Программа кандидатского минимума по специальности 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ



Скачать 125.69 Kb.
Дата08.10.2012
Размер125.69 Kb.
ТипПрограмма
Утверждаю _____________________

Проректор по научной

и инновационной работе____________________А.Д. Шалабодов
« 6 » сентября 2010г.


Программа кандидатского минимума по специальности

01.01.01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Цели и задачи программы.
В основу программы по специальности «01.01.01-вещественный, комплексный и функциональный анализ» положены курсы дифференциального и интегрального исчисления, теории функций действительной переменной, теории функций комплексной переменной и функционального анализа. По сравнению с типовыми программами по этим курсам предлагаемая программа является более насыщенной и трудоемкой в смысле усвоения.

Изучение материалов, изложенных в программе, имеет своей целью глубокое ознакомление с фундаментальными достижениями по перечисленным разделам математического анализа, лежащими в основе современных исследований в этой области.
Требования к уровню знаний экзаменующегося
Основные требования к соискателю, сдающему кандидатский экзамен по специальности 01.01.01-вещественный, комплексный и функциональный анализ, состоят в следующем.

Он должен свободно владеть основными методами дифференциального и интегрального исчисления, теории функций и функционального анализа; знать основные определения и факты, а также идеи доказательства центральных теорем. Наряду со знанием основных понятий и теорем экзаменующийся по программе должен продемонстрировать умение подробно проводить доказательства, решать упражнения и приводить необходимые примеры и контрпримеры.

Предполагается наличие математического университетского образования и высокого уровня знаний других базовых и смежных курсов алгебры, геометрии и топологии, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.
Содержание программы
1. Дифференциальное и интегральное исчисление.
1.1. Основные понятия теории множеств. Множества и операции над ними. Декартово произведение множеств. Частично, линейно и вполне упорядоченные множества. Понятие о мощности множества. Отношение эквивалентности, классы смежности, фактор-пространство.
1.2. Понятие отображения (функции) и сопутствующие определения: график, множество определения и множество значений, образы и прообразы, полный прообраз множества. Композиция отображений, сужение функции. Сюръекция, инъекция, биекция, обратное отображение.
1.3. Действительные числа. Аксиоматика множества действительных чисел и его модели. Мощность подмножеств числовой прямой. Теорема Кантора о несчетности континуума. Множества, ограниченные сверху и снизу. Точные верхняя и нижняя границы множества. Теорема Дедекинда.
1.4. Предел последовательности. Общие свойства предела, критерий Коши. Сходимость монотонных последовательностей, число Эйлера. Верхний и нижний пределы.
1.5.
Числовые ряды.
Сходящиеся и расходящиеся ряды, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Абсолютная и условная сходимость. Критерий Коши. Критерий сходимости положительных рядов, признаки сравнения. Интегральный признак Коши. Условная сходимость, признаки Абеля и Дирихле. Cумма перестановки абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана о перестановках. Теорема Коши о произведении рядов.
1.6. Различные формы полноты множества действительных чисел. Лемма Кантора. Лемма Бореля-Лебега о покрытиях отрезка интервалами. Предельная точка множества, лемма Больцано-Вейерштрасса.
1.7. Предел и непрерывность функции. Общие свойства предела функции. Односторонние пределы монотонной функции. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Операции над непрерывными функциями. Классификация разрывов функции.
1.8. Глобальные свойства непрерывных функций на отрезке. Теоремы Вейерштрасса, теоремы Больцано-Коши. Равномерная непрерывность, теорема Кантора. Критерий глобальной непрерывности монотонной функции и критерий взаимной однозначности непрерывной функции на отрезке.
1.9. Дифференцируемые функции. Производная и диффернциал. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши). Правила Лопиталя. Формула Тейлора, различные формы остатка (Пеано, Лагранжа, Коши). Сходимость разложений Тейлора элементарных функций. Монотонность в терминах производной. Выпуклые функции и условия выпуклости в терминах производных. Условия экстремума. Классические неравенства (Йенсена, Гельдера, Минковского).
1.10. Интегральное исчисление. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные методы отыскания первообразных. Определение интеграла Римана. Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям и замена переменной. Формула Тейлора с остатком в виде интеграла. Несобственные интегралы. Виды особенностей. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости (сравнения и Абеля-Дирихле). Главное значение по Коши.
1.11. Дифференцируемые функции многих переменных.

Дифференцируемость фунции и наличие у нее частных производных, связь между этими свойствами. Достаточное условие дифференцируемости. Производная по направлению, градиент. Частные производные высших порядков, теорема Шварца. Формула Тейлора. Условия экстремума функций многих переменных.
1.12. Дифференцируемые векторные функции. Матрица Якоби. Производная композиции. Теоремы об обратной и о неявной функции.
1.13. Функциональные ряды и последовательности. Равномерная сходимость, критерий Коши. Перестановка предельных переходов. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле для равномерной сходимости. Функциональные свойства суммы ряда. Степенные ряды, радиус сходимости, формула Коши-Адамара. Теорема Абеля.
1.14. Пространство непрерывных функций: векторная структура, норма, полнота. Теорема Вейерштрасса о плотности алгебраических полиномов в пространстве непрерывных функций.
1.15. Интеграл Римана. Определение интеграла Римана на отрезке. Критерии интегрируемости по Риману. Несобственные интегралы, признаки сходимости.
1.16. Функции ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса. Функции ограниченной вариации и их свойства, аддитивность и непрерывность вариации. Теорема Жордана. Определение интеграла Стилтьеса и его свойства. Существование интеграла Стилтьеса, оценка интеграла. Формулы для вычисления с помощью интегралов Римана.
1.17. Криволинейные интегралы. Жордановы кривые и их параметризации. Описание класса параметризаций. Спрямляемость и длина кривой. Критерий Жордана спрямляемости. Гладкая кривая и формулы для вычисления ее длины. Натуральная параметризация и ее существование.

Криволинейный интеграл 1-го рода вдоль спрямляемой жордановой кривой, формулы для вычисления. Ориентация жордановой кривой. Криволинейный интеграл 2-го рода вдоль ориентированной спрямляемой жордановой кривой.

Необходимое условие существования первообразной. Теорема об эквивалентности существования первообразной и независимости криволинейного интеграла от пути. Нахождение первообразной с помощью криволинейного интеграла. Ориентация плоского контура. Формула Грина.
1.18. Поверхностные интегралы. Площадь гладкой поверхности. Ориентация поверхности. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского. Скалярные и векторные поля, основные дифференциальные операторы векторного анализа.
1.19. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность и дифференцируемость интегралов, зависящих от параметра. Гамма- и бета-функции Эйлера, их функциональные свойства и некоторые соотношения для них. Асимптотическая формула Стирлинга.
2. Теория функций действительного переменного.
2.1. Мера Лебега. Мера, лебегово продолжение меры. Свойства меры Лебега (монотонность, конечная аддитивность, субаддитивность). Счетная аддитивность и непрерывность меры Лебега, измеримость счетных объединений и пересечений. Мера Лебега в евклидовых пространствах. Меры Лебега-Стилтьеса на прямой.
2.2. Измеримые функции. Измеримые функции и их свойства, измеримость предела последовательности измеримых функций. Сходимость по мере и почти всюду. Теоремы Егорова и Лузина.
2.3. Интеграл Лебега. Интеграл Лебега и его свойства. Счетная аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла. Предельный переход под знаком интеграла Лебега, теоремы Лебега, Фату, Леви. Сравнение с интегралом Римана. Прямые произведения мер. Теорема Фубини. Интеграл Лебега как функция множества. Теорема Радона-Никодима. Интеграл Лебега-Стилтьеса.
2.4. Ортогональные системы функций и ряды Фурье. Действительная и комплексная тригонометрические системы. Интегральное представление для частных сумм. Лемма Римана-Лебега, принцип локализации. Условия сходимости ряда Фурье в точке и равномерной сходимости. Теорема Фейера. Полнота и замкнутость тригонометрической системы.
2.5. Преобразование Фурье и его свойства. Теорема Римана-Лебега. Взаимодействие операций анализа и преобразования Фурье. Свертка и ее преобразование Фурье. Теорема Планшереля.
3. Теория функций комплексного переменного.
3.1. Дифференцируемость. Множество комплексных чисел. Производная функции комплексного переменного, дифференцируемость. Уравнения Коши-Римана и условия дифференцируемости. Аналитичность в точке и на множестве, целые функции. Конформные отображения, геометрический смысл модуля и аргумента производной. Элементарные аналитические функции.
3.2. Интегральные представления аналитических функций. Интегральная теорема Коши. Интегральная Формула Коши. Теорема о среднем. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца. Интеграл типа Коши. Формулы Сохоцкого.
3.3. Степенные ряды в комплексной плоскости. Лемма Абеля. Радиус и круг сходимости. Формула Коши-Адамара. Аналитичность суммы степенного ряда. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций, теоремы Вейерштрасса. Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана, неравенство Коши. Нули аналитических функций. Теорема единственности.
3.4. Гармонические функции. Оператор Лапласа, гармонические функции. Формула Шварца. Формула Пуассона. Сопряженные гармонические функции. Восстановление сопряженной гармонической функции.
3.5. Особые точки. Изолированные особые точки однозначного характера. Вычеты, теорема Коши о вычетах. Принцип аргумента, теорема Руше.
3.6. Целые и мероморфные функции. Рост целой функции, порядок и тип. Теорема Вейерштрасса о целых функциях с заданными нулями; разложение целой функции в бесконечное произведение. Случай целых функций конечного порядка, теорема Адамара. Теорема Миттаг-Леффлера о мероморфных функциях с заданными полюсами и главными частями
3.7. Конформные отображения. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями. Принцип сохранения области. Критерий однолистности. Теорема Римана. Теорема о соответствии границ при конформном отображении.
3.8. Аналитическое продолжение. Аналитическое продолжение и полная аналитическая функция в смысле Вейерштрасса. Понятие римановой поверхности. Продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии. Принцип симметрии. Отображение многоугольников, формула Кристоффеля-Шварца
4. Функциональный анализ.
4.1. Топологические пространства. Основные понятия общей топологии (топология, внутренние и предельные точки множества, открытые и замкнутые множества, замыкание и граница). Предел и непрерывность функции на топологическом пространстве. Компактные и связные множества и их непрерывные образы. Глобальный критерий непрерывности. Линейные топологические пространства, счетно-нормированные пространства.
4.2. Метрические пространства. Метрическое пространство и его топология. Ограниченные множества. Полнота, теорема Кантора о вложенных замкнутых шарах. Пополнение метрических пространств. Теорема Кантора о равномерной непрерывности. Принцип сжимающих отображений и его приложения. Нигде не плотные множества. Категории Бэра (множества 1-й и 2-й категории). Теорема Бэра о категориях. Сепарабельность.
4.3. Нормированные пространства. Норма, линейное нормированное пространство. Метрика в линейном нормированном пространстве. Конечномерное евклидово пространство, критерий Гейне-Бореля компактности в нем. Компактные и предкомпактные множества в метрическом пространстве, необходимые условия. Эпсилон-сети и вполне ограниченные множества. Критерий компактности Хаусдорфа.
4.4. Конечномерность и компактность. Конечномерные линейные нормированные пространства. Эквивалентность норм. Замкнутость конечномерных подпространств. Теорема Бореля о существовании элемента наилучшего приближения в конечномерном пространстве. Лемма Ф.Рисса о "почти перпендикуляре", теорема Ф.Рисса.
4.5. Пространства со скалярным произведением. Скалярное произведение. Евклидовы и унитарные пространства. Гильбертовы пространства. Критерий элемента наилучшего приближения подпространством. Ортогональное дополнение и его свойства, теорема о проекции.
4.6. Ортонормированные системы. Ортогонализация Грама-Шмидта. Полные и замкнутые ортонормированные системы. Ряды Фурье. Тождество Бесселя и неравенство Бесселя, экстремальное свойство сумм Фурье. Сходимость рядов Фурье и равенство Парсеваля. Теорема Ф.Рисса-Фишера.
4.7. Теория линейных операторов. Ограниченные линейные операторы, условия ограниченности. Норма оператора и формулы для ее вычисления. Расширение оператора по непрерывности. Пространство линейных ограниченных операторов. Теорема Банаха-Штейнгауза. Условия сходимости последовательности операторов. Обратимые операторы, теоремы об обратных операторах. Открытость множества обратимых операторов. Теорема Банаха о гомеоморфизме. Принцип открытых отображений. Замкнутые операторы, связь замкнутости и непрерывности. Теорема Банаха о замкнутом графике.
4.8. Линейные функционалы. Линейные функционалы и гиперплоскости. Выпуклые функционалы и теорема Хана-Банаха в линейных топологических пространствах. Теорема Хана-Банаха в линейных нормированных пространствах (действительный и комплексный случаи) и следствия из нее.
4.9. Сопряженное пространство и его свойства. Общий вид функционалов в гильбертовом пространстве. Рефлексивные пространства. Сопряженные операторы. Ограниченность и норма сопряженного оператора. Слабые топологии. Слабая сходимость функционалов и порождающая топология. Условия слабой сходимости функционалов. Слабое свойство Больцано-Вейерштрасса. Слабая сходимость элементов линейного нормированного пространства и порождающая топология. Условия слабой сходимости элементов. Слабая сходимость в гильбертовом пространстве.
4.10. Компактные операторы. Определение и примеры компактных операторов. Замкнутость класса компактных операторов. Область значений компактного оператора. Компактность сопряженного оператора.
4.11. Выпуклость. Функционал Минковского и его свойства. Теорема об отделяющей гиперплоскости. Опорный функционал и опорная гиперплоскость. Теорема о существовании опорной гиперплоскости в точках границы. Крайние точки, крайние подмножества и их свойства. Теорема Крейна-Мильмана.
4.12. Спектр оператора. Регулярные значения оператора, резольвента. Спектр. Компактность спектра, открытость множества регулярных значений. Оценка нормы резольвенты. Тождество Гильберта. Непрерывность и аналитичность резольвенты на множестве регулярных значений. Непустота спектра ограниченного оператора.
4.13. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Самосопряженный оператор, его эрмитова и квадратичная формы. Свойства собственных чисел и векторов самосопряженного оператора. Вычисление нормы и максимального собственного числа самосопряженного оператора с помощью квадратичной формы. Теорема Гильберта-Шмидта.
4.14. Дифференциальное исчисление в пространствах Банаха. Производная и дифференциал Фреше. Производная по направлению (производная Гато), производная по подпространству. Теоремы об обратной и о неявной функции.
4.15. Обобщенные функции. Пространство основных функций. Пространство обобщенных функций медленного роста. Регулярные обобщенные функции, меры, функция Дирака. Операции анализа для обобщенных функций (сдвиги, растяжения, умножение, дифференцирование, свертки, преобразование Фурье).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н., Лекции по математическому анализу, М.: Высшая школа, 2000.

2. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. Минск: «Издательство БГУ», 2003.

3. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: «Наука», 1979.

4. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: «Наука», 1966.

5. Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. Ч. 1-6. Минск: «Издательство БГУ», 2003.

6. Зорич В.А., Математический анализ. Т. 1-2, М.: Наука, 1981.

7. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: «Наука», 1979.

8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: «Наука», 1976.

9. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: «Наука», 1973.

10. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций . Т. 1-2. М.: «Наука», 1967-1968.

11. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: «Наука», 1974.

12. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1-2. М.: «Наука», 1975.

13. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: «Наука», 1977.

14. Рудин У. Основы математического анализа. М.: «Мир», 1976.

15. Рудин У. Функциональный анализ. М.: «Мир», 1975.

16. Титчмарш Е. Теория функций. М.: «Наука», 1980.

Похожие:

Программа кандидатского минимума по специальности 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ iconПрограмма кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ» по физико-математическим и техническим наукам, утвержденной приказом Министерства...
Программа кандидатского минимума по специальности 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ iconПаспорт специальности 01. 01. 01. – Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Специальность «Вещественный, комплексный и функциональный анализ» – раздел математики, в котором изучаются функции и их обобщения...
Программа кандидатского минимума по специальности 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ iconПаспорт специальности 01. 01. 01 – Вещественный, комплексный и функциональный анализ. Шифр специальности: 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ. Формула специальности: «Вещественный
Паспорт специальности 01. 01. 01 – Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Программа кандидатского минимума по специальности 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ iconПрограмма вступительного экзамена по специальности вещественный, комплексный и функциональный анализ
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: математический анализ, теория функций комплексного переменного, функциональный...
Программа кандидатского минимума по специальности 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ iconРабочая программа для студентов направления 010100. 62 Математика. Профиль подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»
Девятков А. П. Граничные свойства аналитических функций. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления...
Программа кандидатского минимума по специальности 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ iconРуководство аспирантами 01. 01. 01 Вещественный комплексный и функциональный анализ
Старков Виктор Васильевич, д ф м н., профессор, зав кафедрой математического анализа
Программа кандидатского минимума по специальности 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ iconПрограмма кандидатского минимума по специальности 10. 01. 09 "Фольклористика"
...
Программа кандидатского минимума по специальности 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности [Математическое моделирование
В основе настоящей программы лежит материал курсов: функциональный анализ, математическая физика, теория вероятностей, математическая...
Программа кандидатского минимума по специальности 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ iconПрограмма вступительного экзамена в магистратуру по направлению «математика», магистерские программы
«комплексный анализ», «теория функций и информационные технологии», «уравнения в частных производных», «функциональный анализ»
Программа кандидатского минимума по специальности 01. 01. 01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ iconПеречень вопросов к экзаменам кандидатского минимума
«Теория и методика обучения и воспитания (математика) в виде третьего вопроса билета, он составлен в соответствии с разделом 3 «программы-минимума...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org