Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения Сведения из теории



Скачать 216.51 Kb.
Дата26.07.2014
Размер216.51 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие


МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»

В. Д. Бочкарева

Математика для студентов географических направлений.

Декартово произведение множеств, бинарные соответствия, их графы и графики
Учебно-методическое пособие

Саранск 2012


Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения




Сведения из теории

Пусть даны два множества и . Например, множество  – множество флаконов духов(10 штук) и множество – книги (100 штук). С помощью множеств и мы можем составить множество подарков (100 штук), состоящих из двух предметов – духи и книга.

Каждый подарок можно назвать парой. Причем, в этом случае не важно, какой из этих предметов первый, а какой второй. Если же мы хотим оформить документально наличие подарков и их содержание, то мы составляем таблицу, в которой содержится наименование подарка и содержание подарка, причем название предметов обычно одинаковое. Например, первым идет название книги, вторым название духов. Итак, мы теперь говорим о паре, в которой существует порядок следования компонент: на первом месте название книги, на втором – название духов. В этом случае говорят об упорядоченной паре.

Пусть теперь даны произвольные множества и (не пустые). Мы можем говорить об упорядоченных парах элементов множеств и таких, у которых первая компонента берется из множества , а вторая из множества . Такие пары мы будем обозначать символом , причем , . На первую компоненту не накладывается никаких ограничений, кроме принадлежности множеству , на вторую компоненту не накладывается никаких ограничений, кроме принадлежности множеству . Множество упорядоченных пар , где gif" align=bottom>, называют декартовым произведением множеств и и обозначают символом . Другими словами . Аналогично  – декартово произведение трех множеств , и С.  – декартово произведение n множеств , , , . Ясно, если множества и конечны и , , то тоже конечное, причем .

Если хотя бы одно из множеств бесконечно, то декартово произведение тоже бесконечное. В частности, можно говорить о декартовом произведении множества на себя, т. е. о . Декартово произведение множества на себя называют декартовым квадратом множества и обозначают символом . Другими словами, . Например, если , то .

Непустое подмножество декартова произведения множеств и называется бинарным соответствием из множества множество .

Например, если , , то будет бинарным соответствием из множества в множество , т. к. и .

Значит для данных множеств и бинарное соответствие не одно, т. к. непустых подмножеств множества не одно. Сколько непустых подмножеств у множества , столько и различных бинарных соответствий из множества множество .

Если – бинарное соответствие из множества в множество , то А называют множеством исхода, а – множество прибытия данного бинарного соответствия.

Если пары , то элемент из множества называется точкой исхода, а элемент из множества – точкой прибытия в данном бинарном соответствии .

У каждой точки исхода должна быть хотя бы одна точка прибытия. Для каждой точки прибытия должна быть хотя бы одна точка исхода. Итак, не каждый элемент множества обязан быть точкой исхода, и не каждый элемент множества обязан быть точкой прибытия данного бинарного соответствия .

Множество точек исхода данного бинарного соответствия из множества в множество называется проекцией бинарного соответствия на множество и обозначается символом . Множество точек прибытия соответствия называется проекцией бинарного соответствия на множество и обозначается символом .

Итак, ,

, .

В предыдущем примере, , .

Очень часто факт принадлежности пары бинарному соответствию обозначают символом и читают: элемент соответствует элементу у согласно соответствия .

В нашем примере: элементу 1 соответствует элемент и соответствует элемент , элементу 2 нет соответствующего элемента. При этом можно записать: ; ; .

Так как бинарное соответствие есть подмножество множеств , то можно говорить о дополнении множества до множества или до . , поэтому тоже бинарное соответствие из множества множество . Оно называется соответствием противоположным к соответствию .

Итак , если .

Другими словами, , если не . В нашем примере {(1; в), (2; а), (2; в), (2; с), (3; а), (3; в)}. Бинарные соответствия из множества в множество при конечных и можно представить наглядно при помощи графиков и графов.

График бинарного соответствия из множества в множество состоит из точек. Точек на графике столько, сколько пар в . На плоскости строится прямой угол с вершиной в некоторой точке. Обычно одна из сторон угла – горизонтальна, другая – вертикальна. На горизонтальной оси столько точек, сколько элементов в множестве (вершина угла не используется).









4

3



1

2

Рис. 1

Пусть . Каждой точке припишем символ элементов множества . Порядок следования символов не существенен, расстояние между точками не обязательно одинаковое. На вертикальной стороне угла отмечаем столько точек, сколько элементов в множестве (не используем вершину угла) Пусть . Каждой точке припишем символ элементов множества . Порядок следования символов не существенен, расстояние между точками не обязательно одинаковые. (рис. 1).








4

3



1

2

Рис. 2






Пусть . Тогда на горизонтальной стороне находим точку с символом и через нее восстанавливаем вертикаль; на вертикальной стороне находим точку с символом и от нее проводим горизонталь. Точка пересечения проведенных горизонтали и вертикали будет соответствовать паре .

Например, . (рис. 2). График такого бинарного соответствия состоит из трех точек.

Зная график некоторого бинарного соответствия, мы можем записать это соответствие с помощью пар и указать его множества исхода и прибытия.

Например, дан график некоторого бинарного соответствия. (рис. 3). График состоит из четырех точек. Значит бинарное соответствие состоит из 4-х пар. Множество исхода . Множество прибытия . Бинарное соответствие {(2; *), (3; Δ), (4; Δ), (4; О)}.







4

3



1

2

Рис. 3

Граф бинарного соответствия представляет собой чертеж, состоящий из точек, соединенных стрелками. Для построения графа бинарного соответствиями должны отметить точками все элементы множества и множества (обычно по вертикали параллельно друг другу), приписав этим точкам соответствующие символы.


В предыдущем примере. (рис. 4).

Если , то находим точку с символом и от нее проведем стрелку (обычно по дуге) к элементу с символом . В предыдущем примере. (рис. 5).

Зная граф бинарного соответствия , мы сможем написать это соответствие с помощью пар. Например, дан граф. (рис. 6).

1

2



3

4

Рис. 4







*



Соответствие  – бинарное соответствие из множества в множество .

Заметим, если множество исхода или множество исхода бесконечны, и бинарное соответствие из множества в множество тоже бесконечно, то можно говорить только о части графа и части графика этого соответствия.

1

2



3

4



*

Рис. 5





Можно говорить о бинарном соответствии из множества в это же множество . Такие бинарные соответствия называются бинарными отношениями на множестве . Итак, бинарными отношениями на множестве называется непустое подмножество декартового квадрата множества .

Например, . , т. е. |.

1

2



3

4



*

Рис. 6





Любое непустое подмножества множества (а таких подмножеств216-1) будет бинарным отношением на множестве . Например, . При этом мы можем записать , , , , и т.д. Тогда  – противоположное отношение.

Кроме того вводится понятие обратного отношения : .

1

2



3

4

5



Рис. 7

Другими словами , если : элемент находится в отношении с элементом , если у находится в отношении с элементом . Например, пусть , . Тогда , . Так как бинарное отношение есть частный случай бинарного соответствия, то для него можно говорить и о графике и о графе. Причем, при построении графика никаких особенностей нет, а при построении графа применяют в целях удобства некоторые изменения. Именно, точки, соответствующие элементам множества отмечают по кругу. Например, пусть . (рис. 7). Тогда граф отношения на множестве будет состоять из точек, стрелок и петлей. Например, путь {(1;1),(1;4),(4;1),(5;3),(2;2)}. (рис. 8).

1

2

3



4

5

Рис. 8



Бинарное отношение на множестве может иметь следующие свойства:

1. Рефлексивность: : .

Другими словами, каждый элемент из множества находится в отношении с самим собой.

Например, – множество людей на Земле. Отношение – “быть другом”, т. е. тогда и только тогда, когда человек друг человека . Это отношение рефлексивно, т. к. каждый человек друг самому себе.

Пусть – множество людей на Земле. Отношение – “быть сыном”, т. е. тогда и только тогда, когда человек сын человека . Это отношение не является рефлексивным, т. к. можно найти человека , который не является сыном самому себе (более того, ни один из людей не является сыном самого себя).

2. Симметричность; .

Другими словами, если элемент из множества находится в отношении с элементом , то и элемент находится в отношении с элементом .

Например: – множество людей на Земле. Отношение – “быть другом”. Это отношение симметрично, т. к. если человек друг человека , то и друг . Отношение – “быть сыном” не является симметричным, т. к. если сын , то не обязан быть сыном (более сильно, не сын )

3. Антисимметричность: и , т. е. и . Примером антисимметричного отношения является отношение «быть сыном» на множестве всех людей на Земле, т. к. сын у влечет за собой – не сын .

4. Транзитивность: , .

Другими словами, если находится в отношении с , а находится в отношении с , то находится в отношении с .

Например, отношение “быть другом” не является транзитивным, т. к. из условия друг , а друг , еще не следует, что друг .

Если бинарное отношение на множестве рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно называется эквивалентным.

Например, путь – множество прямых на плоскости. Ведем отношение “параллельность” прямых следующим образом: прямая параллельна прямой тогда и только тогда, когда прямые и не имеют общих точек или совпадают. Тогда отношение “параллельность”:

1) рефлексивно, т. к. любая прямая плоскости параллельна сама себе,

2) симметрично, т. к. если , то ,

3) транзитивно, т. к. если и , то .

При решении конкретных задач часто не удобно работать с элементами множества. Например, мы имеем множество спортсменов в данном клубе. Работать персонально с каждым (оформлять поездки, расписание занятий и т.п.)неудобно. Поэтому часто более удобно работать с группами (классами) элементов данного множества. Явно удобнее работать со спортсменами, распределенными, например, по группам, а в каждой группе распределять спортсменов на подгруппы по мастерству и т.п. Чтобы обобщить такого сорта задачи в теории множеств вводится понятие разбиения множества.

Пусть – непустое множество. И пусть , , , – набор подмножеств множества , обладающий следующими свойствами:

1) ;

2) при ;

3) .

Тогда набор множеств , , , называется разбиением множества .

Например, дано множество – студентов первого курса дневного обучения географического факультета. Мы имеем несколько разбиений этого множества. Например, по специальностям: “геоэкология”, “география”, “картография”. Можно указать и другое разбиение, например, по изучаемым иностранным языкам и т.д.

Если на множестве задано бинарное отношение , являющееся эквивалентностью, т. е. рефлексивно, симметрично, транзитивно, то можно создать разбиение множества по отношению эквивалентности :

1 шаг. Возьмем из какой-нибудь элемент, например . Соберем в один класс все элементы из множества , находящиеся в отношении с элементом :

.

Если , то разбиение состоит из одного класса.



2 шаг. Если , то : , т. е. . Соберем в один класс все элементы множества , находящиеся в отношении с элементом :

.

Если , то разбиение состоит из двух классов ( и ). Если , то существует элемент , т. е. и . Тогда 3 шаг. Собираем и т.д.

Процесс может быть конечным, может быть бесконечным.

За счет рефлективности, симметричности и транзитивности отношения можно сказать, что:

1) каждый класс не пуст,

2)пересечение дух разных классов пусто,

3)объединение полученных классов дает множество. Значит, зная некую эквивалентность на данном множестве всегда можно иметь разбиение этого множества по данной эквивалентности. Верно и обратное. Если на множестве задано некоторое разбиение, то среди всех возможных эквивалентностей на множестве можно найти такую, которая задает именно данное разбиение. Другими словами разбиение множества и эквивалентности на этом множестве задают друг друга. Кроме отношения эквивалентности, большую роль играют отношения, называемые отношениями порядка.

Бинарное отношение на множестве называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично. Множество на котором задано отношение порядка, называется упорядоченным множеством.



Не следует думать, что все отношения подразделяются только на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношением эквивалентности, ни отношением порядка, но играющих важную роль в решении различных задач.


Лабораторная работа№4. Декартовые произведения двух множеств




Вопросы к работе.


  1. Что такое “упорядоченная пара элементов”?

  2. Что такое “декартовое произведение множеств и ”?

  3. Сколько элементов содержится в декартовом произведении , если , ?

  4. Можно ли менять местами компоненты пары, входящей в ахв?

  5. Верно ли, что ?

  6. Что такое ?

  7. Какова длина множества , если ?



Образцы решения задач.


  1. Найдите , если А={1; 2}, В={1; 2; 3}. Решение: ={(1;1), (1;2), (1;3), (2;1), (2;2), (2;3)}.

  2. Найдите , если . Решение: .

  3. Запишите множество дробей , числителем которых являются числа из множества , а знаменателем – числа из множества . Решение: .

  4. Изобразите на декартовой плоскости множество . Решение. Каждый элемент множества представляет собой упорядоченную пару , где , , изображаемую на декартовой плоскости точкой . Значит множество на декартовой плоскости представляет собой множество точек, первая координата которых берется из , а вторая – из . (Рис. 9).


Рис. 9




  1. Докажите, что при любых множествах , , .

Решение. Обозначим , . Следовательно нам надо доказать, что .

1)




2)



Упражнения.


1. Дано уравнение . Запишите несколько решений данного уравнения. Что представляет собой каждое решение? Является ли пара решением данного уравнения?

2. Запишите множество дробей, числителем которых являются числа из множества , а знаменателем – числа из множества .

3. Составьте и , если

1) А ={ а,b,с,d} ; В={ b,n,r }. 2) А={ а,b,с } ; В={ а,b,с }.

3) А={ а,b/с }; В=Ø. 4) А=Ø; В={b ,n,r }.

4. 3апишите различные двузначные числа, используя цифры 1,2,3,4. Сколько среди них таких, запись которых начинается с цифры 3? Переформулируйте эту задачу, используя понятие декартова произведения множеств.

5. Изобразите на декартовой плоскости следующие множества:

1) [0;1] х [0;1], 2) [-1;1] х [2;3],

3) [0;1]х]-;3], 4) [0;1] х [2;+[,

5) [1;2]х]-;+[, 6) [0;2]х{2;3}.

6. Доказать, что при любых множествах А,В,С:

1) (АВ) х C=(АхС) (ВхС) 2) .

7. Докажите, что для любых множеств , , , верно:

.

Верно ли аналогичное равенство для объединения множеств?



Индивидуальные задания.


1. Докажите равенство множеств:

1) (А \ В) х С= (АхС)() 2) Ах (В \ С)= (АхВ) ()

3) (АВ) х С=(АхС)\ 4) Ах(ВС)= (АхВ) \ ()

5) (АВ)хС=(АхС) 6) Ах(ВС)=(АхВ)

7) (АВ) хС=(ВхС)\ 8) А х(ВС)=(АхС) \

9) С = 10) Ах(В )=(АхВ) \ (АхС).



Задание для самоконтроля.


1. Даны множества А={ а;в } и В={ с;d }. Является ли множество С декартовым произведением множеств А и В, если

1) С= { (а,с), (а,d),(b,с),(b,d) }, 2) С= {(а,d),(b,d),(а,с) },

3) С= { (а,d),(b,d),(с,d),(а,с) }.

2. Даны множества А={ а,b,с }, В={ m,n }, . Записать множества (АхВ)хС и Вх(АхС). Выясните, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны:

1) ((а,m);х)(АхВ)хС 2) (в,(m;х))Вх(АхС)

3) (AхB) х С=В х (АхС).




Лабораторная работа 5: Бинарные соответствия




Вопросы к работе.


1. Что такое бинарное соответствие из множества в множество ?

2. Как прочитать запись ?

3. Что такое “точка исхода”, “точка прибытия” соответствия из множества в множество ?

4. Что называется проекцией и соответствия из множества в множество ?

5. Как строится график соответствия из множества в множество ?

6. Как строится граф соответствия из множества в множество ?

7. Как составить соответствие из и ?

8. Как составить отношение на множестве ?



Образцы решения заданий.


1. Бинарное соответствие из множества в множество состоит из пар: (1;b),(1;d),(2;а),(2;b),(4;с).

1) Указать область определения , т. е. pr А ,

2) Указать область определения , т. е. pr B ,

3) Построить график ,

4) Построить граф .

Решение. 1) , 2) .

1

5

3











2

4





















3) 4)





2. Составить отношения и для отношения на множестве .

Решение.

1)



.

2) .

3. Даны подмножества и – множества натуральных чисел. Соответствие из в таково:

число больше числа (, ).

1) Записать с помощью пар.

2

6

4







Рис. 




7

2) Записать в виде .



3) Построить граф .

Решение.


1) .

2) 43, 63, 65, если 4 больше 3, 6 больше 3, 6 больше 5, или , , .

3)

Упражнения


1. Даны да множества слов: {“желтый”, “белое”, “черная”}, В = {“лист”, “ночь”, “платье”, “шаль”, “безмолвие”}.

1) Составить бинарное соответствие из и , которое состоит из пар, в которых первая компонента – слово из , а вторая компонента – согласованное с ним слово из .

2)Построить график этого соответствия.

3)Построить граф этого соответствия.

2. Пусть X = { «река», «возвышенность», «океан», «пустыня» }, а У = { а,е,н,я }.

1) Составить декартовое произведение ХУ этих множеств.

2) Отметьте в нем пары, связанные соответствием р:

хру <=> « в слово х входит буква у».

3) Задайте это же соответствие при помощи графа.

4) Найдите полный образ слова «океан».

5) Найдите полный прообраз буквы «а».

6) Есть ли в множестве У буква, полный прообраз которой состоит из всего множества X?

7) Есть ли в множестве У буква с пустым полным прообразом?

3. Для множеств и заданы следующие

соответствия:

а) ; б) ; в) ; г) , (, ). Для каждого из них:

1) найти область определения,

2) множество значений,

3) построить граф,

4) построить график.



Индивидуальное задание.

1. Даны два множества: , . Поставим в соответствие каждому числу его квадрат в . Выпишите все пары, входящие в указанное соответствие. Постройте его граф.

2. Соответствие из в задано при помощи графа:

в

Изобразите график этого соответствия. Постройте график противоположного соответствия.

3. Даны множества: Х={х|хZ,-3≤х<0}, У= Z,. Каждому значению хХ поставим в соответствие такое значение уУ, которое на 3 больше этого х. Перечислите элементы, принадлежащие этому соответствию. Постройте граф этого соответствия.

4. Соответствие р из множества = { х | х Z,0≤х≤4}в множество У= {у|у Z, 0 ≤ у ≤ 5 } состоит из пар (х;у) таких, что х < у. Построить граф этого соответствия.

5. На рис. 1 изображен график соответствия из А R в В R.

а) Верно ли ,что 2 А, 2 А,-ЗА?

б)Верно ли, что 0 В, -1 В, 0,7 В?

в)Какие значения уВ соответствуют -1? О? 7?

г)Каковы область определения и множество значений данного соответствия?

6. Соответствие р: «хру число х кратно числу у» задано из множества Х={135,0,264,122 } в множество У = { 3,4,5,9 }. Построить граф соответствия р . Найти р (135). Проверить, верно ли р (264) = 3. Найти полный прообраз числа 0.

7. Даны множества А={1;3},В={ 2;5 }. Перечислить все подмножества множества АхВ. Какое из полученных подмножеств задает соответствие:

а) «меньше»,

б) «больше»,

в) «больше или равно»,

г) «быть делителем»?

Построить граф каждого из этих соответствий.

8. На рис. 2 изображен график соответствия р из множества Х в множество У.

а) 3апишите область определения и множество значений этого соответствия.

б) Перечислите все элементы этого соответствия.

в) Постройте граф этого соответствия.

9. Найдите область определения и множество. значений для соответствия а ≤ в, если а и в – натуральные числа и 2 ≤ а < 10, 4≤ в < 12. Постройте граф и график этого соответствия.

10. Каждой точке М диаметра АВ окружности на рис. 3 поставим в соответствие те точки окружности, которые лежат на перпендикуляре, восстановленном в этой точке( например, М К1 К2).

а) Отметьте точки окружности, соответствующие точке Д.

б) Отметьте точки диаметра, которым соответствует точка Р, точка С.

в) Какова область исхода и область прибытия данного соответствия?




рис. 3

Задания для самоконтроля

1) Для нижеследующих соответствий сформулируйте противоположные, обратные, противоположные обратные:

а) точка лежит на прямой ,

б) число является корнем уравнения ,

в) прямая пересекает окружность ,

г) прямая пересекает прямую ,

д) число больше числа ,

е) элемент принадлежит множеству ,

ж) прямая перпендикулярна прямой ,

з) число является делителем числа ,

и) ,

к) ,

л) человек выше человека ,

м) слово согласованно со словом ,

н) город находится в стране ,

о) длина отрезка равна числу ,



п) река впадает в море .

Литература

  1. (Боровиков А. Н. Математическая геология – ее методика или методология? // Пути познания Земли, -М., 1971).

  2. Воробьев Н. Н. Роль теории игр в математизации знаний // Методологические проблемы кибернетики: Материалы к Всесоюзной конференции. Т. 1. – М., 1970)

  3. Гохман В. М., Гуревич Б. Л., Саушкин Ю. Г. Проблемы метагеографии //Математика в экономической географии. Вопросы географии. Ст.77. – М.: Мысль, 1968; Гохман В.М., Минц А.А., Преображенский В.С. Системный подход в географии // Теоретическая география. Вопросы географии. Сб.88. -М.: Мысль, 1971; Гуревич Б. М., Саушкин Ю. Г. Математический метод в географии // Вести московского университета. Серия 5, География. 1966 №1).

  4. Гохман В. М.. Гуревич Б.Л., Саушкин Ю. Г. Проблемы метагеографии // Математика в экономической географии”. Вопросы географии. Сб. 77. – М.: Мысль, 1968; Гохман В. М., Минц А.А., Преображенский В. С. Системный подход в географии. // Теоретическая география. Вопросы географии. Сб.88. – М.: Мысль, 1971; Согава В. Б. Определение некоторых понятий и терминов физической географии: Доклад института географии Сибири и Дальнего Востока. Вып. 3. – Иркутск, 1963;

  5. Согава В. Б. Структурно-динамическое ландшафтоведение и географические проблемы будущего: Доклад института географии Сибири и Дальнего Востока. Вып. 16. – Иркутск, 1967).

  6. Саушкин Ю.Г. Смирнов А. М. Роль ленинских идей в развитии теоретической географии // Вести Московского университета. Серия 5 География 1970. №1

  7. Гохман В.М., Гуревич Б.Л., Саушкин Ю.Т. Проблемы метагеографии // Математика в экономической географии. Вопросы географии сб.77-М.: Мысль, 1968

  8. Гуревич Б.Л. Саушкин Ю.Г. Математический метод в географии // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 5 Геогр 1966. №1




Похожие:

Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения Сведения из теории iconВведение в теорию множеств
Алгебра множеств. Операции на множествах: объединение, пересечение, дополнение. Декартово произведение двух множеств. Бинарные отношения...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения Сведения из теории iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Лабораторная работа № Бинарные отношения
Построить граф и график этого отношения. Какими свойствами обладает это отношение? Решение
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения Сведения из теории iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории
Можно говорить о множестве стульев в аудитории, о множестве деревьев в парке, о множестве машин на улицах города, о множестве людей...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения Сведения из теории icon4. Планы и умм к практическим (семинарским) занятиям План практических занятий и контрольных мероприятий (1 семестр) № занятия Название темы Содержание занятия (литература)
Множество. Операции над множествами и их свойства. Декартово произведение множеств. Отношения и бинарные отношения и их основные...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения Сведения из теории icon4. Планы и умм к практическим (семинарским) занятиям План практических занятий и контрольных мероприятий (1 семестр) № занятия Название темы Содержание занятия (литература)
Множество. Операции над множествами и их свойства. Декартово произведение множеств. Отношения и бинарные отношения и их основные...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения Сведения из теории iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Отображения. Функции Сведения из теории
Пусть даны некоторые множества и. Бинарное соответствие из в называется отображением множества в множество, если
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения Сведения из теории iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Системы линейных уравнений. Метод Гаусса Сведения из теории
Многие задачи естествознания своими моделями имеют системы линейных уравнений с несколькими неизвестными
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения Сведения из теории iconБинарные отношения (отношения степени 2)
В математике большую роль играют бинарные отношения, т е отношения, заданные на декартовом произведении двух множеств
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения Сведения из теории iconУчебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012

Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения Сведения из теории icon1 Вопросы Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы, фактор-множество
Упорядоченные пары (n-ки) элементов. Прямое произведение двух (нескольких) множеств
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org