Учебное пособие для студентов 2 3 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения



страница1/5
Дата08.10.2012
Размер0.85 Mb.
ТипУчебное пособие
  1   2   3   4   5


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса


              1. В.И. ФИЛИППЕНКО, Л.Д. АЛЕКСЕЕНКО

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Электронное учебное пособие для студентов 2 – 3 курсов

всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения


Шахты – 2003



СОСТАВИТЕЛИ:

В.И. Филиппенко к.ф.-м.н., доцент кафедры математики ЮРГУЭС

Л.Д. Алексеенко к.т.н., доцент кафедры математики ЮРГУЭС

В учебном пособии предназначенном для студентов-заочников второго курса ЮРГУЭС, рассмотрены основные вопросы гармонического анализа, предусмотренные Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и действующей учебной программой.


                  1. Оглавление

1. Метрические пространства 4

2. Нормированные пространства 6

3. Бесконечномерные евклидовы пространства 11

4. Полнота пространства 12

5. Банаховы и гильбертовы пространства 14

6. Ряды Фурье по ортогональным системам 17

7. Равенство Парсеваля – Стеклова 19

8. Интегралы, зависящие от параметров 20

9. Ортогональность функций 23

10. Ряд Фурье и его коэффициенты 24 11. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 29

12. Разложение функции в ряд Фурье на отрезке [0, ?] 31

13. Ряд Фурье для функции с периодом 2l 33

14. Комплексная форма ряда Фурье 36

15. Понятие интеграла Фурье 38

16. Интеграл Фурье для четных функций 42

17. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразования Фурье 44

18. Понятие спектра 46

19. Фурье-преобразвания некоторых функций 47

20. Понятие энергетического спектра 55

21. Применения рядов Фурье и интеграла Фурье 56

Литература 58

1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Логический анализ понятия предела последовательности действительных чисел, предела функции в точке, непрерывности и ряда других важнейших, связанных с этими понятий показывает, что все эти понятия опираются на использование расстояния между точками прямой.
Перечень свойств расстояний довольно краток и состоит из таких утверждений:

  1. ??x,y?? IR: ?x-y??0, причем ?x-y?=0 ? x=y;

  2. ??x,y?? IR: ?x-y?=?y-x?;

  3. ??x, y, z?? IR: ?x-y???x-z?+?z-y?.

Здесь ?x-y? - расстояние между точками с координатами x и y на прямой. Свойствами 1-3 обладает также обыкновенное расстояние в трехмерном пространстве. Абстрактное определение расстояния, обладающего свойствами 1-3 на множестве элементов произвольной природы позволяет строить ряд понятий математического анализа на этом множестве.

Пусть X – некоторое множество, будем считать, что X??. Элементы множества Х называют также точкам, а само множество Х – пространством.

Определение. Расстоянием (метрикой) ? на пространстве Х называется функция ?: Х ? Х ? IR, удовлетворяющая условиям:

  1. ??x,y??Х: ?(x,y)?0, причем ?(x,y)=0? x=y;

  2. ??x,y??Х: ?(x,y)=?(y, х);

  3. ??x, y, z?? Х: ?(x,y)??(x,z)+?(z,y).

Множество Х вместе с метрикой ? называется метрическим пространством и обозначается символом (Х, ?).

Замечание. Условия 1)-3) называют также аксиомами, условие 2) – аксиомой симметрии; а 3) – неравенством треугольника.

Примеры:

  1. Пусть Х=IR и ?(x,y)=?x-y?, ?x,y??IR. Тогда (IR,?) – метрическое пространство с обычным расстоянием.

2. Пространство (IRm,?). Пусть для фиксированного m?? X=IRm:={(x1,x2,..,xm):?xi?IR, 1? i ?m} и ?{x=(x1,x2,..,xm), y=(y1,y2,..,ym)}?IRm пусть ?(x,y):=. Докажем, что ? - метрика в IRm. Условия 1) и 2) выполняются. Согласно неравенству Коши для x=(x1,x2,..,xm)?IRm, y=(y1,y2,..,ym)?IRm, z=(z1,z2,..,zm)?IRm, получим ?2(x,y)=. Учитывая условие 1), получим неравенство 3). Таким образом, ? - метрика на IRm, а (IRm,?) – метрическое пространство. Обычно эту метрику называют евклидовой.

  1. Пространство (l2, ?). Пусть Х= l2 := {x=(xn)=(x1,x2,..,xn,…)} ?n?1: xn?IR - пространство бесконечных числовых последовательностей, для которых ряд сходится и для ?x?l2, ?y?l2.

Проверку условий 1)-3) можно выполнить в качестве упражнения.

4. Пространство (С([a, b]), ?). Это пространство функций непрерывных на отрезке [a, b]. Пусть x ? С([a, b]) и ?{x, y}? С([a, b])

? (x, y):=.

Расстояние ? в этом случае имеет простой геометрический смысл и представляет собой максимум модуля разности ординат точек графиков функций, когда аргумент пробегает отрезок [a, b]. Свойства 1)-3) метрики ? легко проверить.

5. Пусть Х – метрическое пространство, тогда имеет место неравенство треугольника ?{x, y, z}?X: ??(x,z) - ?(z,y)???(x,y) .

Решение. Следуя аксиомам 3) и 2), получим

?(x,z)??(x,y)+?(z,y)??(x,z)-?(z,y)??(x,y). (1)

Аналогично ?(z,y)??(z,x)+?(x,y)??(z,y)-?(x,z)??(x,y). (2)

Согласно свойствам модуля вещественного числа оба неравенства (1) и (2) равносильны доказываемому.

6. Для любого конечного набора x1,x2,..,xn точек из метрического пространства Х выполняется неравенство ?(x1,xn)??(x1,x2)+?(x2,x3)+ ?(x3,x4)+…+ ?(xn-1,xn), называемое неравенством многоугольника.

Доказательство этого неравенства можно получить вследствие последовательного применения аксиомы 3).

Упражнения (для самостоятельного решения)

7. Пусть Х = IR и для ??x,y?? IR, ?(x,y) = min(1, ?x-y?). Доказать, что ? - метрика на IR, а (Х,?) - метрическое пространство.

8. Доказать, что каждая из функций d1(x,y) =, d2 =, где x=(x1,x2,..,xm)?IRm, y=(y1,y2,..,ym)?IRm является метрикой в IRm.

9.Доказать, что каждая из функций d1(x,y)=, d2(x,y)={}0,5, где {x, y}? C([a; b]), является метрикой на C([a; b]).

10. Пусть Х = {x=(xn)=(x1,x2,..,xn,…) ?n?1: xn?IR:} ?(x,y)= для х={xn}?X, y={yn}?X. Доказать, что (Х, ?) – метрическое пространство.

11. Пусть Х – произвольное множество и ?(x,y)=1, если x?y и ?(x,y)=0, если x=y. Убедитесь в том, что (Х,?) – метрическое пространство. Такую метрику ? называют дискретной.

12. Пусть x={xn}? l2, y={yn}? l2 d(x,y)=. Доказать, что (l2, d) – метрическое пространство.

13. Доказать, что для любых элементов x, y, u и v из метрического пространства Х выполняется неравенство четырехугольника

??(x, u)- ?(y, v)? ??(x, y)+?(u, v).

14. Пусть (Хi, ?i) – метрическое пространство и Х=Х12 – декартово произведение множеств Х1 и Х2. Для любого x=(x1,x2)?Х, у=(у12)?Х положим ?(x,y)= ?((x12), (у12)): . Доказать, что ? является метрикой на Х, а (Х, ?) – метрическим пространством. В этом случае (Х,?) называют прямым декартовым произведением метрических пространств (Х1, ?1) и (Х2, ?2).

15. Доказать, что в декартовом произведении двух метрических пространств метрику можно определить по формуле d(x,y)= ?1(x1,y1)+ ?2(x2,y2).

16. Пусть Х= IR и ?(x,y)=?х-у?. Доказать, что пространство (IRm,?) является декартовым произведением m экземпляров метрических пространств (IR,?).

Определение 1. Последовательность {xn}, n = 1, 2, … элементов метрического пространства (Х, ?) называется фундаментальной, если ?(хn, уm) ? 0, когда n, m стремятся к бесконечности.

Определение 2. Метрическое пространство (Х, ?) называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом этого пространства.

IR, IRn , C[a, b] – полные метрические пространства.

2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Определение. Линейное пространство Е называется нормированным пространством, если каждому x?Е поставлено в соответствие неотрицательное число (норма х) так, что выполняется следующие три аксиомы:

1) в том и только в том случае, когда х=0;

2) , 3) .

Таким образом, норма – это определенная всюду на Е функция с неотрицательными значениями и со свойствами 1)-3). Заметим, что аксиома 1) называется условием невырожденности нормы, 2) – условием однородности нормы, а аксиома 3) – неравенством треугольника. В случае векторов аксиома 3) означает, что длина сторон треугольника не превышает сумы длин двух других его сторон. Как следствие отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна разности длин двух других его сторон. Соответствующее неравенство для нормы имеет вид

. (1) Докажем это неравенство. По неравенству треугольника имеем , откуда ; меняя ролями х и у, получаем . Оба последние неравенства в совокупности дают неравенство (1).

В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле ?(x,y)=.

Примеры нормированных пространств.

1. Прямая IR становится нормированным пространством, если для всякого числа x?IR положить .

  1. Если в действительном n-мерном пространстве IRn c элементами x=(x1,x2,..,xn) положить

, (2)

то все аксиомы нормы будут выполнены. Формула ?(x,y)= = определяет в IRn ту самую метрику, которую мы рассматривали в пункте 1.

В этом же линейном пространстве можно ввести норму

(3)

или норму

. (4)

Упражнения

17. Пространства Лебега LP (p?1). Пусть G – измеримое множество в 3-мерном евклидовом пространстве. Будем рассматривать всевозможные вещественные или комплексные функции на G, суммируемые по Лебегу со степенью р, и введем обычные действия сложения функций и умножения функций на число. Тогда получим вещественное (соответственно комплексное) линейное пространство. Действительно, если x(t) и y(t) суммируемые со степенью р, то их сумма также суммируема на G со степенью р, ибо она измерима и

?a+b?P ? 2P (?a?P +?b?P) , (5)

что вытекает из неравенства ?a+b?P ? (2?a?)P = 2P ?a?P ? 2P (?a?P +?b?P) при ?b???а?. Положим теперь

. (6).

1) . Нуль пространства LP есть функция, равная нулю почти всюду на G. В теории интеграла принято, что функции, отличающиеся друг от друга лишь на множестве меры нуль, считается эквивалентными, поэтому . Ясно также, что

2) . Третье свойство нормы есть здесь не что иное, как неравенство Минковского:

.

Таким образом, рассматриваемое линейное пространство оказывается нормированным с нормой (6). Оно называется пространством Лебега и обозначается LP или LP.

18. Пространство lp. Будем рассматривать всевозможные последовательности (x1,x2,x3,…)=х вещественных или комплексных чисел, для которого . Такие последовательности в силу (5) образуют линейное пространство относительно сложения х+у=( x11,x22,x33,…) и умножения ?х=(?x1, ?x2, ?x3,…) на скаляры соответственно из поля IR или С. Положим

(7).

Выполнение первой и второй аксиомы нормы непосредственно следует из определения, а третьей – из неравенства Минковского для сумм.

Упражнения для самостоятельного решения

9. Последовательность xn?Е (n?N) называют сходящейся к элементу x0?Х и записывают xn0, если при n??. Пусть xn, x, yn,y ?Е (n?N). Доказать, что

а) если xn?х, то xn – ограниченная последовательность:

б) если xn?х, ?n??, ?n?С, то ?n xn??х;

в) если xn?х, то ;

г) если xn?х, , то уn?х;

д) если xn?х, ;

е) если xn?х, уn?у, то .

20. Убедитесь, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т.е норма определяется корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств?

а) Пространство Еm столбцов х= c нормой .

б) пространство Сm столбцов х= c нормой .

в) пространство lm столбцов х= c нормой .

г) пространство столбцов х= c нормой .

д) пространство l1 последовательностей х=(x1,x2,x3,…) (xk ?R, xk ?C), удовлетворяющих условию , с нормой .

е) пространство l2 последовательностей х=(x1,x2,x3,…) (xk ?R, xk ?C),

удовлетворяющих условию, с нормой .

ж) пространство последовательностей х=(x1,x2,x3,…) (xk ?R, xk ?C),

удовлетворяющих условию, с нормой .

з) пространство m ограниченных последовательностей х=(x1,x2,x3,…) (xk ?R, xk ?C) с нормой .

и) пространство с0 стремящихся к нулю последовательностей х=(x1,x2,x3,…) (xk ?R, xk C) с нормой .

к) пространство С сходящихся последовательностей х=(x1,x2,x3,…) (xk ?R, xk ?C) с нормой .

Основным аппаратом при доказательстве теорем гармонического анализа является интегрирование непрерывных абстрактных функций со значениями в нормированном пространстве Е. Приведем соответствующие определения и необходимые элементы теории.

Пусть f(t) означает элемент полного нормированного пространства Е, зависящий от вещественного параметра t, или, что тоже, функцию параметра t, со значениями в пространстве Е. Такие функции называют абстрактными функциями. Будем говорить, что f(t) непрерывно зависит от параметра t в точке t = ?, если при t ? ? всегда норма разности f(t) – f(?) стремится к нулю. Абстрактная функция f(t), непрерывно зависящая от t при любом t из отрезка [a, b], называется непрерывной абстрактной функцией от t на [a, b].

Следующие предложения, представляющие собой естественные обобщения известных элементарных теорем анализа, легко доказываются с помощью обычных рассуждений, использующих компактность отрезка:

А) Абстрактная функция, непрерывная на отрезке, ограничена по норме на этом отрезке.

Б) Абстрактная функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.

В) Последовательность абстрактных функций fn(t) называется сходящейся к абстрактной функции f(t) равномерно на [a, b], если для любого ??0 можно указать такой номер N = N(?), что при n?N максимум нормы разности этих функций меньше ?.

Утверждается, что предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций fn(t) есть также непрерывная функция.

Интеграл от абстрактной функции обладает обычными свойствами интеграла (линейность, аддитивность, оценка нормы и т. п.).

3. БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Хорошо известным способом введения нормы в линейном пространстве является задание в нем скалярного произведения.

Скалярным произведением в действительном линейном пространстве Е называется действительная функция (х,у), определенная для каждой пары элементов х,у ? Е и удовлетворяющая следующим условиям:

  1. (х,у)=(у,х);

  2. 12,у)=( х1,у)+ (х2,у);

  3. (?х,у)=?(у,х);

  4. (х,х)?0, причем (х,х)=0 только при х=0.

Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. В евклидовом пространстве Е вводится норма с помощью формулы . Из свойств 1)-4) следует, что все аксиомы нормы при этом выполнены.

Действительно, нетривиальной является лишь проверка неравенства треугольника, которое следует из неравенства Коши-Буняковского , (1)

которое в свою очередь, можно получить следующим образом. Рассмотрим квадратный трехчлен от действительной переменной ?, неотрицательный при всех значениях ?:



Так как это выражение представляет собой скалярный квадрат некоторого вектора, то всегда ?????0. Следовательно, дискриминант этого трехчлена меньше или равен нулю. Неравенство Коши-Буняковского (1) как раз и выражает не что иное, как неположительность дискриминанта этого квадратного трехчлена ????.

Отметим, что в евклидовом пространстве сумма, произведение на число и скалярное произведение непрерывны в смысле сходимости по норме.

Если (х,у)=0, то векторы х и у называются ортогональными.
  1   2   3   4   5

Похожие:

Учебное пособие для студентов 2 3 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения iconУчебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений заочной и дистанционной форм обучения
Приведены стандартные методы определения основных физико-механических свойств как для сырьевых компонентов (цемента, битума, песка),...
Учебное пособие для студентов 2 3 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения iconУчебное пособие предназначено для студентов специальностей «Юриспруденция»
...
Учебное пособие для студентов 2 3 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения iconУчебно-методическое пособие по курсу " Информатика " Уфа 2005 Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс
Предназначено для студентов всех специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающих данный курс
Учебное пособие для студентов 2 3 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения iconУчебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор
Учебное пособие предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения, аспирантов и преподавателей
Учебное пособие для студентов 2 3 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения iconУчебное пособие Москва 2002 ббк 63. 3 /2/ я 73 Рецензент: Иванова А. А
Учебное пособие предназначено для студентов I курса всех направлений и всех специальностей дневной формы обучения
Учебное пособие для студентов 2 3 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения iconМетодические указания по самостоятельному изучению дисциплины, раскрываются основные вопросы содержания курса. В конце пособия даются грамматический справочник и словарь
Данное учебное пособие является дидактическим материалом по курсу «Латинский язык» и предназначено для студентов юридических специальностей...
Учебное пособие для студентов 2 3 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения iconУчебное пособие для студентов специальностей 271200 «Технология продуктов общественного питания»
Учебное пособие для студентов специальностей 271200 «Технология продуктов общественного питания» и271400 «Технология детского и функционального...
Учебное пособие для студентов 2 3 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения iconУчебное пособие для студентов заочной формы обучения строительных специальностей санкт-петербург 2011

Учебное пособие для студентов 2 3 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения iconУчебное пособие для студентов всех форм обучения специальности 080801 Прикладная информатика в экономике Разработчик
Данное учебное пособие предназначено для студентов всех форм обучения специальности «Прикладная информатика в экономике»
Учебное пособие для студентов 2 3 курсов всех специальностей заочной и дистанционной форм обучения iconУчебное пособие Кемерово 2004 удк
Учебное пособие предназначено для студентов специальности 271400 «Технология продуктов детского и функционального питания» всех форм...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org