Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения



Скачать 317.45 Kb.
Дата26.07.2014
Размер317.45 Kb.
ТипДокументы


Тема: Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения.

Цель:

  • Ввести понятия квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения. Сформировать умения различать квадратные уравнения, определять коэффициенты квадратного уравнения и по ним определять вид квадратного уравнения. Сформировать умения и навыки решения неполных квадратных уравнений.

  • Развивать логическое мышление.

  • Воспитывать трудолюбие, развивать самостоятельность.


Ход урока

  1. Орг. момент.

Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

В алгебры мир отправимся смело,

В мир примеров и разных задач.

А девизом нашего урока буду такие слова:

Думать - коллективно!

Решать - оперативно!

Отвечать - доказательно!

Бороться - старательно!

И открытия нас ждут обязательно!



  1. Мотивация урока. Постановка целей и задач урока.

Ребята, мы приступаем к изучению новой главы «Квадратные уравнения». Эта тема очень важна тем, что в результате ее изучения вы овладеете новым математическим аппаратом решения уравнений, позволяющим решать многообразные задачи не только математические. С помощью квадратных уравнений решаются текстовые задачи различных видов, находятся корни квадратного трехчлена, нули квадратичной функции ( 9кл.), находятся критические точки при исследовании функций (10кл.), решаются показательные, тригонометрические, логарифмические уравнения, приводимые к квадратным (11кл.). Применяются в курсе физики по теме «Равноускоренное движение. Падение тел». Учащиеся ставят свои цели и задачи урока и сопоставляют их с целями и задачами, которые ставит на урок учитель.

  1. Актуализация опорных знаний.

Выполнение устных упражнений.

  1. Представить в виде многочлена выражения:

(х-2)(2+х); (х-3)2; 3-у).у; (у-1)(у+2),

  1. Что такое уравнение?

  2. Что значит решить уравнения?

  3. Какие уравнения вы знаете?

  4. Равносильны ли уравнения:

3х-2=х+3 и 2х-5=0

0,5х-3=0 и х-6=0

Ответы обосновать.


  1. Решить уравнения:

а) х2=64; б) х2-144=0; в) х2+25=0; г) (х-1)2=9; д) (х+5)2=0.


4. Объяснение нового материала.

Задача 1. Одна сторона прямоугольника больше другой на 2 см., а площадь равна . Найти стороны прямоугольника.

Решение: х см- ширина; (х+2)см-длина; х(х+2)=15; +2х=15.

Учащиеся останавливаются на данном шаге. Не могут решить уравнение.

В связи с этим, какая задача возникает перед нами? (Найти способ решения данных уравнений и выяснить, что это за уравнение)

Как мы будем его решать?

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2+bx+c=0, где a,b и c произвольные числа, причем а≠0.

Числа a,b,c – это коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым или старшим коэффициентом, b-вторым коэффициентом, а c-свободным числом.

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Например, х2-12х+20=0, х2-2/3х=0, х-√50=0.

Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент, неравен 1, можно привести к приведенному, разделив обе части уравнения на коэффициент при х2.


Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся во второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.


  1. Закрепление материала.

Устные упражнения.

  1. Работа по карточкам.

Покажите с помощью стрелок связь между коэффициентами неполного квадратного уравнения.

Ответы учащиеся проверяют с помощью взаимопроверки.





  1. Работа с учебником: № 572, 573, 579- устно.


Письменное решение уравнений.

  1. Работа с учебником.

№ 575, 577, 582, 584, 589– коллективное решение

  1. Самостоятельная работа.

Выполнение теста.

Какое из данных уравнение является квадратным?






  1. А) 3х2-5х=х-3;

Б) 7x+11=0;

В) x(x-l)=x2-2x;

Г)(х-7):х=0.


  1. А) 3x=2;

Б) 7x2=9x+12;

В) x(x+3)=x2-2x;

Г) (х+1):х=0

Выпишите коэффициента а,b, c из квадратного уравнения:




x2+2x+7=0. 3x2-5x-2=0 x2-81=0

А)4,
Б)4,


В)4,
Г)4,

  1. Рефлексия. Домашнее задание.

    • Какие уравнения называются квадратными? Приведите пример.

    • Как называются коэффициенты квадратного уравнения?

    • Какие квадратные уравнения называются приведенными?

    • Как привести квадратное уравнения к приведенному?

- Какую цель мы поставили в начале урока?

-Мы достигли цели?

-Какие знания, полученные ранее, нам позволили «открыть» новое знание?

-Проанализируйте результат своей работы.



  1. Выучить теоретический материал, параграф 17.

  2. Письменно № 574, 578, 583, 585(1), 590(1).

  3. Повторить упражнения на выделение полного квадрата двучлена.


Тема: Формула корней квадратного уравнения.

Цель урока:

  • Ввести понятие дискриминанта и исследовать коэффициенты квадратного трехчлена.

  • Развивать познавательную активность учащихся и логическое мышление.

Последовательно формировать у учащихся умение выдвигать гипотезы, аргументировано доказывать их.

  • Воспитывать трудолюбие, развивать самостоятельность.


Ход урока

  1. Орг. момент.

«Уравнение представляет собой наиболее

серьёзную и важную вещь в математике». Лодж О.



  1. Мотивация урока. Постановка целей и задач урока.

Не всегда уравненья

Разрешают сомненья

Но итогом сомненья

Может быть озаренье.



  1. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Устный опрос.

  1. Что такое уравнение?

  2. Что значит решить уравнение?

  3. Что такое корень уравнения?

  4. Какое уравнение называется квадратным?

  5. Почему коэффициент а не может равняться нулю?

  6. Какие существуют квадратные уравнения?

  7. Как получаются неполные квадратные уравнения?

  8. Как называются числа а, в, с?

  9. Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

  10. Сколько корней может иметь уравнение каждого вида?

«Проверь себя»
На доске задания: http://festival.1september.ru/articles/508994/img11.gif

Задание №1

Выпишите под какими номерами


стоят квадратные уравнения?

Задание №2
Дайте характеристику каждого квадратного уравнения.

Задание №3
Сколько корней имеет уравнение 4), 6), 7), 9)?







  1. Изучение нового материала.

Учащимся предлагаются несколько уравнений.

2x2+x+3=0 и 2x2-x+3=0

2x2-x-3=0 и 2x2+x-3=0

3x2-6x+3=0 и 3x2+6x+3=0


  • Какие из следующих уравнений, на ваш взгляд, имеют корни, а какие – не имеют корней. Можете ли вы ответить на этот вопрос, не решая уравнений?

(ответ детей)

Как вы думаете, количество корней квадратного уравнения определяется:

- одним коэффициентом;
- двумя коэффициентами;
- тремя коэффициентами;
- некоторым выражением, составленным из коэффициентов?

(дискуссия детей)

Чтобы правильно ответить на эти вопросы, решим данные уравнения.

Да, вы правы, число корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0 зависит от выражения составленного из коэффициентов этого уравнения. Что это за выражение? Как оно влияет на количество корней? Проанализируем формулу корней квадратного уравнения.

рисунок 1

1. Если b2-4ac >0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.


2. Если b2-4ac =0, то квадратное уравнение имеет два совпадающих действительных корня.
3. Если b2-4ac <0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответь на вопросы:

- Влияет ли знак второго коэффициента на количество корней квадратного уравнения?


- Верно ли, что если в квадратном уравнении коэффициенты a и с имеют противоположные знаки, то это уравнение обязательно имеет два различных корня.
- Что вы можете сказать о количестве корней квадратного уравнения, у которого коэффициенты а и с одного знака.

Выполняя задание, вы, конечно, обратили внимание на то, что “различителем” числа корней квадратного уравнения является выражение b2- 4ас.

Ему дано специальное имя – дискриминант (от discriminantis – по латыни “различающий”, “разделяющий”).

Дискриминант обозначается буквой D:



D= b2- 4ас

А в толковом математическом словаре (дети смотрят сами) дискриминант квадратного трёхчлена – величина, определяющая характер его корней.

Что общего между понятием “светофор” и “дискриминант”? рисунок 2

(Отвечая, дети подходят по очереди к светофору и вставляют карточку на место нужного цвета).


Теперь формулу корней квадратного уравнения можно записать так:

рисунок 3

А теперь, ребята, помогите составить ещё один алгоритм решения квадратного уравнения



(Дети сами составляют алгоритм).
АЛГОРИТМ

1. Выделить в квадратном уравнении коэффициенты.


2. Вычислить дискриминант D.
3. Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней.

Если D>или=0, то вычислить корни по формуле.



рисунок 3

  1. Закрепление нового материала.

Решить № 612, 613, 615(1-6).

Задание достаточного уровня:

1) х2 + 2х – 80 = 0;



2) 4х2 + 4х + 1 = 0;

3) 3у2 – 3у + 1 = 0.

Задание высокого уровня:

1) 5х2 = 9х + 2;

2) (х + 4 )2 = 3х + 40;

3) (3х – 1)(х + 3) =х(1 + 6х).

6. Упражнение «Чудо-нос».

После слов «задержу дыхание» учащиеся делают вдох и задерживают дыхание. Учитель читает стихотворный текст, ребята только выполняют задание.

Выполним задание,

Задержим дыхание.

Раз, два, три, четыре –

Снова дышим:

Глубже, шире…

глубоко вдохнули.

спину потянули,

руки вверх подняли

радугу нарисовали

повернулись на восток,

продолжаем наш урок.

7. Самостоятельная работа.

Тест:


1) Найти дискриминант уравнения
1. 2+3у+1=0. 2. 2+5у+2=0.

А) 11; Б) 17; А) 41; Б) 9;

В)-5; Г)1. В)-11; Г) 21.

3. х2-6х+5=0. 4. х2-7х+12=0.

А) 16; Б) -56; А) -1; Б) -97;

В)-16; Г)56. В)1; Г) 97.

2) Сколько корней имеет уравнение?
1. х2-9х+14=0? 2. х2-8х+15=0?

А) два; Б) один; А) два; Б) один;

В)не имеет корней; В)не имеет корней;

Г)множество. Г) множество



3. 2+х+2=0? 4. Зх2+х+4=0?
А) два; Б) один; А) два; Б) один;

В) не имеет корней; В) не имеет корней;

Г) множество. Г) множество.

8. Рефлексия.

Составьте, пожалуйста «Сенкан»-один из жанров поэзии

1 строчка – квадратное уравнение;

2 строчка – 2 прилагательных;

3 строчка – 3 глагола;

4 строчка – предложение, выражающее личное отношение.



9. Подведение итогов урока. Д/з.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с формулой корней квадратного уравнения, научились решать эти уравнения.

Выучить п.18, решить № 614, 616(1-6).

Тема: Приведенное квадратное уравнение, формула его корней.
Цель урока:


  • Отработать умения и навыки решения квадратных уравнений с использованием формул корней, Ознакомить учащихся с теоремой Виета и ее доказательством.

  • Развивать логическое мышление, умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

  • Воспитывать трудолюбие, развивать самостоятельность.


Ход урока:
1. Орг. момент.

2.Мотивация урока. Постановка целей и задач урока.

Здравствуйте, ребята.

Среди наук из всех главнейших


Важнейшая всего одна.
Учите алгебру, она глава наукам,
Для жизни очень всем нужна,

Когда достигнешь ты наук высоты,


Познаешь цену знаниям своим,
Поймешь, что алгебры красоты,
Для жизни будут кладом не плохим.

3.Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Устный опрос.

На доске записаны уравнения:

1)х2 + 2х – 8 = 0;

2) 2х2 + 5х = 0;

3) 3х2 = 0;

4) 2х2 + 3х – 8 = 0;

5) х2 – 5х + 1 = 0;

6) 6х2 + 12 = 0.

Вопросы:


  1. Какие уравнения записаны на доске?

  2. Какие уравнения называются квадратными?

  3. Прочтите полные квадратные уравнения.

  4. Какие уравнения называются полными?

  5. Как называются уравнения, у которых первый коэффициент равен 1? Приведите примеры.

  6. Какое выражение называется дискриминантом?

  7. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? От чего это зависит?

  8. Как называются уравнения под цифрами 2; 3; 6? Почему?

  9. Как решаются уравнения под цифрой 2?

  10. Чему равен х в уравнении под цифрой 3?

  11. Что можно сказать о решении уравнения под цифрой 6?

Проверка домашнего задания.

Проверка в парах. Ученики меняются тетрадями и проверяют задания по готовому решению, оформленному на доске одном из учеников.



Математический диктант

(задания для второго варианта даны в скобках).

Двое решают на разворотах доски:

1. Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 [- 5], второй коэффициент равен - 5 [3], а свободный член равен 2.


2. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 [5], второй – 7 [3], и решите его.
3. Найдите дискриминант квадратного уравнения 3x2 – 8x – 3 = 0,
[5y2 – 6y +1 = 0].
4. Сколько корней имеет это уравнение?
5. При каком условии квадратное уравнение не имеет корней? [имеет два одинаковых корня?]

На доске одновременно решаются первые три уравнения, затем следующие три. Решения разбираются. Слабые ученики работают по карточкам.



Работа по карточкам.

Дано уравнение 3х2 – 7х + 4 = 0.



  1. Запиши, чему равны а, в, с.

  2. Найди, чему равен дискриминант Д.

  3. Найди по формуле, чему равны х1 и х2.

  4. Запиши ответ.

Аналогично решаются уравнения:

2 – 6у + 1 = 0;

2 – 9у + 10 = 0;

у2 – 10у – 24 = 0.

Решить № 615(19, 20), 619(2), 622.

4. Изучение нового материала.

Франсуа Виет”.

Это имя великого французского математика. С этим именем связанна тема этого урока. Франсуа Виет – французский математик, живший в 16 веке. Он родился в 1540 году в небольшом городке на юге Франции. Он обладал огромной трудоспособностью, мог работать по трое суток без отдыха. Он был одним из первых, кто ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Многие его результаты и открытия достойны восхищения. Свою знаменитую теорему, которую мы рассмотрим сегодня, он доказал в 1591 году. Это теорема выражает интересную закономерность, существующую между суммой корней квадратного уравнения и его коэффициентами, между произведением корней квадратного уравнения и его коэффициентами.

Х2+6х-7=0

Чтобы увидеть эту закономерность, обратимся к уравнению (1), которое решено на доске первым учеником. Чему равна сумма корней.

Х12= -7+1= -6

Давайте, сравним это число с коэффициентами уравнения! Вы видите, что оно равно второму коэффициенту уравнения 1,взятому с противоположным знаком.

Посмотрим, чему равно произведение корней?

Х12= -7*1= -7

С каким коэффициентом уравнения его удобно сравнить?

Какой вывод можно сделать?

Теперь найдем сумму корней и произведение корней уравнения (2), которое решено на доске вторым учеником, и сравним эти числа с коэффициентами уравнения.

Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Формулировка теоремы повторяется учениками.



Доказательство.

Пусть X1 и X2 – корни квадратного уравнения x2+px+g=0



http://festival.1september.ru/articles/507011/image2928.gif; http://festival.1september.ru/articles/507011/image2929.gif;

Найдем, http://festival.1september.ru/articles/507011/image2930.gif

Найдем, http://festival.1september.ru/articles/507011/image2931.gif

Уравнение 3 не приведенное, поэтому, для нее эта закономерность не выполняется. Но если уравнение заменить равносильным ему приведенным, то можно увидеть, что



http://festival.1september.ru/articles/507011/image2932.gif

Теореме Виета посвящены такие строки:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойстве корней Теорема Виета.


Что лучше, скажи, постоянства такого?
Умножишь ты корни и дробь уж готова
В числителе “С”, в знаменателе “А”.
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь – это что за беда?
В числителе “В”, в знаменателе “А”.

5.Комната психологической разгрузки «Солнечный луч». (Музыка)

Детям даётся инструкция: «Сядьте удобнее, закройте глаза. Представьте, что вы лежите на красивой поляне. Сделайте глубокий вдох и медленно делайте выдох, пусть всё напряжение уходит. Вокруг зелёная трава, вдалеке большой лес, поют птицы. Вы чувствуете, какая тёплая земля. Светит яркое солнышко. Один тёплый лучик упал на ваше лицо. Лицо стало тёплым и расслабилось. А луч света пошёл гулять дальше по вашему телу. Вам хорошо и приятно греться на солнышке. Вокруг зелёная трава, вдалеке большой лес, поют птицы. Вы чувствуете, какая тёплая земля. Земля вам даёт силу и уверенность. Сделайте глубокий вдох и медленно делайте выдох, пусть всё напряжение уходит. Ещё раз вдох и выдох... На счёт 5 вы вернётесь обратно. 1 – вы чувствуете, как хорошо лежать и отдыхать. 2, 3, 4 – у вас открываются глаза, 5 – вы возвращаетесь на урок полные сил и уверенности.


6.Закрепление темы.

Теперь посмотрим, для чего нужна эта теорема, так ли она важна.



Упражнение 1. Найдем сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его.

Х2-37х+27=0

2-9х-10=0

2-12х+7=0

К доске вызываются ученики для решения этого упражнения. Чем можно воспользоваться для нахождения суммы и разности корней?

Упражнение 2. Найдем подбором кони уравнения.

Х2-9х+20=0

х2+11х-12=0

Упражнение 3. Составим уравнение, корнями которого являются числа -2 и 5.

http://festival.1september.ru/articles/507011/image2940.gif

http://festival.1september.ru/articles/507011/image2941.gif

Самостоятельно составить уравнение, корнями которого являются числа 3 и 7.



http://festival.1september.ru/articles/507011/image2942.gif

Теперь скажите, можно ли решить эти задания, не зная теоремы Виета? Нужна ли эта теорема?

Решить устно № 661, 662, письменно №663.


  1. Самостоятельная работа.

Решить №665.

7. Рефлексия.

Интерактивное упражнение «Незаконченное предложение»

Учитель формулирует незаконченное предложение, а учащимся предлагается продолжить по итогам своей деятельности во время урока:

«Сегодня на уроке я узнал …»

« Наиболее трудным для меня было…»

«Больше всего мне понравилось…»

«Завтра я буду более успешным, потому что…»

Ответы учащихся позволят учителю иметь представление о характере трудностей, которые испытывают учащиеся во время изучения рассматриваемой темы, а также будут формировать состояние успеха у учащегося.

8. Подведение итогов урока. Д/з.

Выучить п.19, решить № 624, 664, 666. Подготовить сообщение «Франсуа Виет и его теорема».


Тема урока: Теорема Виета.

Цели урока:

  • «открыть зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения»; учить применять теорему Виета и обратную ей теорему для приведенных квадратных уравнений в различных ситуациях;

  • Развивать логическое мышление, умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

  • Воспитывать трудолюбие, развивать самостоятельность.


Ход урока.

1. Орг. момент.

Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

В алгебры мир отправимся смело,

В мир примеров и разных задач.

А девизом нашего урока буду такие слова:

Думать - коллективно!

Решать - оперативно!

Отвечать - доказательно!

Бороться - старательно!

И открытия нас ждут обязательно!

2.Мотивация урока. Постановка целей и задач урока.

Эпиграф нашего урока “О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…”. А были ли открытия в вашей жизни? Что значат слова “Я сделал открытие”? Если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем-либо, то это и есть его открытие. По этому поводу Борис Пастернак сказал:


Во всем мне хочется дойти

До самой сути.

В работе, в поисках пути,

В сердечной смуте.

До сущности истекших дней

До их причины,

До оснований, до корней,

До сердцевины

Всё время схватывая нить

Судеб, событий,

Жить, думать, чувствовать, любить

Свершать открытья.


На сегодняшнем уроке мы тоже попытаемся совершить маленькое, но самостоятельное открытие. Для этого надо быть настойчивым и внимательным.

3.Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных уравнений.



  • Уравнение какого вида называется квадратным?

  • Как называется квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1? (Заслушиваются ответы учащихся).

  • Какие методы решения квадратных уравнений вы знаете? (Учащиеся называют известные им способы решения).

Выполнение теста.

Запишите приведенное квадратное уравнение, в котором второй коэффициент и свободный член равны соответственно:
1. -5 и 4. 2. 3 и -2.

А)х2-5х+4=0; Б)х2+5х+4=0; А)х2-Зх-2=0; Б) х2+Зх-2=0;

В) х2-5х-4=0; Г)-х2-5х+4=0. В)х2+Зх+2=0; Г)-х2+Зх-2=0.

3. -2 и 2,5. 4.-3 и 9,6.

А) -х2-2х-2,5=0; Б) х2+2х+2,5=0; А)х2-3х+9,6=0; Б) 5х2+31х+48=0;


В) х2-2х+2,5=0; Г)другой ответ. В) х2-6,2х+9,6=0; Г) другой ответ.

Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней:

1.х2-3х-10=0. 2. х2-5х-14=0.

А)-3;-10; Б)3;-10; А) 5;-14; Б)-5;-14;

В)-3;10; Г)3;10. В) 5;14; Г)-5;14.

3. х2+5х-24=0. 42-19х+6=0.

А)5;24; Б) 5;-24; А)6;-19; Б)-6;19;

В) -5;24; Г) -5;-24. В) 19;6; Г) -6;19.

Составьте квадратное уравнение, которое имеет корни:
1. 1 и 3. 2. 2 и 5.

А)х2-4х+3=0; Б)х2-Зх+4=0; А)х2-7х-10=0; Б)х2+7х+10=0;

В) х2+Зх-4=0; Г)х2+4х-3=0. В)х2-7х+10=0; Г) другой ответ. .

3. 2 и 7. 4.3 и 4.

А)х2+9х+14=0; Б)х2-9х+14=0; А) х2-7х+12=0; Б)х2+Зх+4=0;

В)х2-9х-14=0; Г) другой ответ. . В) 4х2+3х=0; Г)х2-х-12=0.

Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Сформулируйте утверждение и заполните последнюю строку таблицы.[Сумму корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену].

Сформулированное утверждение называется теоремой Виета – по имени выдающегося французского математика Франсуа Виет.

Составьте квадратное уравнение, если его корни равны:

а) х1=-3, х2=1; б) х1=-3, х2=-4; в) х1=5, х2=6.

4. Решение упражнений с использованием теоремы Виеты.

Продолжим изучение нового материала. И рассмотрим теорему Виета для не приведенного квадратного уравнения.

ах2+bx+c=0.

Разделим обе части уравнения на а, получим приведенное квадратное уравнение: х2+bx/a+c/a=0, которое имеет те же корни. Отсюда, х12=-b/a; x1*x2=c/a.

Теорема Виета помогает найти корни квадратного уравнения устно, не прибегая к формуле корней.

Например, подберите корни уравнения х2-8х+15=0 (5;3). Решение квадратного уравнения путем подбора его корней основано на теореме, обратной теореме Виета.

Теорема: Если числа m и n таковы, что m+n=-p, a m*n=g, то эти числа являются корнями уравнения х2+рх+g=0.

Выразим через m и n: p=-(m+n) и g=m*n. Значит, уравнение можно записать в таком виде:

х2-(m+n)x+m*n=0.

Подставим в уравнение вместо x поочередно m и n:

m2-(m+n)m+mn=m2-m2-mn+mn=0

n2-(m+n)n+mn=n2-mn-n2+mn=0, таким образом, эти числа – корни уравнения.

Заполнение таблицы.


1

2

3

4

5

6

Приведенное квадратное уравнение

х2 + px + q = 0

Второй коэффициент

p

Свободный член

q

Корни

х1 и х2

Сумма корней

х1 + х2

Произведение корней

х1 · х2

х2 + 7х + 12 = 0

7

12

-3 и -4

-7

12

х2 - 9х + 20 = 0

-9

20

4 и 5

9

20

х2 – х - 6 = 0

-1

-6

-2 и 3

1

-6

х2 + х – 12 = 0

1

-12

-4 и 3

-1

-12

х2 + х + 30 = 0

1

30

нет

-

-

5.Закрепление нового материала.

Решить устно № 661, 662, 663, письменно № 665, 678, 667, 669(1, 2).



6. Релаксация: “Поза покоя”

Сесть ближе к краю стула, опереться на спинку, руки свободно положит на колени, ноги слегка расставить. Формула общего покоя произносится медленно, тихим голосом, с длительными паузами.

Все умеют танцевать,

Прыгать, бегать, рисовать,

Но пока не все умеют

Расслабляться, отдыхать.

Есть у нас игра такая –

Очень лёгкая, простая,

Замедляется движенье,

Исчезает напряжение…

И становится понятно –

Расслабление приятно!



7.Самостоятельная работа.

Решение в парах №681.



8. Рефлексия.

Чем лично для вас был интересен этот урок?

- Какие формы работы вам понравились?

- На каком этапе урока вы испытывали затруднения?

- Где вы видите практическое применение изученной теоремы?

- Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?



9. Подведение итогов урока. Д/з.

Выучить п.19, решить № 679, 666, 668, 682.


Тема урока: Обобщение и систематизация знаний по теме «Квадратные уравнения»

Цели урока:

  • Обобщение и систематизация основных знаний и умений по теме, формирование умения решать квадратные уравнения;

  • Развитие логического мышления, памяти, внимания, умения обобщать;

  • Воспитание трудолюбия, взаимопомощи, взаимоуважения и математической культуры.

Ход урока.

1. Орг. момент.

2.Мотивация урока. Постановка целей и задач урока.

Здравствуйте, ребята. Нам предстоит поработать над очень важной темой: “Решение квадратных уравнений”. Вы уже достаточно знаете и умеете по этой теме, поэтому наша с вами задача: обобщить и сложить в систему все те знания и умения, которыми вы владеете.

Чтобы у нас царила атмосфера доброжелательности, предлагаю начать урок с таких слов:

В класс вошел – не хмурь лица,
Будь разумным до конца.
Ты не зритель и не гость –
Ты программы нашей гвоздь.
Не ломайся, не смущайся,
Всем законам подчиняйся.

А законы у нас сегодня будут такие: каждый из вас имеет возможность получить оценку за урок по результатам работы на различных его этапах. Для этого у вас на партах лежат карты результативности, в которые вы будете фиксировать свои успех в баллах. И еще один не обсуждаемый закон: для ответа на поставленный вопрос вы поднимаете руку и ни в коем случае не перебиваете друг друга. Желаю всем удачи.



Карта результативности.

Ф.И.

Разминка

Тест

Вопросы

теории


Решение уравнений

Сам. работа

ИТОГО

Количество

баллов


 

 

 

 

 

 


4.Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Приступим к работе. Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться предлагаю вам небольшую устную разминку. Но вопросы будут не только по теме урока, проверяем ваше внимание, и умение переключаться. За каждый правильный ответ в колонку “Разминка” вы по моему указанию ставите 1 балл.



Вопросы теоретической разминки:

  1. Какое название имеет уравнение второй степени?

  2. Сформулируйте определение квадратного уравнения.

  3. Объясните, в чем заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а 0).

  4. Перечислите виды квадратных уравнений.

  5. Что значит решить уравнение?

  6. Приведите примеры квадратных уравнений различных видов.

  7. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

  8. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?

  9. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0

  10. Какое квадратное уравнение называется приведенным? Приведите пример.

  11. Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения?

Уравнения с давних времен волновали умы человечества. По этому поводу у английского поэта средних веков Чосера есть прекрасные строки, предлагаю сделать их эпиграфом нашего урока:



Посредством уравнений, теорем
Я уйму всяких разрешил проблем.

Квадратные уравнения тоже не исключение. Они очень важны и для математики, и для других наук. На ближайших уроках математики вам предстоит решать текстовые задачи и вот тут-то необходимо уметь быстро и умело справляться с решением квадратных уравнений.

Раз уж мы говорим об уравнениях, давайте вспомним – что это такое?

- Равенство, содержащее неизвестное.

Является ли уравнением выражение (х + 1)(х – 4) = 0?

Да

Запишите его в тетрадях. Каким наиболее рациональным способом мы можем его решить?



Приравнивая каждый множитель к нулю. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Хорошо.


Решите, пожалуйста, это уравнение.

- х = -1 и х = 4.

А можно ли его решить другим способом?



Да, его можно привести к квадратному.

Напомните, какие уравнения называются квадратными?



Уравнения вида ах2 + вх + с = 0.

Приведите наше уравнение к такому виду.



х2 – 3х – 4 = 0

Назовите его коэффициенты. А что еще вы можете сказать об этом уравнении?

- Оно полное и приведенное.

А какие еще виды квадратных уравнений вам известны?



Отвечают

Хорошо.


5.Решение квадратных уравнений.

Теперь давайте проверим, насколько хорошо вы умеете определять виды квадратных уравнений. Вашему вниманию предлагается тест, в котором записаны, пять уравнений. Напротив каждой колонки вы ставите плюс, если оно принадлежит к данному виду.

Тест “Виды квадратных уравнений”


Ф.И.

полное

неполное

приведенное

Общий балл

1. х4 + 5х2 +3 = 0













2. 6х2 + 9 = 0













3. х2 – 3х = 0













4. –х2 + 2х +4 = 0













5. 3х + 6х2 + 7 =0














Ребята выполняют работу, а затем меняются листочками и по ключу проверяют ответы, оценивая работу товарища. Результат записывается в колонку “Оценочный балл”, а затем в “Карту результативности”( максимально 5 баллов).

Ключ к тесту:

1

+




+

2




+




3




+

+

4

+







5

+






Молодцы. С видами квадратных уравнений мы разобрались. Кстати, а вы знаете, когда появились первые квадратные уравнения?

Очень давно. Их решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры, а Европа три года назад отпраздновала 800летие квадратных уравнений, потому что именно в 1202 году итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид.

А с каким еще понятием мы постоянно сталкиваемся при решении квадратных уравнений?



С дискриминантом

А вот понятие Д придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов. А зачем он нам нужен?



Он определяет число корней квадратного уравнения.

И как количество корней зависит от Д?



Дети перечисляют случаи.

Итак, давайте еще раз проговорим алгоритм решения полного квадратного уравнения.



Проговаривают.

Ну что ж, приступим к практической части нашего урока.



Чтобы решить уравнение,
Корни его отыскать.
Нужно немного терпения,
Ручку, перо и тетрадь.

Перед вами список различных уравнений. Посмотрите внимательно на уравнения 1-3 и скажите: являются ли эти уравнения квадратными?



Да. Потому что наивысшая степень 2.

А что нас смущает во внешнем виде этих уравнений?



Они записаны не в стандартном виде.

Итак, преобразуйте данные уравнения к стандартному виду (3 балла).



1. х + 5х2 = 6

2 + х - 6 = 0

2. 4х – 5 + x2 = 0

х2 + 4х - 5 = 0

3. (2 - 5х)2 = 9

25х2 – 20х – 5 = 0

6.Самостоятельная работа.

Хорошо. Вместе мы поработали. Теперь посмотрим, как вы умеете работать самостоятельно. Вам предлагается трехуровневая работа. Если вы еще не уверены в своих силах и желаете закрепить решение уравнение, то выбираете уровень А(6 балла). Если считаете, что материал усвоен хорошо – В (9 баллов). Ну, а если желаете испробовать свои силы на более сложных заданиях – уровень С (12 баллов) для вас. В процессе решения я проверяю ваши работы и проставляю заработанные баллы.



Вариант 1.

Уровень А

1. Для каждого уравнения вида ax2 + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 3х2 + 6х – 6 = 0, б) х2 - 4х + 4 = 0

2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 по формуле D = b2 - 4ac.

2 - 7х + 2 = 0, D = b2 - 4ac = (-7)2 – 4· 5 · 2 = …;

3. Закончите решение уравнения 3х2 - 5х – 2 = 0.

D = b2 - 4ac = (-5)2- 4· 3·(-2) = 49; х1 = … х2=…

Уровень В Решите уравнение: а) 6х2 – 4х + 32 = 0; б) х2 + 5х - 6 = 0.

Уровень С Решите уравнение: а) -5х2 – 4х + 28 = 0; б) 2х2–8х–2=0.

Доп. задание. При каком значении а уравнение х2 - 2ах + 3 = 0 имеет один корень?

Вариант 2.

Уровень А

1. Для каждого уравнения вида ax2 + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 4х2 - 8х + 6 = 0, б) х2 + 2х - 4 = 0

2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 по формуле D = b2 - 4ac.

2 + 8х - 4 = 0, D = b2 - 4ac = 82 – 4· 5 · (- 4) = …;

3. Закончите решение уравнения х2 - 6х + 5 = 0.

D = b2 - 4ac = (-6 )2 - 4· 1·5 = 16; х1 = … х2=…

Уровень В Решите уравнение: а) 3х2 – 2х + 16 = 0; б) 3х2 - 5х + 2 = 0.

Уровень С Решите уравнение: а) 5х2 + 4х - 28 = 0; б) х2 – 6х + 7 = 0

Доп.задание. При каком значении а уравнение х2 + 3ах + а = 0 имеет один корень.

(Или решить тестовые задания №5 с.180 №1-7)



7. Подведение итогов.

Итак, мы проделали большую работу. Повторили всю теорию, касающуюся полных квадратных уравнений. Решали различные их виды как вместе, так и вы сами. Вы старательно зарабатывали баллы, настало время подвести итог.

Подсчитайте сумму баллов заработанных в течение урока.

Критерии оценивания:

25 – 30 баллов – “12”.

19 – 24 баллов – “9”.

10 -18 баллов – “6”.

Выставляются оценки.

8.Домашнее задание.

Разноуровневое домашнее задание.



9 баллов

12 баллов

Решить уравнения:

1)15х2-4х-3=0;

2)х2-7х+4=0;

3)х2+5х+9=0.



Решить уравнения:

1)х2-20х+91=0;

2)(3х-1)(3х+1)-2х(1+4х)=-2;

3)(3х+1)2-х(7х+5)=4.



Составить квадратное уравнение, если его корни равны: х1=-2.5; х2=2.

Составить квадратное уравнение, если его корни равны: х1=

х2=



В уравнении х2+рх-12=0 один из корней равен 4. Найдите второй корень и число р.

В уравнении (а-7)х2-13х-а=0 один из корней равен 5. Найдите число а и второй корень уравнения.


Тема: Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения. Теорема Виета»

Цель:

  • Проверить уровень усвоения данной темы и уровень умений и навыков, сформированный по данной теме.

  • Развитие самоконтроля и самопроверки.

  • Воспитание трудолюбия и ответственности за выполнение работы.


Ход урока.

1.Организационный этап.

2.Постановка темы и цели урока.

3.Условие контрольной работы.

4.Итоги урока. Домашнее задание.

Повторить: определение многочлена, разложение многочленов на множитель, основные свойства дробей, сокращение дробей.





Похожие:

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения iconОпределение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения
Цель урока: дать определение квадратного уравнения, ввести понятие неполных квадратных уравнений и научить решать неполные квадратные...
Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения iconПлан-конспект урока по теме «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения»
Цель урока: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание определений квадратного уравнения, его коэффициентов, видов...
Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения iconНеполные квадратные уравнения
Цель: изучить понятие квадратного уравнения, виды неполных квадратных уравнений и способы их решения, сформировать навыки применения...
Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения iconБенефис квадратных уравнений
Цели урока: обобщение темы «Квадратное уравнение»: определение, неполные уравнения, формула корней квадратного уравнения, теорема...
Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения iconЛицей №102 г. Челябинска
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать,...
Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения iconОпределение квадратного уравнения, его виды
Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид при помощи деления отрезка в среднем...
Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения iconУрок по теме: «Неполные квадратные уравнения»
Вопрос: “Какие из предложенных уравнений вы сможете решить на данный момент?” (учащиеся выбирают уравнения)
Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения iconИз истории квадратных уравнений а Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н э вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что...
Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения iconРазработка урока по алгебре ( 8 класс) «Квадратные уравнения». Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения»
Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Например, при...
Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения icon«Неполные квадратные уравнения»

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org