Лекции 76 час. Практические занятия 68 час. Самостоятельная работа 84 часа Форма проверки



Скачать 35.99 Kb.
Дата08.10.2012
Размер35.99 Kb.
ТипЛекции



ПРОГРАММА


по курсу «Функциональный анализ»
Факультет математический

Специальность 010101 – Математика


Семестр 5 – 6

Лекции 76 час.

Практические занятия 68 час.

Самостоятельная работа 84 часа

Форма проверки экзамен 5 – 6 семестр

зачет 5 семестр

Составитель: Пуляев В. Ф., профессор, доктор физ.-мат. наук



Содержание лекционного материала

Линейные нормированные пространства ( ЛНП )

Введение. Линейные пространства: определение, примеры. Линейная независимость, базис. Конечномерные пространства. Примеры.

Вспомогательные неравенства (Гельдера, Минковского). Норма в линейном пространстве. Примеры норм.

Шары и топология в ЛНП. Предел в ЛНП и его свойства. Сходимость в конкретных пространствах. Ряды в ЛНП.

Полные (банаховы) ЛНП. Полнота пространств , , . Примеры пространств, не являющихся полными.

Доказательство полноты пространства.

Теорема о вложенных шарах. Замкнутые множества. Теорема Бэра. Пополнение пространства.

Теорема об эквивалентности норм в конечномерном пространстве и следствия из неё.

Принцип сжимающих отображений: непрерывные отображения в ЛНП, сжимающие отображения. Доказательство принципа сжимающих отображений.

Применение принципа сжимающих отображений к скалярным уравнениям, алгебраическим системам, интегральным и дифференциальным уравнениям.

Основные принципы теории линейных непрерывных операторов

Линейные непрерывные операторы и их свойства: определение, примеры. Критерий непрерывности линейных операторов.

Алгебраические операции над операторами. Норма линейного оператора, её свойства. Полнота пространства .

Принцип равномерной ограниченности. Равномерная и поточечная сходимость операторов.

Применение принципа равномерной ограниченности к задачам анализа.

Обратимые операторы и их свойства. Теорема Банаха об обратном операторе: доказательство вспомогательного утверждения.

Доказательство теоремы Банаха. Применение теоремы Банаха для получения оценок решения уравнений.

Линейные непрерывные функционалы. Общий вид функционалов в конкретных пространствах. Теорема Хана – Банаха и следствия из неё.

Доказательство теоремы Хана – Банаха. Применение теоремы Хана – Банаха к задаче об отделимости выпуклых множеств.


Гильбертовы пространства

Пространство со скалярным произведением. Неравенство Коши – Буняковского. Гильбертово пространство. Ортогональность.

Ортогональное дополнение к подпространству. Проекция вектора на подпространство; её вычисление в случае конечномерного подпространства. Теорема о существовании проекции.

Ортонормированные системы. Критерий полноты. Ряды Фурье. Равенство Парсеваля – Стеклова. Общий вид функционалов в .

Вопросы спектральной теории линейных непрерывных операторов.

Теория Фредгольма – Рисса – Шаудера

Обратимые операторы: обратимость . Свойства обратимых операторов.

Спектр линейного непрерывного оператора, его свойства. Непустота спектра. Спектральный радиус.

Формула для вычисления спектрального радиуса.

Компактность множеств в нормированных пространствах. Примеры. Критерий компактности в конкретных пространствах.

Вполне непрерывные операторы и их свойства. Вполне непрерывность оператора Гильберта – Шмидта.

Сопряженные операторы: определение, существование и свойства. Примеры. Вполне непрерывность сопряженного оператора.

Свойства решений линейных уравнений. Замкнутость образа оператора , где – вполне непрерывный оператор.

Доказательство теоремы Фредгольма.

Спектр вполне непрерывного оператора.

Вполне непрерывные самосопряженные операторы. Теорема Гильберта – Шмидта.

Интегральные уравнения. Производная Фреше

Линейные интегральные уравнения. Характеристические числа и собственные функции. Теоремы Фредгольма. Уравнения с вырожденными ядрами.

Интегральные уравнения с симметричными ядрами.

Производная отображений, её свойства. Дифференцирование сложной функции.

Применение производной к нахождению экстремумов функционалов.
Литература

Учебники:

  1. Основная:

  1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.

  2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа.

  3. Шилов Г. Е. Математический анализ (спецкурс).

  1. Дополнительная:

  1. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.

  2. Садовский В. А. Теория операторов.

Задачники:

  1. Очан Ю. С. Сборник задач и теорем по теории функций действительной переменной.

  2. Пуляев В. Ф., Цалюк З. Б. Задачи по функциональному анализу.

  3. Антоневич А. Б., Князев Н. П., Радыно Я. В. Задачи и упражнения по функциональному анализу.

Похожие:

Лекции 76 час. Практические занятия 68 час. Самостоятельная работа 84 часа Форма проверки iconРабочая программа по курсу «Современная археография»
...
Лекции 76 час. Практические занятия 68 час. Самостоятельная работа 84 часа Форма проверки iconЛекции, час практические, час самостоятельная работа, час
Рабочая программа составлена на основании
Лекции 76 час. Практические занятия 68 час. Самостоятельная работа 84 часа Форма проверки iconТематический план дисциплины п/№ Тема Лекции, час. Семинарские (Лабораторные) занятия, час Самостоятельная и индивидуальная работа, час

Лекции 76 час. Практические занятия 68 час. Самостоятельная работа 84 часа Форма проверки iconТематический план дисциплины п/№ Тема Лекции, час. Семинарские (Лабораторные) занятия, час Самостоятельная и индивидуальная работа, час

Лекции 76 час. Практические занятия 68 час. Самостоятельная работа 84 часа Форма проверки iconТематический план изучения дисциплины для студентов отделения дневного обучения п/п№ Тема Лекции, час Семинарские (лабораторные) занятия, час Самостоятельная и индивидуальная работа, час

Лекции 76 час. Практические занятия 68 час. Самостоятельная работа 84 часа Форма проверки iconЛекции час. Лабораторные занятия, час. Самостоятельная и инд работа, час Итого часов по теме
Задачи линейной алгебры. Прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Лекции 76 час. Практические занятия 68 час. Самостоятельная работа 84 часа Форма проверки iconЛекции (час) 158 Экзамен 7,8,9 (семестр) Лабораторные занятия (час) 230 Самостоятельная работа (час) 434 Иваново 2004 г
Рабочая учебная программа составлена на основании требований гос высшего профессионального образования
Лекции 76 час. Практические занятия 68 час. Самостоятельная работа 84 часа Форма проверки icon«психологический практикум» сксиТ по рейтинговой системе оценки успеваемости п/№ Тема Лекции, час. Семинарские занятия, час Самостоятельная и индивидуальная работа, час
Общение – основа профессиональной деятельности и поведения специалиста по сервису и туризму
Лекции 76 час. Практические занятия 68 час. Самостоятельная работа 84 часа Форма проверки iconТематический план изучения дисциплины п/№ Тема Лекции, час Семинарские (Лабораторные) занятия, час Самостоятельная и индивидуальная работа, час
Обычаи, нравы, верования древних германцев. Основные племенные группировки: северные, южные германцы
Лекции 76 час. Практические занятия 68 час. Самостоятельная работа 84 часа Форма проверки iconТематический план изучения дисциплины практическая фонетика (III, IV семестр) п/№ Тема Практические занятия, час. Самостоятельная и индивидуальная работа, час Итого часов по теме

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org