Семинар Вопрос 2-3 Три программы обоснования математики



страница1/6
Дата08.10.2012
Размер0.6 Mb.
ТипСеминар
  1   2   3   4   5   6
Семинар Вопрос 2-3

Три программы обоснования математики.

Проблема обоснования математики: что может служить достаточным основанием принятия истинности математических утверждений?

Идея самоочевидных истин потерпела неудачу. Как и идея эмпирического обоснования (например, числу 0 неоткуда взяться эмпирически)

Свойства математического знания:

  1. Идеализация.

  2. Истинность теорем зависит от истинности аксиом (в естествознании наоборот).


В начале XX века произошёл кризис в методологии математики (в связи с противоречиями в теории множеств). Обнаружилось резкое несоответствие объяснительных средств, которыми располагали математики, тем новым теоретико-множественным объектам, которые они сами и создавали.

В целом, ни одна из программ обоснования не достигла успехов. Причины:

  1. Заблуждение, что математика должна иметь единое и достоверное основание. Математика имеет дело с множеством моделей, ни одна из которых не является фундаментальной (пример — неевклидова геометрия).

  2. Отсутствие ясного понимания того, что такое актуальная бесконечность.

  3. Недостаточность Аристотелевой логики (была создана новая логика)



ЛОГИЦИЗМ

Математика рассматривалась как продолжение логики. Математические истины составляют подмножество логических истин. Основные тезисы логицистов:

  1. Все понятия математики определяются в терминах понятий логики.

  2. Все теоремы математики выводятся из логических аксиом.


Попытка доказать аналитический характер математики привела логицистов к созданию новой логики — логики предикатов.

Основы идей логицизма заложил Лейбниц. Активный сторонник — Готлоб Фреге. Критиковал имеющиеся на тот момент трактовки числа, переменной, функции. Он же придумал кванторы, хотя и не в том виде, как используются сейчас. Благодаря переписке с Расселом Фреге осознал недостатки своей теории. Они связаны, в частности, с использованием закона исключения третьего (выражение всегда либо истинно, либо ложно) и неограниченной квантификацией.

Другой приверженец — Бертран Рассел. Создал «Начала математики» (в соавторстве с А. Уайтхедом).

Основной вклад логицистов — исследование природы натурального числа. Т.к. математика базируется на элементарной арифметике, были попытки сведения её к логике. Было показано, что натуральное число не есть вещь, множество, свойство или представление, результат интуиции. Оно представляет абстракцию второго уровня, результат формирования новой операциональной структуры, цель которой в координации абстракций первого уровня.


Математика, которую построили логицисты, оказалась не только независима от своих логически безупречных оснований, но, будучи избавленной от всех ненеобходимых предпосылок (интеллектуальных, логических, культурных), превратилась в замкнутую относительно дедуктивного следования систему утверждений, лишённых спонтанных и творческих импульсов к развитию и самосовершенствованию.
ИНТУИЦИОНИЗМ

Основоположник — Брауэр. Основное положение: математика — собрание интуитивно очевидных конструкций, независимых от математического языка и логики.

Не признаётся актуальная бесконечность, она принципиально несовместима с конечным характером мыслительных процедур.

Методы теории действительных чисел и анализа признаны ошибочными, т.к. они обращаются с бесконечностью с помощью средств, выработанных для конечных совокупностей.

Рассматривают логику как часть математики. Логические правила — умственные конструкции, создаваемые для решения исключительно математических проблем. Считают, что всякое доказуемое утверждение истинно, но обратное неверно. Т.о. класс доказуемых истин включён в класс истин, но не равен ему. Классическая логика оперирует понятиями «истина», «ложь», интуиционистская заменяет их на «доказуемо», «противоречиво».

Критика классической логики:

  1. Существование независимо от человеческой мысли некой абсолютной истины, отдельные части которой выражаются «истинными утверждениями» — метафизическая гипотеза.

  2. Выведение всего из аксиом, истинность которых устанавливается чуждым для математики путём.


Математика представляет собой автономную и самодостаточную область. По Брауэру, спор о точности математических законов привёл к созданию двух школ — интуиционизма и формализма. Интуиционисты признают в качестве источника точности математики человеческий интеллект, формалисты — бумагу.

Два «акта принятия интуиционизма»:

  1. Полное отделение математики от математического языка и, следовательно, от феномена языка как такового. (Попытка выделить базисную интуицию математики)

  2. Считать законным только 2 способа создания новых математических объектов: свободное порождение бесконечных последовательностей и математическое обобщение созданных ранее математических объектов.

Семинар Вопрос 4

Формализм — один из подходов к философии математики, пытающийся свести проблему оснований математики к изучению формальных систем. Наряду с логицизмом и интуиционизмом считался в XX веке одним из направлений фундаментализма в философии математики.

Формализм возник в начале XX века в математической школе Гильберта в рамках попытки свести в единую систему строгие обоснования различных областей математики.

Разрабатываемая Гильбертом в 1922-39 гг. программа математического обоснования математики декларировала возможность «спасения» всей классической математики, т.е. математики, строящейся на базе теории множеств кантора, безоговорочно пользующейся абстракцией актуальной бесконечности и всем арсеналом дедуктивных средств традиционной логики. По замыслу Гильберта отсутствие парадоксов в выбранной системе аксиом теории множеств могло быть гарантировано тем, что метаязык, на котором проводилось бы доказательство ее не противоречивости, содержал бы лишь финитные, конечные (никак не предполагающие использование понятия «актуальной бесконечности») выразительные и дедуктивные средства, абсолютно безупречные в отношении ясности и убедительности.

Формализм является подходом к изучению оснований математики. Он возник, как попытка осмыслить открытие неэвклидовой геометрии. Это открытие показало, что аксиоматический метод, со времен Евклида рассматривавшийся как сердцевина математики, сам понимался неправильно.

В отличие от логицизма, формализм не претендовал на построение единой для всей математики формальной теории, наподобие теории множеств или теории типов. В отличие от интуиционизма, формализм не отказывался от построения теорий с «сомнительными» с точки зрения интуиции основаниями, лишь бы в них правила вывода теорем были строго обоснованы. Формалисты полагали, что математика должна изучать как можно больше формальных систем.

В трудах Г.Фреге, Б.Рассела и Д.Гильберта, относящихся к концу XIX - началу ХХ вв., процесс аксиоматизации ряда серьезных математических теорий действительно удалось довести до конца. Они были представлены в виде исчерпывающей системы аксиом и правил вывода, без всякой примеси интуиции. Логическая техника, разработанная этими корифеями, позволяет полностью аксиоматизировать любую теорию, которая основана на застывшей системе принципов (т.е. любую математическую теорию).

Проект программы обоснования математики

В начале 20 века математику очень сильно лихорадило. Парадокс Рассела пошатнул основы молодой теории множеств. И при этом требовалось лишь легкое изменение в формулировке, чтобы перевести этот парадокс в противоречие, которое можно было бы сформулировать в терминах самых основных логических понятий. Никогда ранее парадоксы не возникали на таком элементарном уровне, затрагивая так сильно самые фундаментальные понятия двух самых "точных" наук — логики и математики.

Вот как раз в это сложное для математики время Гильберт выступил с проектом программы обоснования математики. Основной проблемой стал поиск надежного метода доказательства непротиворечивости классической математики.

Такой метод и был предложен Гильбертом. Он состоял из двух этапов.
Прежде всего, математика должна быть формализована, т.е. нужно построить формальную систему, из аксиом которой с помощью некоторого четко описанного множества правил вывода можно было бы вывести все основные математические теоремы.

В качестве второго шага Гильберт собирался доказать непротиворечивость формальной математики. Предложенный им для этого метод основан на трактовке непротиворечивости как отсутствия противоречия, т.е. отсутствии двух теорем, являющихся отрицанием друг друга.

По Гильберту обосновать математику – обосновать непротиворечивость основных математических утверждений. Математика – только метод. Гильберт поставил задачу доказать непротиворечивость не используя никакой ссылки (в отличии от логицистов – логика, интуиционисты - интуиция). Такие доказательства могут быть проведены на уровне метатеории. Ничто не мешает изучать одну формальную теорию при помощи другой. Такой подход называется метаматематическим. Необходимо было изобрести теорию, которая заведомо непротиворечива и на ее основе доказать непротиворечивость в рамках этой теории. Метатеория – некий язык. Туда помещают элементарную математику. Гильберт считает, что в математике есть априорное ядро и это априорное ядро задано элементарной математикой, арифметикой. Метатеория финитна, конструктивна, содержательна (формальная теория (содержательное описание заведомо не противоречиво) содержательно описывает структуру). Он полагал, что будет способен выстроить непротиворечивую и полную формальную аксиоматическую систему для всей математики и в результате этого получит разрешающую процедуру для всей математики. Это то, к чему пришла формально-аксиоматическая традиция в математике.

Программа Гильберта представляет собой четко продуманный план работы по безупречному обоснованию всей математики. На пути ее реализации был усовершенствован язык математической логики, разработанный Булем, Шредером, Фреге, Расселом, Уайтхедом, Гильбертом и его последователями, возникла метаматематика, зародилась математическая теория моделей. Полная реализация программы Гильберта означала бы совпадение математики, стало быть, и Науки, с Логикой. Однако грандиозная программа Гильберта в том финитном виде, в каком она была задумана самим Гильбертом, была обречена на неудачу. Это задолго до теоремы Геделя о неполноте отмечал Пуанкаре, указав на порочный круг: в число финитных средств неизбежно попадает метод математической индукции, который сам подлежит формализации, и, заметим, тесно связан с бесконечностью. Гильберту не удалось доказать не противоречивость арифметики.

В 1931 году К. Гедель (1906-72) доказал что финитной метатеории недостаточно для доказательства не противоречивости арифметики, тем более теории множеств.

Теорема о неполноте. Если математическая теория достаточно богата, что включает в себя арифметику и непротиворечива, то в ней могут быть сформулированы утверждения, которые находятся вне её дедуктики (нельзя доказать, что верна и нельзя доказать, что неверна).

Теорема о непротиворечивости. Если математическая теория достаточно богата, что включает в себя арифметику и непротиворечива, то факт ее непротиворечивости не может быть доказан средствами, формализуемыми в теории.

Маленькой теории не достаточно для доказательства большой теории.

Таким образом, попытку формалистов уклониться от вопроса об интерпретации формальных теорий в рамках обоснования математики следует счесть неудачной.

Семинар Вопрос 5

ЛФТ – книга, написанная в форме афоризмов.
Схема: Понятия в ЛФТ, которые соответствуют друг другу (изоморфизм)

МИР --------------------------------------------------------------------------------------- ЯЗЫК



ФАКТЫ---------------------------------------------------------------------ПРЕДЛОЖЕНИЯ



АТОМАРНЫЕ ФАКТЫ ------------------- ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Описание основных понятий (Ниже цитаты из ЛФТ подчеркнуты, в скобках – номер афоризма)
Мир. Мир обладает атомарной структурой и состоит из фактов.

1. Мир есть все то, что имеет место.

Предметом познания могут быть лишь различные элементы мира, но не мир в своей целостности, который принадлежит уже области мистического (6.44).
Факт. Основной онтологический тезис: Мир есть совокупность фактов, а не вещей. [1.1] Мир определен фактами и тем, что это все факты. [1.11] Потому что совокупность всех фактов определяет как все то, что имеет место, так и все то, что не имеет места. [1.12]

Если могут быть даны все факты, то тем самым определён весь мир, поскольку помимо фактов мир ничем не может быть определён. Определение мира ограничено средствами выражения этого определения.

Любой факт может иметь место или не иметь места, а все остальное останется тем же самым. [1.21]

Факт дан в форме взаимосвязи с другими фактами. То, что имеет место, определяет и то, чего быть не может. Но форма взаимосвязи фактов не имеет отношения к предметному содержанию мира; "мир распадается на факты" [1.2] и только на факты. Если решен вопрос, какие факты входят в совокупность, то определена вся действительность: "Факты в логическом пространстве суть мир" [1.13]
Атомарный факт (Состояние дел).

То, что имеет место, что является фактом, - это существование атомарных фактов. [2] Смысл предложения есть его согласование или несогласование с возможностями существования и несуществования атомарных фактов. [4.2]

Атомарный факт – минимальный факт, образ которого можно создать. "Атомарные факты независимы друг от друга." [2.061].
Предложение. Свойство предложений – их способность к истинности или ложности. Совокупность предложений есть язык. [4.001] Предложение – эквивалент факта (язык состоит из предложений, мир – из фактов).
Элементарное предложение. В первом приближении элементарное предложение – предложение, которое не включает в качестве элементов другие предложения. Но это определение указывает, чем не является элементарное предложения, но оставляет открытым вопрос о том, что оно такое. Основной признак элементарного предложения: "Признаком элементарного предложения является то, что никакое элементарное предложение не может ему противоречить" [4.211]. Понятие 'истина' возникает именно с введением элементарного предложения. В этом смысле элементарные предложения безразличны друг к другу, каждое из них самостоятельно констатирует истину или ложь.

Понятие элементарного предложения представляет собой априорную конструкцию и не связано с каким-либо конкретным примером. А есть красное, и А есть зелёное – здесь «логическое произведение двух предложений является противоречием, а предложения кажутся элементарными предложениями», это значит, что «мы видим, что в данном случае видимость обманывает». Критерий Витгенштейна является чисто логическим и не предполагает никакой ссылки на реальность.

Указание всех истинных элементарных предложений полностью описывает мир. Мир полностью описывается указанием всех элементарных предложений вместе с указанием того, какие из них истинны, а какие ложны. [4.26]

Атомарный факт – онтологический эквивалент элементарного предложения.

Любое элементарное предложение может быть истинным и может быть ложным. С ним соотнесено два различных атомарных факта: один из них делает элементарное предложение истинным, а другой ложным. Атомарный факт, который делает предложение истинным, действительно существует; ложному же предложению соответствует несуществование атомарного факта. Существование атомарных фактов называется положительным фактом, а несуществование - отрицательным. Совокупность всех положительных фактов определяет совокупность всех отрицательных фактов. Вместе положительные и отрицательные факты есть действительность [2.06], которая "в её совокупности есть мир" [2.063].
  1   2   3   4   5   6

Похожие:

Семинар Вопрос 2-3 Три программы обоснования математики iconСтранный вопрос про три периода в развитии математики, Колмогоров выделял четыре
Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал
Семинар Вопрос 2-3 Три программы обоснования математики icon"Три кризиса в развитии математики"
Дипломная работа Большакова А. А. посвящена обзору трех периодов интенсивных поисков путей преодоления накопившихся внутренних противоречий:...
Семинар Вопрос 2-3 Три программы обоснования математики iconСеминар "Основные понятия математики" 1-2 курс Семинар работает по пятницам с 14: 00 Цель этого семинара продемонстрировать участникам, "
Семинар предназначен в основном для студентов первого курса; часть тем (но не все!) будут такие же, как в прошлом году
Семинар Вопрос 2-3 Три программы обоснования математики iconСеминар для учителей математики «Формирование предметных компетенций учителя математики в аспекте подготовки учащихся общеобразовательных учреждений к гиа и егэ»
Региональный научно-методический семинар для учителей математики Формирование предметных компетенций учителя
Семинар Вопрос 2-3 Три программы обоснования математики iconСеминар исследовательской группы по прикладной философии
Мы рассмотрим аналитический сюжет развития «гуманитарной математики» или математики субъектного полюса введение степинской постнеклассической...
Семинар Вопрос 2-3 Три программы обоснования математики iconСеминар в 11 классе по теме «Показательная функция». Для учителя математики Урок проводится в форме игры «счастливый случай» Подготовка к уроку: Вопросы к семинару
Урок семинар в 11 классе по теме «Показательная функция». Для учителя математики
Семинар Вопрос 2-3 Три программы обоснования математики iconПрограмма по дисциплинам профиля «международные отношения»
Структура экзамена. Студент на экзамене отвечает на два билета. Первый билет содержит 1 вопрос из Части 1 Программы (Теоретические...
Семинар Вопрос 2-3 Три программы обоснования математики iconПрактический семинар междисциплинарные исследования в науке и образовании
Конгресс по математике гармонии, где были обсуждены достижения в этом новом направлении математики, намечены пути дальнейшего развития...
Семинар Вопрос 2-3 Три программы обоснования математики iconЛ. Г. Рыбников нис "Теория представлений" Еженедельный научный семинар
Еженедельный научный семинар, посвященный теории представлений и смежным вопросам математической физики, алгебраической геометрии...
Семинар Вопрос 2-3 Три программы обоснования математики iconПрограмма по математике для поступающих в средние специальные учебные заведения содержит три раздела
Программы сгруппировано вокруг стержневых линий школьного курса математики: «Числа и вычисления», «Выражения и их преобразования»,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org