Интегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление



страница1/10
Дата26.07.2014
Размер1.49 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Интегральное исчисление и функции многих переменных

Часть 1. Интегральное исчисление


1.1. Первообразная, неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования. Замена переменного и интегрирование по частям.



1.1.1.Определения

Интегрирование – обратная операция к дифференцированию.

Пусть X – связное множество, т.е. множество, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на связном множестве X, если F(x) = f(x).

Примеры:


1) f(x)=0, F(x)=C (Const), X=(-,),

  1. f(x)=a (Const), F(x)=a x+C, X=(-,),

  2. f(x)=cos x, F(x)=+C, X=(-,),

  3. f(x)=1/x, F(x)=ln x+C, X=(0,),

  4. f(x)=1/x, F(x)=ln |x|+C, X=(- , 0).

Замечание. Если F – первообразная для f на связном множестве X, то G =F +C также является первообразной для f, и наоборот, если G , F- первообразные для f, то G =F +C (Следствие из теоремы Лагранжа).

Пример. Функции F = ln |x| и G =ln|x| + sign x имеют общую производную, равную f(x)=1/x на множестве X=(-,0)(0,), в то время, как их разность =sign x и, таким образом, не являются константой на X. Из этого примера слелует, что условие: «X – связное» – существенно. Говоря о первообразной на каком-то множестве, всегда будет предполагаться, что это множество связное.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f на связном множестве X (если они существуют), называется неопределенным интегралом функции f и обозначается



См. слайд «Неопределенный интеграл».


Неопределенный интеграл

Таким образом, если Fпервообразная для f на X, то



=F(x)+C на множестве X.

Замечание. В обозначении неопределенного интеграла буква x несет смысловую нагрузку переменной для функции F(x)+C. Так, если x=(t), то можно написать

F((t))+C =.

Другими словами, интеграл справа понимается, как суперпозиция функций и x=(t).

1.1.2.Свойства неопределенного интеграла

1) , в частности, .

2) =f+C.

3) , с точностью до аддитивной постоянной.

4) , с точностью до аддитивной постоянной.

Все эти свойства проверяются непосредственно по определению. Например, второе свойство. Производная функции равна , поэтому является первообразной для функции . Любая другая первообразная отличается от нее на константу. Таким образом, . В четвертом свойстве необходимо добавить следующее замечание. Равенство следует понимать так. Для любой первообразной из множества функций найдутся первообразные из множеств , такие, что . И наоборот, для любой пары функций из множеств , их сумма будет принадлежать множеству .



1.1.3.Таблица неопределенных интегралов

Из таблицы производных можно получить таблицу интегралов.



1) + С, a  - 1.

2) = ln|x| + С, X={x>0} или X={ x<0 }, но не на X=(-,0)(0,) .

3) + C, a1, =ex+C.

4) = - cos x + C, = sin x + C.

5) , , .

6) = arctg x + C, =arctg + C.

7) =tg x + C, =- ctg x + C.

8) + C.

9) + C.

10) x dx = ch x + C, x dx = sh x + C.

11) = th x + C, = -cth x + C.

1.1.4. Замена переменного

Если F(x)– первообразная для f(x) на X т.е. =F(x)+C , функция x=(t) дифференцируема на T и определена суперпозиция = F((t))+C, тогда функция (t)=f((t))(t) имеет первообразную, равную F((t)). Таким образом,



= (формула замены переменного).

Для доказательства достаточно продифференцировать левую и правую части и убедиться, что получится одна и та же функция.



Примеры:

cos t dt = d sin t = + C =.

J = , сделаем замену x = t6, тогда

J=6=6=6t – 6 arctg t + C =66 arctg +C.

1.1.5.Интегрирование по частям

Если u(x), v(x) – дифференцируемы на отрезке X и существует



dv = (x)v(x)dx, тогда существует и интегралdu и выполняется равенство

du = uv - dv (формула интегрирования по частям).

Доказательство. Пусть dv = F(x)+C. Тогда функция uvF будет первообразной для , что можно проверить дифференцированием: . Можно было продифференцировать левую и правую части и убедится, что получится одна и та же функция.

Пример. Для интеграла x dx выберем функции: v(x) = ln x, u(x) = x, тогда



x dx =x ln x - =x ln x – x + C.

1.2. Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование

Разложение дроби на элементарные. Метод неопределенных коэффициентов.



1.2.1.Предварительные сведения из алгебры многочленов

а) Если a вещественный корень многочлена , то существует единственное представление многочлена в виде



P(x) =,  1, и - многочлен, причем .

Число называется кратностью корня. Другое эквивалентное определение кратности корня дается в терминах производных: – это порядок первой, не равной нулю производной в точке a: P(a)= P(a)=…= P(-1)(a)=0, P()(a)0.

Доказательство этого свойства следует из формулы Тейлора для многочлена . Действительно, пусть . Очевидно, что все производные этого многочлена, начиная с порядка , будут тождественно равны нулю. Поэтому разложение функции по формуле Тейлора в точке будет иметь вид (остаток в форме Лагранжа тождественно равен нулю)

.

Если число является корнем многочлена и - порядок первой отличной от нуля производной , то



==, .

б) Если z = u + i v, v0 комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число= u - i v также является корнем многочлена. Это утверждение следует из свойств операции комплексного сопряжения: , , для действительного числа x справедливо равенство . Поэтому, если z корень многочлена P(x) = a0+…+akxk+…+ anxn , то == ==P().

Тогда существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x2+px+q) ,   1, Q(z)0,

(x - z)(x - )=(x - u - i v)(x - u + i v)=(x-u)2+v2=x2-2ux+u2+v2= x2+px+q.

в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням

,

где Aстарший коэффициент многочлена, a1,a2,…, ar -действительные корни кратностей 1,2,…, r , а z1,z2,…, zs комплексные корни кратностей 1,2,…, s. Связь между комплексными корнями и сомножителями в разложении многочлена следующая x2+pkx+qk=(x - zk)(x - ).



Определение. Рациональная функция ( отношение двух многочленов) ) называется правильной дробью, если порядок многочлена числителя строго меньше порядка многочлена в знаменателе.

Утверждение. Любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена (целая часть) плюс правильная дробь .

, - R(x) – многочлен, дробь - правильная.

R(x)называется целой частью, а дробь P1/Q1остатком. Остаток и целую часть можно получить делением «уголком».

Пример: Выделить целую и дробную часть












































































































































Таким образом,

1.2.2.Разложение дроби на элементарные

Лемма 1. Пусть правильная дробь и a – вещественный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x-a)Q1(x), Q1(a)0,  1. Тогда существует A и многочлен P1(x) такие, что

,

где - правильная дробь.

Доказательство: Рассмотрим разность (где A - некоторое, пока неопределенное число)

.

Дробь справа правильная, так как порядок P(x) и AQ1(x) меньше порядка знаменателя. Положим , тогда для числителя число a будет корнем и =(x-a)P1(x). Если это выражение поделить на Q(x), то получиться требуемое равенство.



Лемма 2. Пусть правильная дробь и z=u+iv (v0) – комплексный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x2+px+q)Q1(x), Q1(z)0, 1. Тогда существуют вещественные числа M, N и многочлен P1(x) с вещественными коэффициентами такие, что

,

где - правильная дробь.

(без доказательства).

Определение. Дроби вида



называются элементарными.

Теорема. Пусть P(x)/Q(x) – правильная дробь, P, Q – многочлены с вещественными коэффициентами, старший коэффициент Q равен 1 и



разложение многочлена по попарно простым корням

a1,a2,…,ar,z1,z2,…,zs, (x - zk)(x - )=x2+pkx+qk

кратностей 1,…,r,1,…,s . Тогда дробь P(x)/Q(x) может быть представлена в виде суммы элементарных дробей. В этом представлении каждому сомножителю будет соответствовать сумма дробей вида , а каждому сомножителю будет соответствовать сумма дробей .

Другими словами существуют вещественные числа , такие, что справедлива формула

=+…+++…+ (1.1)

Доказательство. По лемме 1

.

Таким образом, у второго слагаемого кратность корня a1 в знаменателе понижена на единицу и к применяем лемму 1 еще раз. Повторяя эту процедуру нужное число раз, мы получим последнее слагаемое, знаменатель которого не будет иметь своим корнем a1 .



=+.

Точно также поступаем с остальными действительными корнями знаменателя.



=+…++.

У последнего слагаемого знаменатель имеет только комплексные корни и к нему применяется лемма 2. В результате, появляется последняя серия слагаемых, соответствующих комплексным корням.



1.2.3.Метод неопределенных коэффициентов

Для нахождения коэффициентов разложения (1.1) выписывают это разложение с неопределенными коэффициентами, приводят правую и левую часть к общему знаменателю. В полученном равенстве для числителей приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. В результате получают систему уравнений для определения коэффициентов разложения.



Пример. ,

,

1 = A(x2+4x+4)+B(x2+x -2)+C (x- 1) откуда ,



A=-B, 3A+C=0, 6A-C=1, A=1/9, B=-1/9, C=-1/3.

1.2.4.Вычисление интегралов от элементарных дробей

I. Дроби вида .



для 1 и .

II. Дроби вида .



  1. = 1

, где u=x+p/2, a2=q - p2/4. Далее ln ( u2+a2 )+С.

+C.

  1.  > 1.

Рассмотрим интегралы вида . Интегрируя по частям, получим

==

==.

Откуда получаем рекуррентное соотношение

, , или окончательно

позволяющее вычислять последовательно интегралы Jn , последующий по предыдущему .

Пример. Вычислить интеграл . Далее И окончательно получим .



1.3 Интегрирование некоторых иррациональностей

Интегрирование простейших иррациональностей. Дифференциальные биномы. Интегрирование трансцендентных функций.



1.3.1.Интегралы вида

Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. Дифференциал от рациональной функции равен рациональной функции, умноженной на дифференциал независимого переменного.



Пример. Выражение можно представить в виде , где .

Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены , mобщий знаменатель дробей ,…, (берут наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей).



Пример. Свести интеграл к интегралу от рациональной функции. В этом примере, наименьшее общее кратное m=18 и, следовательно, надо сделать замену , откуда находится . После чего находится . Интеграл такой заменой будет сведен к интегралу от рациональной функции: =.

1.3.2.Интегралы вида . Подстановки Эйлера

a) a > 0,

В этом случае ax2+bx+c=ax2+2 xt+t2, откуда –рациональная функция. Таким образом, подинтегральное выражение примет вид

=R1(t) - рациональная функция от t. Кроме того, dx=, где - также некоторая рациональная функция.

b) Корни x1, x2 квадратного трехчлена ax2+bx+c вещественные, тогда .

Если x1 = x2 , то =|x x1| и иррациональность отсутствует. Если x1x2, то полагают и задача сводится к ранее рассмотренной.

. Наличие модуля приводит лишь к тому, что потребуется рассматривать два случая: и .

В случае вещественных корней x1, x2 можно так же сделать замену .

c) c>0

. Тогда ax2+bx+c= x2t2+2 xt+ с, ax+b= xt2 +2t,

- рациональная функция. После замены получим

=R1(t) - рациональная функция от t, dx=R2(t)dt.

Этими тремя подстановками исчерпываются всевозможные случаи. Действительно, если a<0 и c<0 и действительных корней нет, то выражение ax2+bx+c=< 0 для всех x и область определения выражения пуста.



1.3.3. Интегрирование дифференциальных биномов m, n, pрациональные числа.

Сделаем замену x=, xm(a+bxn)pdx=. Таким образом, задача свелась к интегрированию биномов вида. Интегралы можно вычислить в следующих трех случаях:

а) p – целое (a+bt)p tq=R( t, tq ).

б) q – целое (a+bt)p tq=R( t, (a+bt)p ).

в) p+q – целое (a+bt)p tq=

1.3.4. Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций

a) sin x, cos x ) dx

Универсальная тригонометрическая подстановка , x=2 arctg t,

sin x =, cos x = . Иногда к цели быстрее ведут подстановки t=sin x, t=cos x, .

б) sinmx cosnx dx, m и n – рациональные.

Замена t = sin x ( или t = cos x ), cos x = , dt =dx, тогда



sinmx cosnx dx = . Точно также для областей интегрирования, где .

в) Интегралы видаcos x dx, sin x dx, arccos x dx, ,



arcsin x dx, arctg x dx, arcctg x dx, ln x dx вычисляются методом интегрирования по частям.

1.3.5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

а) Дифференциальные биномы

(a+bxn)pxm, когда не является целой ни одна из трех дробей p, , +p.

б) Интеграл .

в) Интегралы вида , где - многочлен степени 3, 4 в ряде случаев не выражается через элементарные функции (эллиптические интегралы ). В частности, следующие интегралы не являются элементарными функциями

, , 0<k<1;

или ( после замены )



, .
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Интегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление iconПланы семинарских занятий по дисциплине «Математика» (Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменных) 1 курс 2 семестр
Повторение: дифференцирование и интегрирование функции одной переменной. Примеры на усмотрение преподавателя
Интегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление iconТема Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух (нескольких) переменных

Интегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление iconЛ. С. Гордеев Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих

Интегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление icon«Интегральное исчисление функций одной переменной»
Задачи для подготовки к экзамену по теме «Интегральное исчисление функций одной переменной»
Интегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление iconИнтегральное исчисление функции нескольких переменных. § Двойной интеграл
При этом в пространстве R³ получаем объемное цилиндрическое тело, у которого нижним основанием является область D, верхним – часть...
Интегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление iconИнтегральное исчисление. Часть Неопределенный интеграл
В дифференциальном исчислении решалась задача, где по данной функции находилась ее производная или дифференциал
Интегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление iconМодуль Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл 3 Понятие неопределенного интеграла и его свойства
Модуль Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл 3
Интегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление iconЛеонард эйлер (1707—1783)
Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное...
Интегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление iconДифференциальное и интегральное исчисление
Пусть d – некоторое множество точек плоскости хОу. Отображение f, сопоставляющее каждой паре чисел (Х; у)D число z, называется функцией...
Интегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление iconД. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org