Iii классическое вариационное исчисление



страница1/2
Дата08.10.2012
Размер0.54 Mb.
ТипДокументы
  1   2

  • Глава III

  • Классическое вариационное исчисление


В настоящее время в теории вариационного исчисления разработан мощный и универсальный математический аппарат, позволяющий решать экстремальные задачи в функциональных пространствах. Этот аппарат находит широкое применение при решении различного рода технических задач.

В этой главе будут сформулированы и введены необходимые условия первого порядка для некоторых классов задач, рассматриваемых в классическом вариационном исчислении: задача Больца, простейшая задача классического вариационного исчисления, изопериметрическая задача и т. п.

§3.1. Постановка общей задачи математического

программирования

Пусть  – линейное пространство, на котором заданы функционалы и оператор , принимающий значения в линейном пространстве . Общая задача математического программирования имеет следующий вид:

(3.1)

при ограничениях

, (3.2)

. (3.3)

Если , то оператор является векторным функционалом и ограничение (3.3) в «покоординатной форме» записывается в виде равенств . В этом случае общая задача математического программирования отличается от задачи математического программирования (§1.6) с ограничениями в форме неравенств и равенств только тем, что в ней вместо функций рассматриваются функционалы.

В класс общих задач математического программирования входят задачи, являющиеся предметом изучения вариационного исчисления и оптимального управления.

В вариационном исчислении исследуются задачи с целевыми функционалами следующих трех типов.

1) Интегральный функционал задается формулой



где  – gif" name="object14" align=absmiddle width=193 height=149>-мерная вектор-функция вида , ,  – числовая функция переменной. Функционал такого вида при участвует в формулировке простейшей задачи вариационного исчисления.

2) Терминальный функционал определяется равенством

,

где  – числовая функция двух переменных.

3) Смешанный функционал представляет собой сумму интегрального и терминального функционалов:

.

Если в вариационной задаче ограничения имеют вид системы функциональных равенств , где  – функционалы и , то ее называют изопериметрической задачей.

В более сложных вариационных задачах встречаются дифференциальные ограничения (дифференциальные связи), имеющие вид

,

где – числовые функции переменной. В частности, при дифференциальные ограничения могут иметь следующий вид:



где  – числовые функции переменной. Дифференциальные ограничения представляют частный случай общего ограничения (3.3). Действительно, обозначим через функционал, который определён на рассматриваемом линейном пространстве векторных функций формулой Тогда дифференциальные равенства равносильны равенствам которые, вводя векторный функционал , можно записать в виде (3.3).

Во всех указанных выше вариационных задачах фигурируют только первые производные искомой функции. Задачи, в целевой функционал (а также ограничения, если они имеются) которых входят производные более высокого порядка, называют задачами высшего порядка. Эти задачи более трудны для исследования.

В задаче оптимального управления имеется два типа переменных: переменные состояния (– мерная вектор-функция) и переменные управления (- мерная вектор-функция). Целевой функционал в общем случае может быть суммой интегрального и терминального членов

,

а дифференциальные ограничения, которые обязательно присутствуют в задаче, имеют вид



Здесь  – функции переменной. Кроме того, в задаче оптимального управления имеется ограничение на возможность выбора переменных управления: при , где обычно замкнутое ограниченное множество евклидова пространства. Подобных ограничений в классических вариационных задачах нет.

Для иллюстрации области применения задач вариационного исчисления и задач оптимального управления, приведём примеры, которые стали уже классическими. Решение приведённых ниже примеров можно найти например в [2, 4, 11, 15]. Мы же ограничимся лишь формулировкой и формализацией.

  1. Задача определения траектории распространения света в среде с переменной плотностью.

Пусть в плоской прозрачной неоднородной изотропной среде имеется точечный источник распространения света. Введём в этой среде прямоугольную декартову систему координат . Обозначим через скорость распространения света в точке . Возьмём любую пару точек и , удовлетворяющих условию , и расположим источник света в точке . Требуется определить форму кривой, вдоль которой свет распространяется от точки до .

Согласно принципу Ферма, свет распространяется по такой траектории, для перемещения вдоль которой требуется наименьшее возможное время. Пусть  – функция, график которой представляет искомую кривую, проходящую через точки и . Обозначим через длину пройденного светом пути, через  – время, тогда получим выражение для скорости распространения света:

.

Для нахождения времени распространения света от точки до следует проинтегрировать данное выражение и сделать последующую замену переменной. Тогда получим следующее выражение для времени :

.

Таким образом, приходим к простейшей вариационной задаче минимизации функционала



на множестве гладких функций, удовлетворяющих граничным условиям .

  1. Задача определения формы подвешенной нити.

В двух точках вертикальной плоскости закреплены концы однородной абсолютно гибкой нити длины (рис. 3.1). Требуется определить форму, которую нить примет под действием силы тяжести.

Расположим в данной плоскости прямоугольную декартову систему координат так, чтобы действие силы тяжести было направлено противоположно направлению оси ординат. Для простоты ограничимся случаем, когда точки и , в которых закреплена нить, расположены на одной высоте: ,

. Пусть  – уравнение искомой кривой. Тогда выражение для потенциальной энергии нити имеет вид:

Рис. 3.1.

, (3.4)

где  – линейная плотность,  – ускорение свободного падения. Длина нити постоянна и равна . Запишем это условие в виде ограничения-равенства

. (3.5)

Очевидно, что нить займет положение, в котором ее потенциальная энергия примет наименьшее возможное значение, и поэтому задача сводится к отысканию такой гладкой функции , на которой достигается минимум функционала (3.4) при ограничении (3.5) и удовлетворяющей граничным условиям: .

  1. Задача о брахистохроне.

Слово «брахистохрона» образовано из двух слов, которые в переводе на русский язык означают «кратчайший» и «время». Эта задача, о которой упоминает ещё Галилей. После исследований И. Бернулли 1696 г., задача о брахистохроне послужила толчком к появлению методов решения широкого класса подобных задач, составивших впоследствии основу вариационного исчисления.

Пусть в вертикальной плоскости имеются две точки и (первая выше второй). Данные точки могут быть соединены различными плоскими кривыми (в частности, и прямой линией). Предположим, что в помещена материальная точка массы , которая под действием силы тяжести может «скатываться» из точки в по различным кривым, соединяющим и .

Геометрически задача о брахистохроне заключается в отыскании такой кривой (если она существует), по которой материальная точка достигнет за кратчайшее время. Эту кривую называют брахистохроной.

Введем на рассматриваемой плоскости прямоугольную систему координат. Для удобства поместим ее начало в точку и направим ось ординат вертикально вниз (рис. 3.2). Обозначим координаты точки через . По условию, материальная точка начинает двигаться из без начальной скорости, поэтому согласно закону сохранения энергии можно записать:

,

где  – скорость,  – ордината материальной точки,  – ускорение свободного падения. Отсюда находим, что . Будем считать, что искомая кривая имеет вид:  – уравнение кривой, по которой «скатывается» материальная точка. Если обозначить через  – длину пройденного точкой пути, а через  – время, то можно записать

.

Следовательно,

.

Интегрируя и делая замену переменных, получаем следующее выражение:

, (3.6)

где  – время, в течение которого материальная точка движется вдоль кривой из в .

Равенство (3.6) задает функционал , определенный на множестве кривых вида , подчиненных граничным условиям:

. (3.7)

Из физических соображений ясно, что рассматриваемые кривые не должны иметь «изломов» («углов») и поэтому функции можно считать гладкими (непрерывно дифференцируемыми): .

Приведём математическую постановку задачи о брахистохроне: среди всех функций вида пространства , которые удовлетворяют условиям (3.7), требуется найти функцию (если она существует), реализующую минимум функционала , определяемого формулой

.

  1. Задача определения критической нагрузки балки.

Пусть балка длины , имеющая цилиндрическую форму, расположена вертикально. Ее нижний конец жестко закреплен, а верхний под действием нагрузки может перемещаться по вертикальной прямой таким образом, что касательная, проведенная к осевой линии балки в точке , все время проходит через отрезок (рис. 3.3). Требуется определить критическую нагрузку , при которой вертикальное положение балки является положением устойчивого равновесия.

Обозначим через длину дуги осевой линии балки, отсчитываемую от точки , а через меньший из углов, образованных отрезком и касательной к осевой линии, проведенной в точке, которая расположена на расстоянии от . Тогда потенциальная энергия изогнутой балки выражается формулой:

, (3.8)

где  – константа, зависящая от коэффициента упругости и момента инерции поперечного сечения. Состояние устойчивого равновесия характеризуется минимумом потенциальной энергии, поэтому задача сводится к определению таких значений , при которых функция реализует наименьшее возможное значение функционала (3.8) на множестве функций вида .

  1. Задача о мягкой посадке ракеты на Луну.

Пусть в начальный момент времени ракета, которую мы для простоты примем за материальную точку массы , находится на высоте над поверхностью Луны и имеет скорость , направленную вертикально вниз. Задача заключается в выборе такого режима работы двигателя, чтобы в некоторый (не заданный заранее) момент времени ракета достигла поверхности Луны и при этом ее скорость была равна нулю (мягкая посадка). Введём систему координат, связанную с поверхностью Луны (ось направлена вертикально вверх). Тогда уравнение движения ракеты имеет следующий вид:

, (3.9)

где  – расстояние от ракеты до поверхности Луны;  – ускорение свободного падения на Луне,  – сила тяги двигателя. Понятно, что тяга двигателя не может быть сколь угодно большой; она ограничена техническими возможностями двигателя, т.е.

. (3.10)

При этих условиях возможны несколько различных режимов работы двигателя, обеспечивающих мягкую посадку. Нужно выбрать тот, который с определенной точки зрения является наиболее выгодным. Примем в качестве критерия такой выгодности минимум расходуемого при посадке топлива. Обозначим расход топлива в единицу времени через . Учитывая, что сила пропорциональна расходу топлива в единицу времени, можно записать: , где  – коэффициент пропорциональности. Тогда общий расход топлива за время выражается интегралом , поэтому критерий выгодности (оптимальности) режима работы двигателя можно задать с помощью следующего функционала:

. (3.11)

Теперь сформулируем задачу о мягкой посадке: найти кусочно-непрерывную функцию , подчиненную неравенствам (3.10), при которой решение уравнения (3.9) удовлетворяет при заданным начальным условиям:

,

а при некотором  – условиям

,

причем такое, что функционал (3.11) принимает минимальное возможное значение на множестве таких функций (считаем, что класс кусочно-непрерывных функций является наиболее широким классом технически реализуемых функций ).

Сформулированная задача является простейшей задачей оптимального управления. Управлением служит функция .

§3.2. Задача Больца

Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве непрерывно дифференцируемых функций :

, (3.12)

 – функция трёх переменных, называемая интегрантом;

 – функция двух переменных, называемая терминантом;

 – функционал Больца;

 – фиксированный и конечный отрезок .

Задача Больца – элементарная задача классического вариационного исчисления.

Будем считать, что функция из (3.12) задана и по крайней мере непрерывна на некоторой области .

Опишем множество допустимых функций, на котором минимизируется функционал :

 при всех .



Рис. 3.4.

Здесь отсутствуют краевые условия множества . С геометрической точки зрения это означает, что минимальное значение функционала ищется на классе гладких кривых вида , концы которых не фиксированы и могут быть произвольно расположены на прямых и (рис. 3.4).

Решением задачи Больца является допустимая функция, реализующая на указанном множестве наименьшее возможное значение функционала .

Определение. Функция доставляет (слабый) локальный минимум (максимум) задаче (3.12), то есть функционалу в пространстве , если для любой функции , для которой , выполнено неравенство

.

Замечание. 1. Если , то .

2. Наряду со слабым экстремумом в классическом вариационном исчислении рассматривается также сильный экстремум. При этом несколько расширяется класс функций, на которых рассматривается функционал . Экстремум в задаче ищется среди функций , принадлежащих , то есть кусочно-непрерывных дифференцируемых функций.

Теорема 3.1 (необходимые условия экстремума). Пусть функция доставляет слабый локальный экстремум в задаче Больца (3.12). Предположим, что интегрант непрерывен вместе со своими частными производными по и в некоторой окрестности множества , а терминант непрерывно дифференцируем в окрестности точки .

Тогда и выполнены:

  1. уравнение Эйлера

;

  1. условия трансверсальности

, ;

.

єНеобходимые условия для задачи Больца отличаются от соответствующих условий для простейшей вариационной задачи наличием условий трансверсальности вместо краевых условий. В записи условий трансверсальности фигурируют как значения функции в концевых точках, так и значения производных. Поэтому график оптимальной функции вблизи концевых точек (т.е. вблизи точек пересечения с прямыми и ) не может быть произвольным, а подчиняется определённым требованиям. Наличие условий трансверсальности в задаче Больца связано с возможностью перемещения концов допустимых линий вдоль прямых и .

Доказательство теоремы разобьем на три этапа, т.к. они в той или иной форме будут встречаться при доказательстве других теорем классического вариационного исчисления и оптимального управления.

I этап. Определение вариации по Лагранжу.

Возьмем произвольную, но фиксированную функцию . Поскольку (3.12), то функция одного переменного



имеет экстремум при .

Обозначим через . Из условий гладкости, наложенных на , , следует, что функция дифференцируема в нуле. Действительно, функции и непрерывны в некотором прямоугольнике , и, значит, по известной теореме из анализа можно дифференцировать под знаком интеграла. Но тогда по теореме Ферма .

Дифференцируя функцию и полагая , получим



(3.13)

.

Таким образом, мы вычислили вариацию по Лагранжу функционала (3.13) и показали, что необходимым условием слабого локального экстремума этого функционала на  – является равенство нулю его вариации по Лагранжу.

II этап. Лемма Дюбуа-Реймона.

Пусть на отрезке функции и непрерывны и пусть для любой непрерывно дифференцируемой функции , для которой , выполнено равенство

.

Тогда функция непрерывно дифференцируема и

.

єВозьмем функцию , такую, что

и .

Тогда для любой функции , для которой , по условию леммы должно выполняться равенство

.   (3.14)

Выберем функцию такую, что , .

Тогда в силу выбора функции

.

Значит, для функции должно выполняться равенство (3.14), т.е.

.

Из этого соотношения следует, что , т.е. и т.к. Д

III этап. Равенство (3.13) выполняется для любой функции , а значит для всех функций

.

Следовательно, из (3.13) вытекает, что

.

По лемме Дюбуа-Реймона и

. (3.15)

Проинтегрируем по частям в равенстве (3.13) (оно стало возможным в силу доказанного включения ) и учитывая (3.15), получим





.   (3.16)

Подставим в (3.16) последовательно и , придем к условиям трансверсальности:

и . (3.17)

Набор условий для нахождения слабого локального экстремума – полный. Действительно, уравнение Эйлера (3.15) – дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две неизвестные константы. Для определения этих констант имеются два уравнения – условия трансверсальности (3.17).Д

Замечание. Рассмотрели необходимое условие экстремума для одномерной задачи Больца. Рассмотрим векторный случай, т.е. , , .

Тогда необходимые условия в векторной задаче Больца будут состоять из системы уравнений Эйлера

, (3.15')

и условий трансверсальности, задающихся системой уравнений



Сформулируем правило решения задачи Больца.

  1. Формализовать задачу, то есть привести её к виду (3.12).

  2. Выписать необходимые условия:

а) уравнение Эйлера

.

Решения уравнения Эйлера называются допустимыми экстремалями.

б) условия трансверсальности

; .

  1. Найти допустимые экстремали, то есть решения уравнения Эйлера, удовлетворяющие на концах условиям трансверсальности.

  2. Доказать, что решением является одна из допустимых экстремалей, или показать, что решения нет.

Пример.

є .

; .

1) Составим уравнение Эйлера:

.

Решение дифференциального уравнения: .

2) Условия трансверсальности:



Решая систему, найдем допустимую экстремаль: .

  1. Для того чтобы показать существование экстремума или его отсутствие, рассмотрим разность





.



=





.



Знак не определен. Возьмем в качестве .

.



.

Следовательно, – не доставляет экстремума.

Ответ: .

§3.3. Простейшая задача классического вариационного исчисления

Простейшей задачей в классическом вариационном исчислении называется следующая экстремальная задача в пространстве :

; . (3.18)

 – называется интегрантом. Экстремум в задаче (3.18) рассматривается среди функций , удовлетворяющих условиям на концах, или краевым условиям , , называемых допустимыми.

Определение. Говорят, что допустимая функция доставляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче (3.18), то есть , если : для любой допустимой функции , для которой , выполняется неравенство:

.

Наряду со слабым экстремумом в классическом вариационном исчислении рассматривается сильный экстремум. При этом несколько расширяется класс функций, на которых рассматривается функционал . Экстремум в задаче ищется среди функций , принадлежащих классу , то есть среди кусочно-непрерывных дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям на концах.

Определение. Говорят, что допустимая функция доставляет сильный локальный минимум (максимум), если : для любой допустимой функции , для которой , выполняется неравенство: .

Замечание. Если доставляет сильный, то она доставляет и слабый экстремум. Поэтому для таких функций необходимое условие слабого экстремума является необходимым условием сильного, а достаточное условие сильного экстремума является достаточным условием слабого.

Теорема 3.2 (Необходимое условие экстремума). Пусть доставляет слабый локальный экстремум в простейшей задаче классического вариационного исчисления, а интегрант непрерывен вместе со своими частными производными по и в некоторой окрестности множества . Тогда и выполнено уравнение Эйлера: .

єДоказательство аналогично доказательству теоремы для необходимых условий в задаче Больца.

Возьмем произвольную, но фиксированную функцию . Тогда  – допустимая функция . Положим . Из условия (3.18) следует, что . Пользуясь дифференцируемостью функции в нуле и выражением для вариации функционала, получаем



Из леммы Дюбуа-Реймона следует, что и выполнено уравнение Эйлера. Д

Правило решения.

  1. Формализовать задачу, т.е. привести ее к виду (3.18).

  2. Выписать необходимое условие – уравнение Эйлера:

.

  1. Найти допустимые экстремали, т.е. решения уравнения Эйлера, являющиеся допустимыми функциями.

  2. Доказать, что решением является одна из допустимых экстремалей, или показать, что решения нет.

Это правило находится в полном соответствии с принципом Лагранжа. Покажем это соответствие.

  1. Функция Лагранжа задачи (3.18) имеет вид



  1. Необходимые условия экстремума в задаче являются необходимыми условиями экстремума в задаче Больца и записываются следующим образом:



  1. Если , то из условий трансверсальности следует, что .

Это противоречит тому, что не все множители Лагранжа равны нулю. Полагаем и приходим к уравнению Эйлера. Условия трансверсальности дают возможность только отыскать неизвестные множители Лагранжа и , которые нам в принципе не нужны. Осталось найти допустимые экстремали и выбрать из них решение или показать, что решения нет.

Набор условий для нахождения допустимой экстремали является полным. Уравнение Эйлера – дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его общее решение содержит две неизвестные константы, для определения которых имеются два уравнения – условия на концах. Таким образом, чаще всего допустимая экстремаль единственна.

Рассмотрели теорему для одномерной простейшей задачи классического вариационного исчисления. Запишем ее для векторного случая. Пусть в задаче (3.18)  – функция переменных. Необходимые условия в простейшей векторной задаче состоят из системы уравнений Эйлера:

.

Пример. .

єУравнение Эйлера: (или ) или .

Общее решение: . Единственная допустимая экстремаль:  – доставляет слабый локальный минимум.

Действительно, пусть . Тогда

.

Воспользуемся оценкой ,



§3.4. Задачи с подвижными концами

Постановка задачи. Задачей с подвижными концами называется следующая задача в пространстве :

; (3.19)

, , (3.20)

где  – заданный конечный отрезок, , ,  – функция трёх, а  – четырёх переменных.

В отличие от задачи Больца и простейшей задачи классического вариационного исчисления, концы отрезка интегрирования являются подвижными. Значения функции в точках и в общем случае могут быть и не заданы.

Частным случаем задачи (3.19), (3.20) является задача, в которой один из концов или  – подвижный, а другой закреплён.

Определение. Тройка называется допустимой в (3.19), если , , и выполняются условия (3.20) на концах.

Определение. Допустимая тройка доставляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче (3.19), если существует : для любой другой допустимой тройки , для которой и , выполняется неравенство:

.

При этом пишут .
  1   2

Похожие:

Iii классическое вариационное исчисление iconВ. А. Кириченко, А. В. Колесников Вариационное исчисление и оптимальное управление
Классическое вариационное исчисление. Уравнение Эйлера. Метод множителей Лагранжа. Условие трансверсальности. Классические вариационные...
Iii классическое вариационное исчисление iconВопросы к тесту по курсу "Методы оптимизации и классическое вариационное исчисление"
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами (правая часть специального...
Iii классическое вариационное исчисление iconЗадача на быстродействие. Алгоритм ее решения. Классическое вариационное исчисление. Уравнение Эйлера. Задачи
Алгоритм поиска решения задачи оптимизации "в среднем". Нахождение функции /достижимости. Теорема Ляпунова, лемма Каратеодори
Iii классическое вариационное исчисление iconКраевые задачи и вариационное исчисление
Направление подготовки 010400. 62 прикладная математика и информатика (математическое и информационное обеспечение)
Iii классическое вариационное исчисление iconВариационное исчисление и оптимальное управление
Задачи без ограничений. Условия экстремума I и II порядка. Критерий Сильвестра. Теорема Вейерштрасса
Iii классическое вариационное исчисление iconВариационное исчисление и оптимальное управление
Дифференцируемость функций и отображений в R, теорема о производной суперпозиции отображений, формула Тейлора
Iii классическое вариационное исчисление iconВопросы к экзамену по курсу "Вариационное исчисление"
Постановка простейшей задачи классического вариационного исчисления. Определение экстремума задачи
Iii классическое вариационное исчисление iconВариационное исчисление и оптимальное управление
Дифференцирование конкретных отображений: оператор Немыцкого, оператор краевых условий, интегральный функционал
Iii классическое вариационное исчисление iconВопросы к экзамену по курсу лекций «Вариационное исчисление и оптимальное управление»
Пространство линейных непрерывных операторов. Сопряженные операторы. Лемма о сопряженном пространстве к произведению пространств
Iii классическое вариационное исчисление iconПрограмма курса лекций «вариационное исчисление и оптимальное управление»
Теоремы дифференциального исчисления без доказательства (о суперпозиции, формула Тейлора, о полном дифференциале). Контрпримеры на...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org