Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление



страница1/8
Дата26.07.2014
Размер1.66 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6   7   8

Логинов А.С.

Часть 1. Дифференциальное исчисление

Глава 1. Ведение


Операции над графиками

1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики

В разделе рассматриваются основные понятия теории множеств, определение множества действительных чисел. Приводится необходимая терминология математической логики.



1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения

Множество - совокупность некоторых различимых объектов. Задать множество - задать признаки, характеризующие эти объекты.

Примеры:

N - натуральные числа, Z - целые числа, Q - рациональные числа, R - вещественные числа, [a,b] – отрезок, (a, b) – интервал, (a,b],[a,b) – полуинтервалы.

Элемент принадлежит множеству x E, элемент не принадлежит множеству x E.



Подмножество A  E.

- пустое множество EE.

Обозначение множества перечислением - {a, b, c}.

Обозначение множества указанием характеризующего свойства – { x : x удовлетворет свойству P}.

Пример: N={xZ: x > 0}; [a,b]={x: axb}

Дополнение множества A (или разность двух множеств)

E\A={xE: xA}

1 1.png
Рис. 1.1

Пересечение двух множеств AB ={x: xA и xB}

1 2.png

Рис. 1.2

Если два множества не пересекаются, то это можно записать в виде AB=.



Объединение двух множеств AB ={x: xA или xB}

1 3.png

Рис. 1.3

Основные операции над множествами



Произведение множеств AB ={(x,y): xA и yB}.

Произведение множеств

Пример R2 = R R - плоскость.

1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества

Даны множества A и B. Отображение из A в B (или функция определенная на A со значениями в B) - соответствие или закон (обозначим его f ), которое каждому a A сопоставляет единственное b  B. Обозначения: A B, f: A  B, b=f(a).

a - прообраз, b - образ при отображении f.

Отображение из A в B называется взаимно-однозначным, если

1) разные элементы из A имеют разные образы,

2) каждый элемент из B является образом некоторого элемента из A.

Эквивалентные множества A  B или множества одинаковой мощности, если существует взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств.

Счетное множество A  N.

Пример: Множество рациональных чисел счетно.

Одно из важных свойств счетных множеств:

Объединение конечного или счетного числа счетных множеств является счетным множеством.



Несчетные множества. Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным. Множество [0,1] имеет большую мощность, чем N. Множество эквивалентные по мощности отрезку [0,1] называются множествами мощности континуума. Множество действительных чисел R - несчетное множество, это множество является множеством мощности континуума.

1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)

Примеры:





Квантор

Субъект

Связка

Предикат

1

Все

числа

являются

не рациональными

2

Некоторые

натуральные числа

-

четны

В последнем случае подразумевается связка “являются”. Вместо термина предикат мы будем использовать также термин свойство. Суждения бывают истинными или ложными. Противоположное свойство P или отрицание свойства P обозначается значком или .

В традиционной логике допускаются два типа суждений, каждый из которых характеризует возможные отношения между двумя классами (классом субъектов и классом предикатов):

Все S являются P (каждый из S удовлетворяет свойству P)

Некоторые из S являются P ( существует представитель из S, удовлетворяющий свойству P )

Здесь S обозначает класс субъектов, а P - класс предикатов (или некоторое свойство, характеризующее этот класс ). Все, каждый, любой, произвольный называются универсальным квантором или квантором общности. Квантор общности обозначается значком . Некоторые из, существует - экзистенциальные кванторы. Квантор существования обозначается значком . Таким образом, основные типы суждений можно записать в следующей форме (логической связке соответствует символ двоеточия ):



  1. xS: P (для любого x из S выполнено свойство P).

  2. xS: P (существует x из S, для которого выполнено свойство P).

Предикат и субъект в суждении могут быть составными, в частности они сами могут быть суждениями. Например, рассмотрим высказывание (суждение):

 > 0  > 0 x,|x - x0|< : | f(x) – 2 |< .

Это высказывание следует читать так: Для любого эпсилон больше нуля существует дельта больше нуля, (что) для всех икс, удовлетворяющих неравенству |x - x0|< , выполнено неравенство . Это суждение является составным и может быть разложено на простейшие суждения следующим образом:

S1 : P1, где S1 - класс субъектов, именно: S1={xR,x > 0}, P1 - предикат,



P1=(S2 : P2), где S2=S1, P2 - предикат,

P2=(xS3: P3), S3= S3()={xR:|x - x0|<}, P3 – предикат (свойство) |f(x)-2|<.

Прямая и обратная теоремы, эквивалентность, метод математической индукции

Структура простейшей теоремы выглядит следующем образом: дано свойство A (условие), из него выводится свойство B (заключение).

В этом случае говорят A влечет B (из A следует B) и пишут A B . Последняя запись подразумевает, на самом деле, истинность выражения A B.

Если к тому же B A, то говорят, что верна и обратная теорема и пишут A B, при этом A и B называются эквивалентными.



Теорема. Отрицание суждения должно строиться по следующим формальным правилам:

1. квантор заменяется на квантор .

2. квантор заменяется на квантор .

3. предикат P заменяется на свое отрицание.

Пример:  >0  >0 x,|x - x0|< : |f(x)-2| < .

его отрицание  >0  >0 x,|x - x0|< : |f(x)-2|  .

Доказательство достаточно провести для двух типов простейших суждений:

1. x: P.

2. x: P.

Для таких суждений сформулированная теорема достаточно очевидна. Например, для первого суждения. Если для любого x выплнено P , то отрицанием будет: найдется x для которого P не будет выполнено. Это означает, что . Если эта теорема доказана для простейших суждений 1 и 2, то остается еще раз заметить, что любое суждение можно представить, как составное и последовательно применять доказанное утверждение для простейших суждений, составляющих данное суждение.



Метод математической индукции

Имеется последовательность свойств Pn. Если доказано свойство P1 и для всех k:

Pk Pk+1, то свойства Pn справедливы для всех n N.

1.1.4.Вещественные числа

Рассматривается множество R, со следующими свойствами

1. Свойство упорядоченности

Для любых элементов этого множества a, b выполнено: либо a < b, либо a = b, либо a > b

1.1 a < b, b < ca < c ( свойство транзитивности ).

Определение: ( a < b ) или ( a = b ) , то пишут a b.

2. Свойства операции сложения. Имеется отображение из R2 в R: a,b  a+b.



    1. a + b = b + a (коммутативность).

( в терминах суждений можно было бы написать

a:( b: a + b = b + a) ).

2.2 a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (ассоциативность).

2.3 0 a  R : a + 0 = a.

2.4 a  противоположный - a : a + (-a) = 0.

Определение: ba = b + (-a).

2.5 a < ba + c < b + c , ( c ).

3. Свойства операций умножения (Имеется отображение a,b  ab).

3.1 a b = b a (коммутативность).

3.2 a ( b c ) = ( a b ) c (ассоциативность).

3.3 в множестве существует элемент обозначаемый 1, такой, что

a R : 1 a = a.

3.4 a0 a -1(обратный ): a a -1 = 1.



Определение: .

3.5 a < b и c > 0 a c < b c .



a < b и c < 0 a c > b c .

4. Связь операций

4.1 ( a + b ) c = a c + b c ( дистрибутивность ).

Определение

| a | =

Свойства: | a + b |  | a | + | b |, | | a | - | b | |  | ab |.

5. Свойство Архимеда (постулат Архимеда)






Из двух неравных линий, двух неравных поверхновтей или двух неравных тел большая величина может оказаться меньше той величины, которую мы получим, если повторим меньшую надлежащее чило раз.




Архимед.

a nN: n > a.

Следствие: a>0  b n N: na > b.

6. Свойство непрерывности вещественных чисел или Принцип вложенных отрезков.

Вначале некоторые определения.

Отрезок или сегмент - [a,b]={x:axb}, b - a – длина отрезка.

Система вложенных отрезков. Система отрезков {[aj,bj]} называется системой вложенных отрезков, если k: [ak+1,bk+1][ak,bk] .

Принцип вложенных отрезков. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы один a R, общий для всех отрезков.

Множество элементов, удовлетворяющее свойствам 1 - 6 называется множеством вещественных чисел и обозначается R. Числовая ось - изображение действительных чисел. Для вещественных чисел используется геометрическая терминология «точки».

Определение. Система отрезков стягивается к 0, если

>0 N n>N: bn -an < .



Лемма Кантора. Для всякой системы вложенных стягивающихся к нулю отрезков [ak,bk] существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.

Доказательство. Одно число существует по свойству 6. Предположим, что существуют два таких числа x , y и x < y. Тогда

n: an x < y  bnn: y – x bn - an.

Возьмем  = yx. Для него N, n > N: bn - an < , что противоречит предыдущему неравенству.

Примеры работы с символом суммы .

Пример 1: Докажем сначала равенство для биномиальных коэффициентов

Cnk + Cnk-1=, где , n! =12…n,

Действительно, распишем подробно сумму биномиальных коэффициентов



====.

Доказанное свойство является одним из свойств треугольника Паскаля. В таблице в левом столбце указана степень бинома. По стронам треугольника проставляются единицы, а каждый биномиальный коэффициент внутри треугольника получается сложением двух, стоящих над ним коэффициентов.



n

Биномиальные коэффициенты

0



















1



















1
















1




1
















2













1




2




1













3










1




3




3




1










4







1




4




6




4




1







5




1




5




10




10




5




1




6

1




6




15




20




15




6




1

Треугольник Паскаля

Пример 2: Доказать равенство .



=. В первой сумме сделаем замену индекса суммирования k+1 =m, k=m-1. Когда k меняется в пределах 0,…,n индекс m будет изменяться в пределах от 1 до n+1. В результате этой замены получим: ==. В последнем равенстве суммы и , очевидно, совпадают и, таким образом, в результате получается разность .

Пример 3: Доказать по индукции равенство (бином Ньютона) , где .

Формула верна при n =1. Предположим, что она верна для n , докажем ее для n+1.

==

(замена m=k+1)== ===.

1.2. Комплексные числа
Определение комплексного числа и свойста комплексных чисел.

1.2.1. Определение комплексного числа

Множество комплексных чисел определяется, как множество упорядоченных пар действительных чисел, в котором опрелелены операции сложения и умножения по правилам, описанным ниже. Комплексное число обозначают z = (x, y). Первое число из такой пары называется вещественной частью комплексного числа и обозначаются x = Re z, второе число называется мнимой частью комплексного числа и обозначаются y = Im z.

Два комплексных числа z1 , z2 равны z1 = z2 , если равны их вещественные и мнимые части

z1 = z2  { Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2 }.

Операции сложения и умножения определяются по следующим правилам:

Сложение z1 = (x1,y1), z2 = (x2,y2), z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2).

Сложение комплексных чисел

Умножение .

Множество комплексных чисел обозначается C (комплексная плоскость).

Геометрическая интерпретация. Комплексное число z=(x,y) можно интерпретировать, как радиус вектор в точку плоскости с координатами (x,y). Таким образом, по горизонтальной оси откладывается вещественная часть комплексного числа, а по вертикали откладывается мнимая часть.

1 4.png

Рис. 1.4

1.2.2. Свойства комплексных чисел

Ниже перечисленные свойства проверяются непосредственно, исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.

1) z1 +z2 = z1 + z2 .

2) z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3.

3) обозначим = (0, 0), тогда для любого z будет выполнено z + = z.

4) zC можно определить противоположное комплексное число -z=(-x,-y), которое обладает следующим свойством: .

5) z1 z2 = z2 z1.

6) z1 ( z2 z3) = (z1 z2) z3.

7) определим комплексную единицу: =(1,0) , тогда z: z = z.

8) для zсуществует обратное комплексное число z-1:



Существование обратного числа. Пусть z=(x,y). Будем искать число

z-1=(u,v), удовлетворяющее нужным свойствам: . Решая эту систему, получим

.

Частное двух комплексных чисел определяется по формуле .

9) Свойвство дистибутивности: z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.



1.2.3. Алгебраическая форма записи

Рассмотрим отображение c(x) из R в C: , где xR,C . Множество комплексных чисел (x,0), обозначим С. Отображение c(x) взаимно-однозначно, причем



  1. c(x+y) = c(x)+c(y).

  2. c(xy) = c(x)c(y).

  3. c(0) =

  4. c(1) =

Следствие: c(-x)=-c(x), c(x-1)=c(x)-1 или c(1/x)=1/c(x).

Эти свойства позволяют отождествлять числа с вещественными числами x. В дальнейшем волну будем опускать. Множество чисел (x,0) называется вещественной осью.



Мнимая единица. Введем обозначение i=(0,1). Это комплексное число называется мнимой единицей. Отметим, что

Рассмотрим запись x+iy=(x,0)+(0,1)(y,0)=(x,y)=z , таким образом можно записать z=(x,y)=x+iy. Представление комплексного числа z=(x,y)=x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Множество чисел (0, y)=iy называется мнимой осью.



1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Для z=(x,y), определяется комплексно сопряженное число . На комплексной плоскости сопряженное число расположено по отношению к данному числу симметрично относительно вещественной оси.



Модуль комплексного числа определяется по формуле: . Отметим, что .

1 5.png

Рис. 1.5

Пример. Для представления комплексного числа в алгебраической форме домножим числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя: . В результате получим:



Определение аргумента комплексного числа.



Главным значением аргумента комплексного числа называется угол между положительным направлением вещественной оси и радиус вектором комплексного числа, лежащий в диапазоне [0,2). Главное значение аргумента обозначается arg z . Аргумент комплексного числа Arg. Например, для первой четверти комплексной плоскости arg z = arctg y/x .

Тригонометрическая форма представления комплексного числа:

z = x + iy = r( cos + i sin  ), (1)

где =Arg z, .



1 6.png

Рис. 1.6

Формулы Эйлера.
Введем обозначения

ei = cos  + i sin , откуда следует, что

cos  = , sin  = .



Замечание. Определение комплексного числа ez в общем случае z=x+iy производится по формуле .

Свойства символа ei. Непосредственно из определения следует



ei(+) = ei ei,  (ei)n=ein .

Проверка: =



+.

С другой стороны тоже самое получится, если перемножить :



=+

+.

Используя обозначение ei комплексное число можно представить в виде

z = rei (2)

Выражения (1) и (2) - тригонометрические формы записи комплексного числа.



1.2.5. Формула Муавра

Была найдена А.Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.



zn=rnein=rn( cos n + i sin n). (3)

Формула (3) доказывается индукцией по n.

Умножение комплексных чисел

При она, очевидно, верна. Предположим, что она верна для некоторого n, докажем ее для n+1. Имеем:



, ч.т.д.

Для заданного найдем , удовлетворяющее уравнению . Другими словами, найдем корень n-ой степени из комплексного числа. Имеем rnein=ei n=+2k, kZ, r= откуда получаем формулы



,

которые используются для вычисления корня n-ой степени из комплексного числа . Процесс нахождения корня n – ой степени из комплексного числа z можно описать следующим образом. Если это число не равно 0, то таких корней будет ровно n. Все они будут являться вершинами правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса . Одна из вершин этого многоугольника имеет аргумент, равный .

Пример. Вычислить . В этом случае , поэтому принимает три значения:

.

1 7.png

Рис. 1.7

Замечание: Знаки сравнения меньше, больше (<, >) не определены в C.

1.3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел

Ограниченность и грани множества.

1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани

Ограниченное сверху множество E: b xE : x b.

b - верхняя грань множества: xE:x b.

Ограниченное снизу множество:a xE : x a.

a - нижняя грань множества:xE : x a.

Точная верхняя грань множества: b = sup E – это число, удовлетворяющее двум свойствам:

1) (b - верхняя грань) xE : xb.

2) ( нет меньшей) >0  xE: x > b-.

Аналогично определяется точная нижняя грань a = inf E. Ограниченное множество E: b xE: .



Замечание: Если b = sup E, то -b = inf E , где E- зеркальное к E множество, E={xR:(-x)E}.

1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества

Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.

Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и aE. Обозначим через [a1,b1] отрезок , если в нем есть точки из E. В противном случае через [a1,b1] обозначим отрезок

1 8.png

Рис. 1.8

Отметим свойства этого построенного отрезка:

1) xE: x b1.

2) E[a1,b1]   .

Эту процедуру повторим для [a1,b1], и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков [ak,bk], удовлетворяющих свойствам:

1)xE: x  bk .

2) E[ak,bk]   .

Доказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [ak,bk] с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой . Через [ak+1,bk+1] обозначим тот из отрезков , который имеет непустое пересечение с E. Если оба содержат



1 9.png

Рис. 1.9

точки из E, то [ak+1,bk+1] пусть будет правый отрезок . Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2). Длины этих отрезков bk - ak=(b - a)/2k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:



  1. xE: xc.

Предположим противное: xE:x>c, возьмем , для него существует тогда , откуда следует bn < x, что противоречит условию x[an,bn].

1 10.png

Рис. 1.10

2)    xE: x c - .

Для любого  существует n: bn - an < . Выберем какое либо x[an,bn] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того

c-xbn - an <  . Таким образом, найдено требуемое x.

1 11.png

Рис. 1.11

Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань.



Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.

Доказательство: Пусть имеются две точных грани b2 , b1, b1<b2. Возьмет  = b2 - b1 > 0. По определению точной верхней грани (для b2) xE: x > b2 - = b1, что противоречит тому, что b1 верхняя грань.

1 12.png

Рис. 1.12

Замечание. Аналогично доказывается, что точная нижняя грань единственна.

Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +, аналогично, если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -.
  1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛеонард эйлер (1707—1783)
Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconИштирякова д. К
Математика. Часть Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное пособие /...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconУважаемый студент! Вы изучили разделы математики: линейная алгебра, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и теория вероятностей
...
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛ. С. Гордеев Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconТема Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух (нескольких) переменных

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconЛитература по дисциплине «Математический анализ»
Бугров Я. С., Никольский С. М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Высшая школа, 1993
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconД. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconУчебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика»
В математику. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление iconТема Дифференциальное исчисление функции одного аргумента. Применение производной к исследованию функции

Логинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление icon§ Определение производной. Дифференцирование функций
Цель предлагаемой работы ЎЄ помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org