Вісник донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2005, ви



Скачать 424.55 Kb.
Дата26.07.2014
Размер424.55 Kb.
ТипДокументы

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2005, вип. 1


  • ФІЗИКА


УДК 511: 531/534:530:512.942

ГЕНЕРАЦИЯ АЛГЕБР ПРОСТРАНСТВ ЕВКЛИДА
И СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ


С.В. Терехов

Донецкий национальный технический университет
Построение теории электронов привело Лоренца [1] к необходимости введения нового, отличного от галилеевского, преобразования инерциальных систем координат. Физические эффекты, возникающие при таком изменении исходной системы отсчета, были исследованы Эйнштейном [2] в специальной теории относительности (СТО). Для объяснения геометрического смысла основных понятий СТО Минковским была введена комплексная плоскость с мнимой временной осью (псевдоевклидова плоскость, см., например, [3]). Дальнейшие исследования в этой области [4] привели к формированию понятия системы отсчета как метрической карты, в каждой точке которой присутствуют пробные тела для измерения времени и расстояний с передачей информации наблюдателю, расположенному в выбранной точке метрической карты. Поиск преобразований, относительно которых физические законы остаются неизменными (инвариантными), позволяет выявить глобальные свойства пространственно-временного континуума. В связи с этим является весьма важным вопрос об алгоритме нахождения таких преобразований координат.

Современная теория линейных преобразований [3] базируется на определенных требованиях, предъявляемых к матрице преобразования. Если квадратная матрица размерности переводит матрицу размерности в матрицу размерности , то говорят, что матрица определяет преобразование: . Если определитель матрицы преобразования , то преобразование называется ортогональным, при этом в случае, когда , преобразование называется собственным. Собственные преобразования соответствуют собственным движениям в исследуемом многообразии. Отличие определителя преобразования от нуля указывает на невырожденность матрицы преобразования и возможность обратного преобразования: . Обратимость матрицы преобразования определяется уравнением , где – единичная матрица. Матрица задает изометрическое преобразование, если , где определяет транспонированную матрицу к матрице , а квадратная матрица задает метрику исследуемого множества матриц. Выражения вида , не изменяющиеся при выбранном преобразовании координат, называют инвариантами.

Такой подход к нахождению физически значимых преобразований обладает рядом недостатков:

– на линейное преобразование накладывается большое число ограничений, которые в последовательной теории должны возникать естественным образом;

– игнорируется алгебраический аспект данной проблемы;

– не учитывается тот факт, что псевдоевклидова плоскость Минковского содержит мнимое время: изменяется геометрия и алгебра, которой подчиняются элементы многообразия на этой плоскости;

– не учитывается размерность многообразия, которая может влиять на выбор поля чисел, используемого для адекватного описания структуры и свойств пространства.

Целью данной работы является демонстрация нового подхода к поиску линейных преобразований, описывающих физические движения, на основе построения векторного и матричного исчисления на комплексной плоскости с использованием алгебры Клиффорда [5], а также решение проблемы перехода от евклидовой плоскости к плоскости Минковского при увеличении скорости поступательного движения до скорости света.

Выбор базисных элементов и определение действий с ними порождает алгебру и геометрию исследуемого многообразия. Согласно теореме Фробениуса (см., например, [6]) охватывающей алгеброй для поля действительных чисел является алгебра комплексных чисел. Рассмотрим комплексную плоскость. Выберем в качестве базисных элементов и ( – мнимая единица), причем их произведение коммутативно, т.е. . Для построения векторного пространства над комплексной плоскостью воспользуемся алгеброй Клиффорда, в которой для произведения элементов справедливо соотношение:

, (1)

где антикоммутатор определяется произведением, которое симметрично относительно перестановки индексов и . Таким образом, величины образуют симметричный тензор второго ранга, который определяет метрику исследуемого многообразия. Коммутатор



является произведением, которое антисимметрично относительно перестановки индексов и . Следовательно, величины являются компонентами антисимметричного псевдотензора (экстенсива) третьего ранга, который определяет ориентацию базиса (ориентатор). Если пространство однородно и изотропно, то в любой его точке можно выбрать ортогональную (в широком смысле этого слова) систему координат, которая характеризуется следующими равенствами:

, где - символ Кронекера («+» соответствует векторам, а «–» – кватернионам [6]);

.

Таким образом, алгебра Клиффорда позволяет рассматривать пространства, для которых собственными движениями являются поступательное и вращательное движения.

Для комплексной плоскости метрическая матрица имеет вид , а ориентатор равен нулю. Используя свойства матриц, выделим вещественную и мнимую части этой матрицы:



. (2)

Из формулы (2) видно, что вещественная часть этой матрицы совпадает с метрической матрицей плоскости Минковского , т.е. . Это означает, что метрика комплексной плоскости эквивалентна метрике плоскости Минковского.

Для вещественного вектора на евклидовой плоскости метрическим инвариантом является его длина, т.е. скаляр (модуль вектора). На плоскости Минковского инвариантом будет величина (интервал между событиями или норма вектора). На комплексной плоскости метрическим инвариантом является величина . Таким образом, сохраняющимися величинами являются скалярные формы (норма вектора) и (будем называть нормативом). На евклидовой плоскости норма, модуль и норматив вещественного вектора будут связаны соотношением . Переход в полярную систему координат, приводит к равенству или . Из этого равенства следует, что норма вектора, лежащего на биссектрисах координатной плоскости, равна нулю (изотропные вектора [3]).

Переход от евклидовой плоскости к комплексной плоскости соответствует преобразованию вещественного вектора согласно формуле



. (3)

Из этой формулы видно, что в качестве базисных векторов могут быть выбраны псевдовектора и . Тогда проекцией вещественного вектора на ось будет комплексное число , а на ось – комплексно-сопряженное число . Докажем эти положения с использованием алгебры Клиффорда.

Вычислим возможные произведения базисных элементов и комплексной плоскости, которые генерируют появление структур размерностью или (базисный элемент является числом, а всего в базисе два элемента): , . Вектор , следовательно, для нахождения второго вектора базиса произведем обмен местами базисных элементов, тогда , . Таким образом, в качестве второго базисного вектора можно выбрать комплексно-сопряженный вектор . Этот базис будем называть исходным. Эрмитово-сопряженный вектор к комплексному вектору имеет вид . Базис, который состоит из эрмитово-сопряженных базисных векторов и , будем называть сопряженным. Модуль вектора на комплексной плоскости равен , а норма – (изотропные вектора). Так как норма вектора равна нулю, то вектора и перпендикулярны, т.е. образуют декартов базис. Для того чтобы получить орты, умножим вектора и (или эрмитово-сопряженные к ним вектора) на коэффициент , т.е. в качестве базисных векторов выберем вектора и . Таким образом, внешнее произведение базисных элементов порождает новую алгебру – векторную алгебру псевдовекторов. Вычислим скалярные произведения базисных псевдовекторов:

Табл. 1. Скалярные произведения базисных псевдовекторов.





10

01

Разложение вещественного вектора по базису имеет вид



, (4)

где проекции определяются комплексными числами и . Скалярные произведения векторов сопряженного базиса и на вещественный вектор равны и . Это означает, что разложение (4) имеет вид формулы (3). Если разделить обе части равенства (4) на длину вектора , то получим вид разложения любого вещественного вектора с единичной длиной



. (5)

В исходном базисе формула (5) принимает вид



. (6)

Разложение произвольного псевдовектора по псевдовекторам исходного базиса имеет вид



, (7)

где проекции определяются скалярными произведениями псевдовекторов сопряженного базиса на псевдовектор :



и . (8)

Из формулы (8) видно, что проекции псевдовектора на базисные направления вещественны. Проведем нормировку псевдовектора (8):



. (9)

Из (9) видно, что прямые линии являются особыми на евклидовой плоскости, так как на них лежат изотропные вектора, норма которых равна нулю.

Внешние произведения базисных векторов определяют базисные матрицы размерностью вида

, , (10)

, . (11)

Матрица является эрмитовой матрицей, так как выполняется равенство . Матрица связана с метрической матрицей равенством . Матрицы и представим в виде



; , (12)

где вещественные матрицы ( ) имеют вид:



; ; ; .

Эти матрицы обладают следующими свойствами:



; ;

; ; ( ); (13)

; ; .

Из формул (13) видно, что матрицы ( ) образуют новую алгебру с некоммутативным умножением матриц ( ), которая изоморфна алгебре кватернионов, так как введение матриц



; ; ;

дает для матриц ( ) соотношения:



; ; ( );

; ; .

Таким образом, предлагаемый подход позволяет не только построить преобразования вещественных векторов и псевдовекторов на соответствующих плоскостях, но и сгенерировать новую алгебру элементов многообразия с большей размерностью. Отсюда следующий нетривиальный вывод: изменение размерности многообразия влечет за собой изменение алгебры базисных элементов, формирующих основные свойства нового пространства.

Кроме того, матрица определяет метрику евклидовой плоскости, а матрица – метрику псевдоевклидовой плоскости. В связи с этим вычислим метрические инварианты вещественного вектора с матрицами ( ). Метрические инварианты равны: – длина (модуль) вектора; ; – норма (или интервал между событиями) и – норматив вектора.

Якобиан перехода от вещественных переменных и к комплексным величинам и имеет вид . Матрица, определяемая равенством , осуществляет переход от вещественных векторов к псевдовекторам. Матрица генерирует переход от вещественных векторов к сопряженным псевдовекторам. Отметим, что матрицы , , , называют матрицами Паули. Внешние произведения матриц ( ) порождают алгебру октав (см., например, [6]).

Действие матриц (10) и (11) на базисные вектора определяется равенствами

, , , ; (14)

, , , . (15)

Следовательно, для вектора матрицы и являются матрицами уничтожения, матрица – матрицей трансформации, а матрица – матрицей тождественности. Для вектора матрицами уничтожения, трансформации и тождественности являются соответствующие комплексно-сопряженные матрицы. Из формул (14) и (15) видно, что базисные матрицы и изменяют ориентацию исходного базиса векторов и , а базисные матрицы и оставляют ориентацию этого базиса неизменной. Если при преобразовании ориентация базиса не меняется, то базисные вектора являются собственными векторами такого преобразования, поэтому такие преобразования называются собственными. Следовательно, матрицы и определяют метрику плоскости и ее собственные движения, соответственно. Таким образом, внешние произведения базисных элементов генерируют метрику своего пространства и определяют допустимые движения в этом пространстве.

Вычислим внутренние произведения базисных матриц:
Табл. 2. Внутренние произведения базисных матриц




0 0

0 0

0 0

0 0

Из табл. 2 видно, что она имеет блочный вид: компонентами этой таблицы являются матрицы размерностью . Используя данные табл. 2, найдем отличные

от нуля комбинации базисных матриц:

,

, (16)

,

.

Формулы (4)-(16) показывают, что выбор базисных элементов позволяет с помощью определения внеш­него произведения сгенерировать все основные матрицы, определяющие метрику и матрицы преобразования. Поэтому базисные элементы и порождаемые ими структуры будем называть генераторами.

Любую вещественную матрица размерности можно представить в виде линейной комбинации базисных матриц , , и :

, (17)

где комплексные числа равны следующим внутренним произведениям



, , , . (18)

Если матрица преобразования не изменяет ориентации базисных векторов, то коэффициенты . Отсюда следует, что



и . (19)

Используя показательную форму записи комплексных коэффициентов и ( ), нормируя матрицу на величину , получим вид изометрической (это легко показать с учетом того факта, что , и данных, приведенных в табл. 2), собственной, ортогональной матрицы



, (20)

которая описывает поворот одной системы координат относительно другой во-

круг общего начала координат на евклидовой плоскости.

Аналогичные рассуждения для базисных элементов и ( ), которые определяют множество двойных чисел, генерируют изометрическую, собственную, ортогональную матрицу, которая имеет вид



(21)

и определяет преобразование Лоренца на евклидовой плоскости.

Рассмотрим преобразование координат на комплексном многообразии, сво-дящееся к преобразованию псевдовектора . Преобразование псевдовекторов имеет вид , при этом является также, как и , псевдовектором. Пусть изометрическое, обратимое, собственное движение плоскости Минковского задается ортогональной матрицей ( , , и – комплексные числа). Вид матрицы преобразования, удовлетворяющий физическим требованиям, найдем путем разложения матрицы преобразования по базисным матрицам. В силу собственности движения матрица преобразования не должна изменять ориентации базиса, следовательно, коэффициенты , т.е. и . Из равенств и , определяющих ортогональность матрицы преобразования ( и , и – вещественные числа ( ; )), получим систему уравнений

. (22)

Рассмотрим возможные решения системы уравнений (22):

, , , ( и – вещественные числа). Матрица преобразования имеет вид

, (23)

причем . Если и , то матрица определяет тождественное преобразование. При значениях параметров и матрица определяет зеркальное отражение координатных осей или поворот системы координат на угол . В случае, когда и матрица соответствует преобразованию Лоренца. Матрица определяет однопараметрическую группу преобразований псевдоевклидовой плоскости.

, , , ( и – вещественные числа). Матрица преобразования имеет вид

, (24)

причем . Матрица осуществляет преобразование псевдо-

вектора вида в псевдовектор , т.е. не определяет физического движения.

, , , . Матрица преобразования имеет вид



, (25)

причем . Данная матрица является матрицей преобразования вещественных векторов и описывает поворот в евклидовой плоскости. Матрица (25) определяет однопараметрическую группу преобразований евклидовой плоскости.

– из второго равенства (22) находим: и в силу вещественности коэффициент , где , при этом все параметры отличны от нуля. Дискриминант для всех допустимых значений вещественных параметров и (параметры и ). Матрица преобразования имеет вид

(26)

и определяет двухпараметрическую группу преобразований, которая содержит случаи (23) и (25). Таким образом, без учета изометричности матрицы преобразования существует двухпараметрическая группа преобразований, которая содержит в себе подгруппы преобразований вещественных векторов и псевдовекторов. Изометричность матрицы преобразования на псевдоевклидовой плоскости приводит к единственно возможной матрице преобразования (23).

Преобразование Лоренца и наблюдаемые физические эффекты показывают, что при возрастании скорости движения до скорости света изменяется геометрия пространства: геометрия Евклида переходит в геометрию псевдоевклидовой плоскости. Группа вращений на угол в евклидовой плоскости определяется матрицей преобразования вида (25), причем . Одно из решений этого равенства можно записать в виде и , т.е. свести к евклидовому тригонометрическому тождеству. Для псевдоевклидовой плоскости матрица преобразования имеет вид (23), причем . Выбирая параметры преобразования и , приводим равенство к гиперболическому тождеству. Эти решения определяют однопараметрические (параметр ) группы преобразований евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей.

Полученные решения не являются единственными. Введем в рассмотрение функции Якоби [7-10]:

– эллиптический косинус ,

– эллиптический синус ,

– изменение амплитуды ,

где эта-функция и тета-функция – целые функции, не имеющие общих нулей и удовлетворяющие равенствам:



; ;

; ;

вещественные числа и ( ) определяют основные периоды ( и ) введенных функций. Параметры и выражаются через первичные тета-функциями и , которые определяются рядами:



;

;

;

,

где положено , , – комплексный параметр, у которого . Из определений этих функций видно, что является нечетной функцией, а остальные тета-функции – четными функциями. Рассмотрим возможные преобразования в случае эллиптического поля скоростей:

1). В силу того, что функции Якоби удовлетворяют уравнениям:

и , (27)

то для ортогональной матрицы преобразования вещественных векторов на евклидовой плоскости можно положить



и (или и ). (28)

Тогда двухпараметрическая (параметры и ) группа преобразований евклидовой плоскости будет описываться системами уравнений:



(29)

или


. (30)

Если параметр , то , и . Тогда система уравнений (29) описывает поворот в евклидовой плоскости, а система уравнений (30) соответствует тождественному преобразованию системы координат. При значении параметра функции Якоби равны



; ; , (31)

системы уравнений (29) и (30) совпадают и принимают вид



. (32)

Таким образом, при граничных значениях параметра и системы уравнений (29), (30) и (32) описывают ортогональные преобразования вещественных векторов, которые сохраняют длину вектора .

2). При мнимых значениях аргумента функции Якоби связаны соотношениями:

; ; . (33)

В случае поворота в псевдоевклидовой плоскости получаем при значениях параметра



, ; , (34)

и



; ; . (35)

Для соотношений (34) ( ) система уравнений (29), описывающая преобразование псевдовекторов, имеет вид



. (36)

Умножая второе уравнение системы (36) на мнимую единицу и производя замену , получим преобразование Лоренца. Система уравнений (30) в этом случае определяет тождественное преобразование системы координат. Метрическим инвариантом является интервал между событиями. При значении параметра системы (29) и (30) совпадают и принимают вид



. (37)

Умножая второе уравнение системы (37) на мнимую единицу и производя замену , получим преобразование, которое оставляет неизменным интервал между событиями. Однако в отличие от системы уравнений (29) полученная система уравнений теряет смысл при углах , , т.е. на координатных осях.

3). Если значения параметра , то преобразование псевдовекторов описывается системой уравнений (см. систему уравнений (29) с учетом (33))

или . (38)

Пусть начало координат системы отсчета движется относительно системы от-

счета , тогда . Следовательно, , а . Подставив найденные выражения в систему (38), получим преобразование Лоренца справедливое для всех значений параметра .

4). Система уравнений (30) для произвольных значений параметра с учетом формул (33) принимает вид



. (39)

Следовательно, второе ортогональное, изометрическое преобразование псевдовекторов задается системой уравнений



. (40)

Из полученных формул следует, что при значении параметра ( ) система уравнений (40) определяет тождественное преобразование, а при значении параметра ( ) система уравнений (40) дает преобразование Лоренца.

Использование двухпараметрической группы вращений на угол с модулем (системы уравнений (29) и (30)) позволяет не только объединить преобразования в евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях, но и продемонстрировать наличие других ортогональных и изометрических преобразований. Отметим, что при изменении параметра от нуля до единицы происходит переход от круговых тригонометрических функций к гиперболическим функциям. С физической точки зрения функции Якоби на псевдоевклидовой плоскости равны

; ; .

На евклидовой плоскости системы уравнений (29) и (30) с учетом равенств (40) при скоростях определяют преобразование Галилея. На псевдоевклидовой плоскости система уравнений (29) определяет преобразование Лоренца, которое является частным случаем общего преобразования координат (40). Таким образом, для эллиптического поля скоростей существует два ортогональных преобразования, относительно которых интервал остается инвариантом.


ВЫВОДЫ

쭤緘增橓牆 妬增ü м奄鳥特仲迹 茵疾擾û 惟逸音揄狀é 町前惟增è, 秧ÿ 惟桎尊é 典猥粧城典 調橓í 腸誼, 全釣鴨奄 靭疾凹ó 町前惟增è 經檣荻仲謫î. 쭘抑孼猥 禎震ÿ 狀鏃城外à è 渟釣軸ä â 禎存策 茁增諺ó 惟典怏壯ò 禎譽鏑ÿ奄 埰診狀淳潗 竣ÿ梧 靭輦ó 調葺桎ÿ杖諺 壯 億幽巍荻迹 町前惟增è (秧妖迹 橓緘增橓牆謫î 橓攸典à) è 妖鎭躁贍佃 靭輦ó 櫛岫震ÿ麟 (狀鏃迹 桎莘 蓮 橓攸典à). 淃魏裔狀, 破î 壯 訟葺焉疾尿性 惟典怏壯帙紅 昌依â 調楫鏑說筬秩ÿ 了剪尊碇酷 橓攸典à. 쯩予杖å 穽迪譽抑孼 蓀預卽紅 凞諺孼桎â 惟逸音揄狀é 町前惟增è 愼張鳥宗 增宗攸債û, 全尿顥筬陷å 靭疾凹ó è 穽蘖鎖暹荻陝 橓攸典荻 è 精億哀橓攸典荻. 쯩予張å 穽迪譽抑孼猥 調午迪靭牆紅 蓀預卽紅 精億哀橓攸典荻 (茵疾擾à ) 全釣鴨奄 靭疾凹ó 惟逸音揄狀é 町前惟增è, à 純予張å 穽迪譽抑孼猥 賊狀夭孼裝õ 蓀預卽紅 精億哀橓攸典荻 (茵疾擾à ) – 穽蘖鎖暹荻陝猥 橓緘增橓牆謫î 橓攸典à 堯è 精億哀橓攸典à. Для базисного вектора матрицы и являются матрицами уничтожения, матрица – матрицей трансформации вектора в вектор , а матрица – матрицей тождественности. Для вектора матрицами уничтожения, трансформации и тождественности являются соответствующие комплексно-сопряженные матрицы. Любая матрица размерности может быть представлена в виде линейной комбинации базисных матриц , , и . Собственное преобразование псевдовекторов определяется линейной комбинацией матриц и , которые не изменяют ориентацию псевдовекторного базиса. Выделены вещественные матрицы ( ), которые подчиняются некоммутативной алгебре и связаны с матрицами Паули определенными соотношениями. 잿贍謫料狀å 禎增尊孼猥 壯ä 禎音ì 壓迹裝õ 婆遵ë 穽外賊嶢 ê 穽蘖鎖暹荻陝療 巾釣莊à. 퇸泣 張 綵嶢顥城ü 竣迹增脣 了佃奄鳥杷前震 惟逸音揄狀é 茵疾擾û 穽蘖鎖暹荻陝, 桎 陝贍了 憙迹 茵疾擾û 禎譽鏑ÿ奄 禎懿婆潗 茵疾擾û 穽蘖鎖暹荻陝 橓緘增橓牆紅 橓攸典荻 壯 億幽巍荻迹 町前惟增è è 精億哀橓攸典荻 壯 町前惟增è 經檣荻仲謫î. 흔佃奄鳥杷前潗 茵疾擾û 穽蘖鎖暹荻陝 壯 精億哀億幽巍荻迹 町前惟增è 穽外賊嶢 ê 抑妖增橓牆î 脣傲跡狀é 茵疾擾å 穽蘖鎖暹荻陝 матрице Лоренца. Использование эллиптических функций Якоби позволяет продемонстрировать связь между преобразованиями на евклидовой плоскости и плоскости Минковского, а также указать другие двухпараметрические преобразования, относительно которых сохраняется расстояние между точками евклидовой плоскости или интервал между событиями на плоскости Минковского.



РЕЗЮМЕ

За допомогою алгебри Кліффорда та поняття зовнішнього добутку базових елементів продемонстрована схема знаходження нових лінійних перетворювань системи координат, які залишають незмінним інтервал між подіями. Зовнішні матриці визначають метрику та власні рухи в досліджуемому просторі. Для ізометричних перетворювань є єдина матриця Лоренца, яка дає єдиний інваріант – інтервал між подіями. Перехід між площинами Евкліда та Мінковського може бути виконаний за допомогою функцій Якобі, які дозволяють побудувати двухпараметричну групу перетворювань та вказати нові перетворювання дійсних векторів, при яких незмінним залишається інтервал між подіями.



SUMMARY

A new model of searching linear transformations of system of coordinates is given in this article. The use of Clifford’s algebra and exterior products of basic elements allows not only to build transformations in Euclid’s and Minkovsky’s planes in the natural way, but to generate algebra for space of higher dimension. Exterior matrices determine metrication and the own movements of the elements in the space formed by basic elements. The use of Yacoby’s functions permits to form the transmission from Euclid’s group of transformations to Lowrents’ group and to demonstrate the set of new linear transformations of system of coordinates.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Лорентц Г.А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения. – М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1956. – 472 с.

  2. Эйнштейн А. Собрание научных трудов, Т.1. Работы по теории относительности 1905-1920. – М.: Наука, 1965. – 700 с.

  3. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.: Наука, 1974. – 544 с.

  4. Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. – М.: Энергоиздат, 1982. – 256 с.

  5. Казанова Г. Векторная алгебра. – М.: Мир, 1979. – 119с.

  6. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Наука, 1973. – 144 с.

  7. Справочник по специальным функциям. / Под ред. М.Абрамовица и И.Стигана. – М.: Наука, 1979. – 830 с.

  8. Маркушевич А.И. Замечательные синусы. – М.: Наука, 1974. – 96 с.

  9. Маркушевич А.И. Введение в классическую теорию абелевых функций. – М.: Наука, 1979. – 239 с.

  10. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. – Т.III. – М.: Наука, 1967. – 760 с.


Надійшла до редакції 14.10.2004 р.

©Терехов С.В.



Похожие:

Вісник донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2005, ви iconИсследование операции "мягкого обжатия" на модельных образцах/ Вісник Національного технічного університету України "
Смирнов Е. Н., Мазур И. П., Черкашина Т. И. Исследование операции "мягкого обжатия" на модельных образцах/ Вісник Національного технічного...
Вісник донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2005, ви iconКочарян А. С., Терещенко Н. Н
Кочарян А. С., Терещенко Н. Н. Психосемантическая структура женской телесной идентичности: полоролевой подход // Вісник Харківського...
Вісник донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2005, ви iconСтановление третьего состояния материи в контексте глобализации
Базалук О. А. "Становление третьего состояния материи в контексте глобализации" – Вісник Дніпропетровського університету (історія...
Вісник донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2005, ви iconПерша основна гранична задача для дробово-диференціального рівняння Лапласа / Брацихіна Л. І., Мукомел Т. В., Фильштинський Л. А. // Вісник Харк нац ун-ту, – 20ХХ. – № ХХХ. Сер. «Математичне моделювання
Лапласа / Брацихіна Л. І., Мукомел Т. В., Фильштинський Л. А. // Вісник Харк нац ун-ту, – 20ХХ. – № ХХХ. Сер. «Математичне моделювання....
Вісник донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2005, ви iconВісник Харківського національного університету №987, 2011
Этим методом получена параллельная модификация компактной схемы метода Гаусса решения линейных систем, ориентированная на современную...
Вісник донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2005, ви iconЭволюция пространства-времени
Базалук О. А. "Эволюция пространства-времени". / Вісник Дніпропетровського університету (Соціологія. Філософія. Політологія) – Дніпропетровськ,...
Вісник донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2005, ви iconНаукові записки Луганського національного університету. Серія «Філологічні науки». Науковий простір дискурсології: ретроспективно-проспективний вимір : зб наук праць. — №1 (33). — Луганськ : Вид-во дз «лну імені Тараса Шевченка», 2011

Вісник донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2005, ви iconНаукові записки Луганського національного університету. Серія «Філологічні науки». Науковий простір дискурсології: ретроспективно-проспективний вимір : зб наук праць. — №2 (34). — Луганськ : Вид-во дз «лну імені Тараса Шевченка», 2011

Вісник донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2005, ви iconСоциальные и гуманитарные науки за рубежом. 2004. Сер. 11. Социология. № С. 115-154; № С. 140-178
Источник: Социальные и гуманитарные науки за рубежом. 2004. Сер. 11. Социология. № С. 115-154; № С. 140-178
Вісник донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2005, ви iconСтран азии и африки в средние века
Политическая история халифата Аббасидов сер. XVIII- сер. Х вв. Восстание зинджей. Движение исмаилитов
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org