнее, дифференциала) оказалась вариация функционала, то естественно продолжить аналогию и ввести понятие второй вариации функционала по той же схеме.
Определение. Второй вариацией функционала в точке назовем число

.

Как и раньше, в центре нашего внимания будет интегральный функционал

(16)

для которого решается задача отыскания максимума или минимума на множестве функций, проходящих через две фиксированные точки: .

Напомним, что для этой вариационной задачи первая вариация функционала (16) имеет вид:

.

Найдем для этой же задачи вторую вариацию функционала (16). По формуле второй вариации, применяя интегрирование по частям и условие закрепления концов, получаем





.

В дальнейшем для краткости будем полагать:

, .

Тогда вторая вариация примет вид

.

Следующая теорема показывает, что знак второй вариации действительно тесно связан с характером экстремума функционала.
Теорема 1. Пусть функционал , – точка экстремума функционала, причем в этой точке существует вторая вариация. Тогда:

  • если – точка минимума, то при всех ;

  • если – точка максимума, то при всех .


Доказательство этих утверждений проводится по одной схеме, так что ограничимся только первым. Пусть – точка минимума нашего функционала. Предположим, что при некотором и рассмотрим функцию одной вещественной переменной . Так как при всех достаточно малых справедливо неравенство
,
то есть точка локального минимума функции . Легко видеть, что ,. Согласно необходимому условию экстремума, . По предположению, , но тогда и в точке у функции – максимум. Противоречие.

Следствие. Пусть – точка минимума (максимума) функционала (16). Тогда (соответственно,) .

Доказательство. Пусть, ради определенности, – точка минимума. Предположим, что в некоторой точке выполнено неравенство. Так как функции и непрерывны на , то существуют такие постоянные , что, а на некотором ненулевом отрезке . Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию , отличную от нуля при и равную нулю при . Положим и найдем знак второй вариации на этой функции. По определению второй вариации имеем:





,

что противоречит теореме 1.
После знакомства с теоремой 1 возникает естественная гипотеза: если потребовать, чтобы вторая вариация функционала на экстремали сохраняла знак, не получим ли мы тогда (аналогично ситуации для функций) искомое достаточное условие максимума и минимума соответственно?

К сожалению, это предположение не верно, как показывает следующий простой пример.
Пример 1. Найдем экстремали функционала ,

удовлетворяющие граничным условиям .

Легко видеть, что решением уравнения Эйлера являются функции и , из которых граничным условиям удовлетворяет только первая. Так как
, а ,

то при . Следовательно, вторая вариация положительна на экстремали.

Тем не менее, функция не является точкой локального минимума для данной вариационной задачи. Очевидно, что . Покажем, что в любой, сколь угодно малой окрестности нулевой функции найдутся функции (удовлетворяющие граничным условиям), на которых функционал строго отрицателен.

Зафиксируем и построим семейство функций .



Все функции семейства непрерывны на отрезке и удовлетворяют граничным условиям. Вычислим :

.

Следовательно, в любой сколь угодно малой окрестности нуля функционал принимает отрицательные значения. Это и означает, что функция не является точкой локального минимума.

  1   2   3   4

Похожие:

Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство
Основы вариационного исчисления. Ч. II: метод указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм пермь 2006
...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей
Методические рекомендации предназначены для индивидуальной работы студентов дневной формы обучения специальностей 080502, 080301,...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей
Методические указания предназначены для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов с целью выработки...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания содержат варианты заданий для самостоятельной работы студентов первого курса математического факультета по темам «Комплексные числа»
Описать множество точек, изображающих на комплексной плоскости числа удовлетворяющие условию
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания и варианты заданий для контрольных работ по курсу " концепции современного естествознания "
Методическая разработка содержит методические рекомендации и варианты заданий для контрольных работ. Она предназначена для студентов...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания к самостоятельной работе студентов 1-го курса всех специальностей, изучающих химию
Д. И. Менделеева. Прогнозирование свойств элементов и их соединений : методические указания к самостоятельной работе студентов 1-го...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconТесты для закрепления данной темы. Предназначены для самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы студентов 1-го курса всех специальностей, изучающих химию
Основные классы неорганических соединений : методические указания к изучению раздела курса общей химии / cост. Н. Л. Мара. – Хабаровск...
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей
Методические рекомендации предлагаются для самостоятельной работы студентов дневной, вечерней и заочной форм обучения
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство iconМетодические указания для самостоятельной работы в межсессионный период и подготовки к сдаче контрольных работ для студентов 1 курса заочного отделения по специальности 1-74 02 01 «агрономия»
Методические указания предназначены для студентов агрономического факультета заочного отделения. В них содержаться рекомендации по...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org