Программа вступительного экзамена «Вычислительная математика»



Скачать 68.05 Kb.
Дата08.10.2012
Размер68.05 Kb.
ТипПрограмма
МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

Учреждение высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ В г.ТАГАНРОГЕ

(ТТИ Южного федерального университета)

ПРОГРАММА

Вступительного экзамена «Вычислительная математика»

для студентов, поступающих в магистратуру по направлению 010500 «Прикладная математика и информатика»

Таганрог 2012

В соответствии с государственным образовательным стандартом, итоговый государственный экзамен «Вычислительная математика» по направлению 010400 «Прикладная математика и информатика» является одним из видов аттестационных испытаний в составе итоговой государственной аттестации выпускников на академическую степень «Бакалавр». Он проводится с целью проверки уровня и качества общей и общепрофессиональной подготовки студентов по направлению специальности и наряду с требованиями к содержанию отдельных дисциплин учитывает также общие требования к знаниям и умениям выпускника по циклам дисциплин, предусмотренные Государственным образовательным стандартом по направлению 010500.62 «Прикладная математика и информатика».
I. Элементы функционального анализа
1. Метрические пространства.

Определение метрического пространства и примеры метрических пространств.

Открытые и замкнутые, всюду плотные и совершенные множества.

Сходимость, непрерывные отображения, компактность.

Пополнение метрических пространств, основные теоремы в полных метрических пространствах: принцип вложенных шаров, теорема о категориях, принцип сжимающих отображений.

Компактность в метрических пространствах. Счетная и секвенциальная компактность.

2. Линейные операторы.

Группа, кольцо, поле, линейное пространство.

Линейные операторы, пространство операторов.

Банаховы пространства.

Выпуклые множества, функционал Минковского и полунормы.

Линейные ограниченные опрераторы в банаховых пространствах. Понятие F-пространства.

Принцип равномерной ограниченности.

Теорема об обратном операторе. Принцип открытости отображения.

Продолжение операторов и функционалов. Принцип продолжения Хана-Банаха.

3. Теория меры и интеграл Лебега.

Кольцо и полукольцо множеств. Мера на полукольце. Счетно-аддитивная мера.

Измеримые множества и функции.

Определение и свойства интеграла Лебега.

Пространство .

Гильбертово пространство.

Определение гильбертова пространства. Примеры пространств. Базис. Полные и сепарабельные пространства.

4. Ортогональные разложения в гильбертовом пространстве.

Сопряженный оператор.

Вполне непрерывный оператор.


Абсолютная норма оператора.

Альтернатива Фредгольма.
II. Численные методы

1. Аппроксимация функций.

Линейная интерполяция.

Интерполяционная формула Лагранжа.

Интерполяционная формула Ньютона.

Погрешность интерполирования: остаточный член интерполяционной формулы.

Интерполяция сплайнами.

Линейная аппроксимация. Метод наименьших квадратов.

Равномерное приближение.

Наилучшее приближение.

2. Численное интегрирование.

Формулы прямоугольников.

Формула трапеций.

Формула Симпсона.

Формула средних.

Формула Эйлера.

Процесс Эйткена.

3. Численное дифференцирование.

Полиномиальные формулы.

Простейшие формулы.

Метод Рунге.

4. Решение линейных уравнений и систем уравнений.

Метод исключения Гаусса. Прогонка. Метод квадратного корня.

Уравнение с одним неизвестным.

Дихотомия. Метод простых итераций.

Метод Ньютона. Метод секущих. Метод парабол.

5. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений.

Метод простой итерации.

Метод Ньютона. Метод секущих.

6.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Задача Коши для ОДУ.

Метод ломаных.

Метод Рунге-Кутта.

Метод Адамса.
III. Теория разностных схем

1. Основные понятия теории разностных схем.

Сетки и сеточные функции.

Пространство сеточных функций и сеточные нормы.

Погрешность аппроксимации на сетке.

Устойчивость разностных схем.

Сходимость и точность разностных схем.

Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью. Теорема Лакса.

Первая формула Грина. Вторая формула Грина.

Разностные уравнения II порядка. Задача Коши.

Краевые задачи I, II, III рода.

Интегро-интерполяционный метод.

2. Теория устойчивости разностных схем.

Разностные схемы как операторные уравнения.

Корректность операторных уравнений.

Каноническая форма двухслойных схем. Устойчивость двухслойной схемы по начальным данным. Устойчивость двухслойной схемы по правой части.

Каноническая форма трехслойных схем. Устойчивость трехслойных схем по начальным данным.

Метод энергетических неравенств. Метод разделения переменных. Условие -устойчивости. Асимптотическая устойчивость. Устойчивость, как ограниченность норм степеней оператора перехода.

3. Методы решения сеточных уравнений.

3.1. Прямые методы решения разностных уравнений.

Методы для трехточечных уравнений- прогонки и редукции.

3.2. Итерационные методы.

Метод простой итерации.

Метод Зейделя.

Явный итерационный метод с чебышевскими параметрами. Итерационный метод переменных направлений.

Метод верхней релаксации.

Попеременно-треугольный итерационный метод.

4. Принцип максимума для разностных схем.

Принцип максимума и его следствия.

Теорема сравнения и следствия из нее.
VI. Теория вероятностей и математическая статистика


  1. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

  2. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

  3. Случайные величины. Законы распределения случайных величин, их свойства.

  4. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, их свойства.

  5. Системы двух случайных величин. Законы распределения систем двух случайных величин, их свойства.

  6. Числовые характеристики систем двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Независимость и некоррелируемость.

  7. Условные законы распределения случайных величин.

  8. Точечные оценки, их свойства. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии случайных величин.

  9. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии случайных величин.

  10. Метод статистических гипотез. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.

Литература



1. В.А. Садовничий. Теория операторов. М. Высшая школа, 1999.

2. Н.Н. Калиткин Численные методы. – М.: Наука, – 1978. – 512 с.

3. Н.С. Бахвалов Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). – М.: Наука, гл. ред. физматлит. – 1973. – 632 с.

4. А.А. Самарский, А.В. Гулин Численные методы. – М.: Наука, гл. ред. физ-мат. лит., 1989. –432 с.

5. В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный Начала теории вычислительных методов. Уравнения в частных производных. – Мн.: Наука и техника, 1986.-311 с.

6. Г.И. Марчук Методы расщепления. –М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-264 с.

7. А.А. Самарский Введение в численные методы. –М.: Наука, 1987. –288с.

8. А.А. Самарский Теория разностных схем. –М.: Наука, 1977. –653 с.

9. А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич Численные методы решения задач конвекции-диффузии. –М.: Эдиториал УРСС, 1999. –248с.

  1. А.А. Самарский, Е.С. Николаев Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1978. –588 с.

  2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. М. Гардарики, 1998 г., 328 стр.

  3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М. Наука. 1998 г.

  4. Колемаев В.А., Калингина В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Инфра – М. 1999 г. 302 стр.

  5. Печинкин А.В., Тескин О.И. и др. Теория вероятностей. М. Изд-во МГТУ им Баумана. 1999 г., 450 стр.

  6. Горяинов В.Б., Павлов И.В. и др. Математическая статистика. М. Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001 г., 425 стр.

  7. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Наука, 1979 г., 496 стр.

  8. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. М. Радио и связь. 1983 г., 415 стр.

  9. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистики и теории случайных функций. (Под редакцией А.А. Свешникова). М.Наука. 1965 г., 632 стр.

  10. Сборник задач по математике для вузов. Ч.3. (Под редакцией А.В. Ефимова). М. Наука, 1990 г., 428 стр.

  11. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях. М. Юнити, 2001 г., 272 стр.


Программу составил:

к.ф.-м.н., доц.,

зав. кафедрой ВМ А.В.Никитина

Программа утверждена

Ученым Советом ЕГФ ТРТУ Протокол № от

Председатель Ученого Совета ЕГФ ТРТУ,

декан ЕГФ В.В. Василовский

Похожие:

Программа вступительного экзамена «Вычислительная математика» iconПрограмма вступительного экзамена по специальности 02. 00. 02 Самара 2011
Контроль качества знаний по аналитической химии при приеме вступительного экзамена в аспирантуру предполагает формулирование требований...
Программа вступительного экзамена «Вычислительная математика» iconПрограмма вступительного экзамена в магистратуру по иностранному языку
В программу вступительного экзамена включены практические курсы по иностранным языкам
Программа вступительного экзамена «Вычислительная математика» iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по отрасли Юридические науки, по специальности 12. 00. 03
Программа вступительного экзамена составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования...
Программа вступительного экзамена «Вычислительная математика» iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру " Иностранный язык" Москва, 2012
Программа вступительного экзамена в аспирантуру по иностранному языку разработана в соответствии с государственными образовательными...
Программа вступительного экзамена «Вычислительная математика» iconПрограмма вступительного экзамена «Математика» в магистратуру по направлению «Математика»
Топология на множестве. Открытые и замкнутые подмножества. База и предбаза топологии. Ииндуцированная топология. Непрерывные отображения...
Программа вступительного экзамена «Вычислительная математика» iconПрограмма вступительного экзамена в магистратуру по иностранному языку новосибирск 2012
В программу вступительного экзамена включены практические курсы по иностранным языкам (английский, немецкий, французский)
Программа вступительного экзамена «Вычислительная математика» iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 07 «Вычислительная математика» по физико-математическим наукам
Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии по математике и механике при участии Института вычислительной...
Программа вступительного экзамена «Вычислительная математика» iconПрограмма по дисциплине Вопросы экзамена Вычислительная математика
Теорема о существовании и единственности {LU}-разложения. Связь разложения и метода Гаусса исключения неизвестных
Программа вступительного экзамена «Вычислительная математика» iconПрограмма вступительного экзамена в магистратуру по направлению 230100 «Информатика и вычислительная техника»
Форматы машинных команд. Форматы команд. Методы адресации. Формат машинной команды процессора 8086
Программа вступительного экзамена «Вычислительная математика» iconПрограмма вступительного экзамена в магистратуру по направлению 010500 Прикладная математика и информатика
Теорема Вейерштрасса о существовании предела у монотонной ограниченной последовательности
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org