Лекция №12 Топологические векторные пространства



Скачать 172.11 Kb.
страница4/4
Дата08.10.2012
Размер172.11 Kb.
ТипЛекция
1   2   3   4

Определение 11. Топологическое линейное пространство называется локально ограниченным, если в нем существует хотя бы одно непустое открытое ограниченное множество.

Всякое нормированное пространство локально ограничено. Примером пространства, не являющегося локально ограниченным, может служить пространство , указанное в примере 3.

Определение 12. Топологическое линейное пространство называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество.

Утверждение 6. Если топологическое линейное пространство локально выпукло, то для любой точки и любой ее окрестности найдется такая выпуклая ее окрестность , что .

Доказательство. Достаточно проверить справедливость этого утверждения для точки . Пусть – какая-нибудь окрестность нуля. Найдется такая окрестность нуля , что (!). Так как локально выпукло, то найдется непустое открытое выпуклое множество . Пусть ; тогда – выпуклая окрестность нуля, содержащаяся в . Утверждение доказано.

Любое нормированное пространство локально выпукло, так как в нем любое непустое открытое множество содержит некоторый шар. Таким образом, всякое нормированное пространство локально ограничено и локально выпукло.

Счетно-нормированные пространства. Пусть в линейном пространстве заданы две нормы и .
Они называются согласованными, если всякая последовательность из , фундаментальная по каждой из этих норм и сходящаяся к некоторому пределу по одной из них, сходится к тому же пределу и по второй норме.

Определение 13. Счетно-нормированным пространством называется линейное пространство , в котором задана счетная система попарно согласованных норм , .

Всякое счетно-нормированное пространство становится линейным топологическим, если за определяющую систему окрестностей нуля принять совокупность множеств , каждое из которых определяется номером и числом , и состоит из всех тех элементов , которые удовлетворяют условиям ,…,, т.е.

.

Необходимо доказать, что такая система окрестностей нуля действительно определяет в топологию, в которой операции сложения элементов и умножения их на числа непрерывны (докажите это!).

Всякое счетно-нормированное пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, поскольку за счетную определяющую систему окрестностей нуля можно принять подсистему , в которой принимает рациональные значения. Более того, топология в счетно-норми-рованном пространстве может быть задана при помощи некоторой метрики, например

, где . (*)

Задача 1. Покажите, что удовлетворяет всем аксиомам метрики и инвариантна относительно сдвигов, т.е. .

Поскольку имеется метрика, можно говорить о полноте счетно-нормированного пространства в метрике (*).

  1. Последовательность фундаментальна в метрике (*) тогда и только тогда, когда она фундаментальна относительно каждой из норм .

  2. Последовательность сходится в метрике (*) к элементу тогда и только тогда, когда она сходится к по каждой из норм .

Таким образом, полнота счетно-нормированного пространства означает, что в нем всякая последовательность, фундаментальная по каждой из норм , сходится.

Рассмотрим несколько примеров счетно-нормированных пространств.

Пример 4. Пространство всех бесконечно дифференцируемых на отрезке функций счетно-нормированным, если ввести нормы ,



Необходимо доказать, что все эти нормы согласованы между собой и что они определяют в топологию, что была описана в примере 2.

Пример 5. Пусть – линейное пространство, в котором задана счетная система скалярных произведений , , причем предположим, что нормы , отвечающие этим скалярным произведениям, согласованы между собой. Если такое пространство полно, то оно называется счетно-гильбертовым.

Если – счетно-нормированное пространство, то заданные в нем нормы можно считать удовлетворяющими условиям

при ,

так как иначе мы могли бы нормы заменить нормами

, (**)

определяющими в ту же самую топологию, что и исходная система норм. Пополнив пространство по каждой из норм , мы получим систему полных нормированных пространств . При этом из соотношений (**) и согласованности норм следует, что имеются естественные вложения при . Таким образом, каждому счетно-нормированному пространству можно сопоставить убывающую цепочку полных нормированных пространств

, .

Докажите, что полно если и только если .




1   2   3   4

Похожие:

Лекция №12 Топологические векторные пространства iconЛекция №6 Общая топология
Сходящиеся последовательности. На топологические пространства легко переносятся понятия сходимости, непрерывности и т д
Лекция №12 Топологические векторные пространства iconДемонстрационный тест «Топологические пространства»
Закончите предложение: «Любое множество, открытое в промежутке [0;1] пространства R1можно представить в виде: …»
Лекция №12 Топологические векторные пространства iconРасщепляемые топологические пространства
Относительная версия взаимно однозначного непрерывного отображения. Редукция сложных пространств к простым с использованием отображений...
Лекция №12 Топологические векторные пространства iconТемы экзамена дисциплины «Математические основы теории систем»
Понятие пространства. Линейные векторные пространства. Пространство состояний системы
Лекция №12 Топологические векторные пространства iconЕвклидово и унитарное пространства Векторные пространства над полем со скалярным умножением
Эти свойства учитываются и при определении скалярного произведения в произвольном векторном пространстве
Лекция №12 Топологические векторные пространства iconЛекция 1 Скалярные и векторные поля
Скалярные и векторные поля. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Векторное поле. Векторные линии. Производная по направлению....
Лекция №12 Топологические векторные пространства iconПрограмма экзамена для студентов магистратуры (5 курс) по курсу «Многомерные аффинные и евклидовы пространства»
Мерные векторные пространства. Базис. Координаты вектора. Примеры векторных пространств
Лекция №12 Топологические векторные пространства iconВысшего профессионального образования города Москвы
Матрицы и определители. Векторные пространства. Евклидовы пространства. Линейные преобразования и их матрицы. Собственные векторы...
Лекция №12 Топологические векторные пространства iconВысшего профессионального образования города Москвы
Матрицы и определители. Векторные пространства. Евклидовы пространства. Линейные преобразования и их матрицы. Собственные векторы...
Лекция №12 Топологические векторные пространства iconЭкзаменационные вопросы курса «Математический анализ»
Топологические, нормированные и метрические пространства: определения и примеры. Метрики в Rn
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org