Использование рядов фарея в решении задач



Скачать 29.82 Kb.
Дата26.07.2014
Размер29.82 Kb.
ТипДокументы
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ФАРЕЯ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Апеев Д.В.



7Б класс, СОШ им. Б.Момышулы, п. Топар Абайского района

рук. Шавкун Т.С.
На практике встречаются упражнения по упрощению (вычислению) дробей, требующих много времени, если их выполнять, используя обычные, стандартные приемы. Например, вычислить:

Поиск информации по данной теме привел меня к рядам Фарея. Джон Фарей был геологом по образованию, его единственным вкладом в математику были дроби, названные его именем. В 1816 году была опубликована статья Фарея «Об интересном свойстве обыкновенных дробей», в которой Фарей определил последовательность Fn и описал то самое «интересное свойство» итеративного построения последовательностей. Что представляют ряды Фарея, какими свойствами обладают, как их получить и использовать в решении - цель моего проекта.

Если выписать все правильные несократимые дроби, у которых знаменатель не больше 7, то получим:

, если эти дроби расположим в порядке возрастания, то запишем следующую последовательность дробей:

Обратим внимание на интересную закономерность: числитель разности двух соседних дробей равен 1, а знаменатель – произведение знаменателей (взаимно - простые числа):



Если взять две любые соседние дроби и выполнить действия 7·1-6·1, 7·1-3·2, то всегда получим 1.

Еще интересная закономерность для такой последовательности, каждая дробь получается из соседних дробей следующим образом: сложить числители дробей и разделить полученное число на сумму знаменателей. Например, .
Таким образом, если две рядом стоящие дроби, то а1в-ав1=1, причем . А если - три соседние дроби, то .

Применив данные свойства, можно построить ряды чисел Fn для n=1,2,…, 8:

F1= {01, 11}

F2 = {01, 12, 11}

F3 = {01, 13, 12, 23, 11}

F4 = {01, 14, 13, 12, 23, 34, 11}

F5 = {01, 15, 14, 13, 25, 12, 35, 23, 34, 45, 11}

F6 = {01, 16, 15, 14, 13, 25, 12, 35, 23, 34, 45, 56, 11}

F7 = {01, 17, 16, 15, 14, 27, 13, 25, 37, 12, 47, 35, 23, 57, 34, 45, 56, 67, 11}

F8 = {01, 18, 17, 16, 15, 14, 27, 13, 38, 25, 37, 12, 47, 35, 58, 23, 57, 34, 45, 56, 67, 78,11}


Cемейство конечных подмножеств рациональных чисел - носит название дробей Фарея (ряды Фарея), также "последовательность Фарея" или "таблица Фарея". Последовательность Фарея n-го порядка представляет собой возрастающий ряд всех несократимых дробей, знаменатель которых меньше или равен n.

Возвращаясь к примеру



представим дроби в виде разности соседних дробей рядов Фарея:

=1-

В перспективе я планирую расширить свои знания в области рядов Фарея, а также узнать интересные факты из теории чисел, потому что многие из них могут пригодиться в программировании задач, решении примеров.

1. Упростить выражение:

;
2. Построить ряд Фарея, отвечающий числу n, если: n=10
3. Задача по программированию. Последовательностью Фарея порядка N называется возрастающая последовательность несократимых положительных дробей со знаменателями, не превосходящими N.

Ваша задача: по k-му ее элементу получить (k+1)-й.


Входные данные


В первой строке находится N (1<=N<=1050). Во второй строке входного файла находится числитель P k-ой дроби, а в третьей - ее знаменатель Q (0<=P<=1050, 1<=Q<=N).

Выходные данные


В первой строке выходного файла должен находиться числитель (k+1)-ой дроби, а во второй - ее знаменатель (без ведущих нулей).


Пример входного файла

Input.txt

2

3

2



Пример выходного файла

Output.txt

2

1



Литература

1.Вагутен В. «Квант» 1975г, №8



2.К.Чандрасекхаран «Введение в аналитическую теорию чисел» 1974г

3. http://mschool.kubsu.ru/ma/t3/5kl/5kl_1.html

Похожие:

Использование рядов фарея в решении задач iconВ этом проекте приведены некоторые интересные последовательности дробей, ряды Фарея, их закономерности и свойства Приведены некоторые пути построения теории рядов Фарея
Сама эта теорема может быть выведена из свойств рядов Фарея. Из этих свойств можно получить решения уравнения в целых числах ах –...
Использование рядов фарея в решении задач iconЛабораторная работа по теме: «Использование процедуры при решении задач целочисленной арифметики с помощью одномерного массива»
«Использование процедуры при решении задач целочисленной арифметики с помощью одномерного массива»
Использование рядов фарея в решении задач iconРешение геометрических задач по планиметрии
При решении большинства задач не обойтись без привлечения разнообразных фактов теории доказательств тех или иных утверждений. Но...
Использование рядов фарея в решении задач iconНекоторые возможности применения рядов фурье к решению задач сопротивления материалов
Данная работа посвящена возможностям применения рядов Фурье к решению некоторых задач изгиба балок. Рассмотрен один из примеров статически...
Использование рядов фарея в решении задач iconИспользование дрессированных морских животных в вмс США
Бтс представляют собой совокупность биологических и технических элементов, объединенных в единую функциональную систему. Использование...
Использование рядов фарея в решении задач iconУчебное пособие для вузов Дружининская И. М. Матвеев В. Ф. Мышкис П. А. Макс пресс 2006
При решении включенных в пособие задач предполагается использование комбинации нескольких методов и приемов, излагаемых в учебном...
Использование рядов фарея в решении задач iconОбобщённый метод интервалов при решении неравенств
При решении многих задач, в том числе и задач Единого Государственного экзамена (егэ) часто возникает необходимость либо непосредственно...
Использование рядов фарея в решении задач iconПрограмма элективного профильного курса по информатике в 10 а классе
Использование компьютерных технологий в проектной деятельности и при решении задач
Использование рядов фарея в решении задач iconУрок (алгебра и начала анализа + физика) в 10 классе по теме
«Использование физических понятий, величин и законов при решении задач на расчёт средней скорости»
Использование рядов фарея в решении задач iconРешение задач на последовательности При решении таких задач бывает необходимо: каким-либо образом сортировать последовательности
Прежде всего рассмотрим общую структуру программы при решении задач на обработку последовательности чисел (массивов) на примере заполнения...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org