Оценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов



Скачать 221.5 Kb.
Дата26.07.2014
Размер221.5 Kb.
ТипДокументы
Оценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов

Предложена концепция строгого, с точки зрения метода наименьших квадратов (МНК), решения задачи оценивания геометрических параметров вертикального цилиндрического резервуара (среднего радиуса цилиндрической части, наклона оси, угла направления наклона оси, радиальных отклонений стенки резервуара от аппроксимирующего эллиптического цилиндра) по координатам точек на стенке резервуара. Для учета влияния неопределенности результатов измерений горизонтальных и вертикальных углов и расстояний электронными тахеометрами или сканерами на оцененные геометрические параметры используется корреляционная матрица координат точек. Предложена простая модель оценивания суммарной относительной неопределенности вместимости резервуара и его поясов, включающая неопределенность типа А, оцененную как стандартное радиальное отклонение и неопределенность типа В, оцененную на основе метрологических исследований приборов, применяемых при измерениях.

Предисловие

В 2008 – 2010 годах в Украине была разработана группа стандартов, в которых предусмотрены методы выполнения измерений при поверке сферических, вертикальных и горизонтальных цилиндрических резервуаров, в том числе с эллиптическими днищами, при помощи геодезических приборов – электронных тахеометров и сканеров. В этих стандартах используется концепция определения геометрических параметров резервуаров по методу наименьших квадратов по координатам точек на их стенках, вычисленных по результатам измерений геодезическими приборами. Описанная концепция реализована в пакете прикладных программ VGS (ГП «Укрметртестстандарт») для оценивания геометрических параметров, вместимости резервуаров и их неопределенности в соответствии с [1].



Введение

Теоретически поверхность стенки резервуара должна иметь цилиндрическую форму, а ось этого цилиндра должна быть вертикальна, но практически это не возможно. Если при помощи геодезического прибора получить координаты точек на реальной поверхности стенки резервуара, то можно оценить средний радиус цилиндра и наклон его оси, выполнив их аппроксимацию цилиндрической поверхностью. Оценка статистической характеристики неровностей и деформаций стенки резервуара выполняется с использованием радиальных отклонений как кратчайших расстояний между реальной и аппроксимирующей цилиндрической поверхностью или, по-другому, расстояний до реальной поверхности по нормали к аппроксимирующей поверхности (то есть, по направлению радиуса кривизны поверхности в данной точке). Из сказанного следует название оценки этой статистической характеристики – стандартное радиальное отклонение, оцененное как корень квадратный из отношения суммы квадратов отдельных радиальных отклонений к количеству избыточных измерений.

Эта статистическая характеристика будет также опосредствовано включать неопределенности геодезических измерений, влияние которых на неопределенность геометрических параметров и, через них, на неопределенность вместимости, необходимо также строго оценивать. Точность оценки стандартного радиального отклонения будет зависеть от объема выборки (количества точек на поверхности, координаты которых определены) и статистических характеристик геодезических измерений. Через оценку стандартного радиального отклонения оценивается неопределенность типа А геометрических параметров и вместимости резервуара.

Таким образом, главная цель публикации – разработка строгой, с точки зрения метода наименьших квадратов, методики оценивания геометрических параметров и вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров, а также их неопределенности по результатам геодезических измерений.

Необходимо отметить, что термин стандартное отклонение, взятый из [1], соответствует термину среднее квадратическое отклонение.



1 Оценка геометрических параметров вертикального цилиндрического резервуара по некоррелированным координатам точек на поверхности стенки резервуара

Использование корреляционной матрицы координат точек при оценивании геометрических параметров поверхности и ее стандартного радиального отклонения от аппроксимирующей поверхности по методу наименьших квадратов значительно усложняет решение (см. раздел 5). Для многих практических случаев можно принять, что координаты точек на поверхности определены с одинаковой точностью и независимы между собой.

Это справедливо, если статистические характеристики геодезических измерений значительно лучше статистических характеристик стандартного радиального отклонения поверхности резервуара от аппроксимирующего цилиндра. Корреляционная и весовая матрица координат в этом случае будет диагональной единичной матрицей. Для упрощения изложения можно также принять, что координаты (а не углы и расстояния) есть непосредственно измеренные величины.

Тогда, оценивание по методу наименьших квадратов выполняется с соблюдением условий:

1) ; 2) . (1)

где - радиальные отклонения поверхности резервуара от аппроксимирующего эллиптического цилиндра, радиусом .



- количество точек на поверхности, координаты которых определены.

Уравнение эллиптического цилиндра, связывающее геометрические параметры резервуара и координаты точек на поверхности его стенки:



, (2)

где , и - горизонтальные координаты и абсолютная высота точек на поверхности стенки резервуара по результатам измерений тахеометром или сканером;



- средний внутренний радиус аппроксимирующего эллиптического цилиндра;

- горизонтальные координаты центра резервуара на абсолютной высоте, равной нулю;

, - проекции наклона оси резервуара на вертикальные плоскости координат и (наклон оси резервуара есть тангенс угла наклона оси относительно вертикали).

Эллиптический цилиндр, описанный уравнением (2) сориентирован в пространстве так, что его горизонтальное сечение имеет форму круга радиусом , а сечение перпендикулярное оси цилиндра форму эллипса. Эллиптический цилиндр выбран потому, что уравнение (2) это более простая форма представления уравнения поверхности близкой к поверхности резервуара, чем обычного наклоненного цилиндра, у которого сечение, перпендикулярное к его оси, имеет форму круга. Существенно, что независимо от формы уравнения аппроксимирующей поверхности получается несмещенная (неискаженная) оценка вместимости резервуара.

Параметрическое уравнение поправок, полученное путем частного дифференцирования уравнения (2) по измеренным величинам и определяемым геометрическим параметрам, имеет вид:

, (3)

где - радиальные отклонения внутренней поверхности резервуара от аппроксимирующего эллиптического цилиндра, радиусом ;



- поправка в приближенное значение среднего радиуса резервуара ;

, - поправки в приближенные значения горизонтальных координат и центра резервуара;

, - поправки в приближенные значения проекций наклона и оси резервуара на вертикальные плоскости координат и ;

- коэффициенты параметрического уравнения поправок;

- свободный член параметрического уравнения поправок.

В матричном виде система параметрических уравнений поправок имеет вид:



, (4)

где - матрица частных производных от уравнения (2) по измеренным координатам точек;



- матрица поправок к измеренным координатам точек;

- матрица частных производных от уравнения (2) по определяемым геометрическим параметрам;

- вектор поправок к приближенным значениям определяемых параметров;

- вектор свободных членов уравнений поправок.

Необходимо привести, без доказательства, очень важное утверждение: произведение матрицы частных производных уравнения (2) по измеренным координатам на матрицу поправок к измеренным координатам даст диагональную матрицу радиальных отклонений:



. (5)

Коэффициенты и свободные члены параметрических уравнений (3) вычисляются по формулам:



;

;

;

(6)

;

;




.




где - приближенное значение среднего внутреннего радиуса аппроксимирующего эллиптического цилиндра;

- приближенные значения горизонтальных координат центра резервуара на абсолютной высоте, равной нулю;

, - приближенные значения проекций наклона оси резервуара на вертикальные плоскости координат и .

Система нормальных уравнений в матричном виде, полученная из параметрических уравнений поправок (4) исходя из того, что , имеет вид:



или . (7)

Более подробно для данного частного случая, описанного уравнением (3), нормальные уравнения имеют вид:



;

;


(8)
;

;

.

Поправки к приближенным значениям определяемых геометрических параметров в матричном виде получаются путем решения системы линейных уравнений (7) по формулам:



. (9)

где - матрица обратная к матрице нормальных уравнений.

Более подробно для данного частного случая, описанного нормальными уравнениями (8), поправки к приближенным значениям определяемых геометрических параметров вычисляются по формулам:

;

;

;

(10)

;

.

Определяемые геометрические параметры резервуара вычисляются по формулам:

- проекции наклона на плоскости координат и :



, ; (11)

- средний радиус:



; (12)

- горизонтальные координаты центра:



, . (13)

Наклон оси резервуара:



. (14)

Направление наклона оси резервуара вычисляется по формулам:



,

, если ; (15)

, если ;

где - угол ориентации оси относительно направления из центра резервуара на точку касания днища грузом рулетки;



, - горизонтальные координаты точки касания днища грузом рулетки.

При измерениях снаружи внутренние радиальные отклонения, исправленные за деформацию, вызванную гидростатическим давлением жидкости, находящейся в резервуаре вычисляются по формуле:



, (16)

где - среднее значение ускорения свободного падения, равное ;



- плотность жидкости, находящейся в резервуаре при проведении поверки;

- средний радиус резервуара;

- абсолютная высота налитой в резервуар жидкости во время поверки;

- абсолютная высота -ой точки на поверхности резервуара;

- модуль упругости материала (для стали - );

- средняя толщина стенки -го пояса на котором находится -ая точка на поверхности резервуара;

- средняя толщина слоя краски стенки -го пояса на котором находится -ая точка на поверхности резервуара.

Далее, в оценке неопределенности, используются именно эти радиальные отклонения.



2 Оценка неопределенности типа А геометрических параметров резервуара

Пояса резервуара имеют разную толщину стенки и могут быть сварены внахлест. Поэтому, средний радиус и радиальные отклонения оцениваются для всего резервуара, но оценка неопределенности стандартного радиального отклонения должна оцениваться для каждого пояса в отдельности для исключения влияния разной толщины и нахлеста.

Оценка среднего радиального отклонения пояса резервуара и стандартного радиального отклонения реальной поверхности поясов от аппроксимирующего эллиптического цилиндра:

; , (17)

где - общее количество точек в поясе с номером ;



- число необходимых измерений (минимальное число точек с известными координатами на поверхности стенки резервуара, необходимое для решения задачи аппроксимации) для уравнений вида (3) равное пяти.

Оценка стандартного радиального отклонения всего резервуара, из которого исключено влияние нахлеста, вычисляется по формуле:



, (18)

где - общее число поясов резервуара;



- количество точек на поверхности, координаты которых определены.

Корреляционная матрица определяемых геометрических параметров резервуара имеет вид:



. (19)

где - матрица обратная к матрице нормальных уравнений из системы уравнений (9) или (10).

Оценки стандартного отклонения геометрических параметров резервуара, которые есть диагональные элементы корреляционной матрицы (19) (они, по сути, есть неопределенностью геометрических параметров типа А) вычисляются по формулам:


;

;







;




(20)

;

,




где - диагональные члены матрицы (10) обратной к матрице нормальных уравнений (8).

Оценка стандартного отклонения (неопределенности типа А) среднего радиуса пояса резервуара с номером :






.




(21)

Оценка стандартного отклонения наклона оси резервуара и его направления (неопределенность типа А):

; (22)

, (23)

где - оценка стандартного отклонения угла ориентации из формулы (15).


3 Оценка вместимости, неопределенности измерений типа В и неопределенности вместимости поясов резервуара

Упрощенная математическая модель вычисления вместимости любого горизонтального слоя резервуара с номером с учетом поправки за радиальные отклонения его поверхности в этом слое и поправки за среднюю температуру стенки резервуара при измерениях, оценивается по формуле:



, (24)

где - неисправленная поправками вместимость слоя резервуара;



- поправка за радиальные отклонения поверхности резервуара в этом слое;

- поправка за отклонение средней температуры стенки резервуара при измерениях от температуры, к которой приводится вычисляемая вместимость слоя;

=3,1415926…;

- разность абсолютной высоты горизонтальных плоскостей ограничивающих сверху и снизу слой резервуара, вместимость которого вычисляется;

- среднее радиальное отклонение стенки резервуара в пределах слоя резервуара с номером (если слой тонкий, а сетка точек на поверхности негустая, то это может быть среднее радиальное отклонение из интерполированных значений относительно ближайших точек);

- температурный линейный коэффициент расширения материала (для стали – );

- температура, к которой приводится вычисляемая вместимость слоя в ;

- средняя температура резервуара при проведении измерений в .

Так, вместимость пояса резервуара вычисляется по формуле:



, (25)

где - разность абсолютной высоты горизонтальных плоскостей ограничивающих сверху и снизу пояс резервуара, вместимость которого вычисляется;



- среднее радиальное отклонение стенки пояса резервуара с номером вычисленное по формуле (17).
Из анализа математической модели вычисления вместимости резервуара (24) или (25), а также исходя из некоторых дополнительных исследований, необходимо отметить:

- учитывая первое из условий (1) поправка за радиальные отклонения в общую вместимость резервуара равна нулю. Зная это удобно контролировать правильность вычислений на компьютере;

- поправка во вместимость слоя или пояса за наклон резервуара в формулах (24) и (25) отсутствует, так как для аппроксимирующего эллиптического цилиндра, заданного формулой (2), горизонтальные сечения имеют форму окружности;

- эллипсность горизонтального сечения реальной поверхности резервуара (даже если сжатие эллипса составляет очень большую, нереальную величину для цилиндрического резервуара, например, 1 %) не смещает оценку вместимости резервуара, но приводит к смещенной оценке неопределенности геометрических параметров и вместимости резервуара.

Неопределенность типа В приближенно оценивается как стандартное отклонение среднего радиуса, если измерения выполнялись:

снаружи ; изнутри , (26)

где - расширенная неопределенность измерения толщины стенки резервуара;

- расширенная неопределенность измерения толщины слоя краски;

- расширенная неопределенность аддитивной погрешности (постоянной поправки) к измеренным значениям наклонных расстояний от тахеометра до точки на поверхности резервуара, полученная из метрологических исследований;

- коэффициент охвата.
Такая модель неопределенности типа В носит приближенный характер. Более точную модель можно описать с применением математического аппарата описанного в разделе 4 настоящей публикации.

Оценка относительной стандартной суммарной неопределенности вместимости всего резервуара или любого слоя резервуара, в том числе пояса (с учетом неопределенности типа А и В) для упрощенных формул (24) и (25) вычисляется по формулам:



, (27)

,

где - неопределенность типа А среднего радиуса пояса резервуара с номером , вычисленная по формуле (21);



- наклон резервуара, вычисленный по формуле (14);

- оценка стандартного отклонения наклона резервуара, вычисленная по формуле (22);

- оценка стандартного отклонения измерения средней температуры стенки резервуара.
Из формул (27) следует, что чем больше значение стандартного радиального отклонения, тем больше суммарная неопределенность вместимости резервуара. Другими словами – чем более неровная поверхность резервуара, чем более он деформирован, как в целом, так и локально, тем больше необходимо получить координат точек на его поверхности для достижения той же относительной суммарной неопределенности вместимости резервуара.

Кроме того, из формул (26) и (27) следует, что систематические погрешности измерения расстояний от геодезического прибора до поверхности стенки резервуара почти полностью входят в суммарную неопределенность вместимости резервуара. Влияние систематических погрешностей угловых измерений на суммарную неопределенность вместимости резервуара имеет более сложный характер, что требует отдельных исследований.


4 Корреляционная матрица координат точек определяемых полярной пространственной засечкой

В геодезии полярной пространственной засечкой называется метод определения пространственных координат точек по горизонтальному, вертикальному углу и наклонному расстоянию, измеренным тахеометром или сканером. В предыдущем разделе, принималось то упрощение, что корреляционная матрица координат приравнивалась единичной матрице.

Строгое, с точки зрения МНК, решение задачи определения геометрических параметров любого объекта, посредством аппроксимации математически описываемой поверхностью, возможно с использованием корреляционной матрицы координат точек расположенных на реальной поверхности объекта. При этом, если измерительный прибор сформировал файл координат, то структура корреляционной матрицы утрачивается и решение сводится к описанному в разделах 1 и 2, но если измерительный прибор сформировал файл непосредственных измерений – горизонтальных и вертикальных углов и наклонных расстояний, то при вычислении координат специальным программным обеспечением можно сформировать их корреляционную матрицу по приведенным в этом разделе формулам.

Координаты, которые определяются косвенно полярной пространственной засечкой, вычисляются по известным формулам:



, (28)

де - координаты исходной точки, над которой центровался тахеометр или сканер;



- азимут ориентирующего направления на другую исходную точку;

- измеренное наклонное расстояние;

- измеренное горизонтальное направление;

- измеренный вертикальный угол;

- измеренная высота прибора над точкой;

- определяемые координаты точки на поверхности, геометрические параметры которой определяются.

Корреляционной матрицей координат исходной точки пока пренебрегаем и считаем их независимыми.

Корреляционная матрица координат, определяемых полярной пространственной засечкой, вычисляется по формуле:

, (29)

где - матрица обратных весов координат исходной точки и измеренных величин;



, , - обратные веса определяемых координат;

- корреляционные моменты;

- матрица частных производных от уравнения (28) по координатам исходной точки и измеренным величинам:

. (30)

В развернутом виде корреляционная матрица координат (29), определяемых полярной пространственной засечкой, вычисляется по формуле:



, (31)

де - обратный вес измеренного наклонного расстояния;



- обратный вес измеренного вертикального угла;

- обратный вес измеренного горизонтального направления;

- обратный вес азимута ориентирующего направления на вторую исходную точку;

- горизонтальное проложение расстояния до второй исходной точки;

- радиан, выраженный в тех же единицах, что и стандартное отклонение измерения угла;

, , - обратные веса координат исходной точки , и ;

- обратный вес измеренной высоты прибора;

- стандартное отклонение измеренного наклонного расстояния;

- стандартное отклонение измеренного горизонтального направления;

- стандартное отклонение измеренного вертикального угла;

- стандартное отклонение исходного азимута ;

, , - стандартные отклонения координат исходной точки , и ;

- стандартное отклонение измеренной высоты прибора.

Такой подход к формированию матрицы обратных весов позволит учесть стандартное отклонение координат исходной точки геодезической сети и исходного азимута.

После перемножения матриц в формуле (31) получим корреляционную матрицу координат (29).

Матрица весов координат точки с номером вычисляется по известной формуле:



. (32)

В частном случае, когда погрешности исходных данных и измерения высоты прибора равны нулю (например, измерения выполнятся с одной точки, координаты которой принимаются исходными) корреляционная матрица (матрица обратных весов) координат точки вычисляется по упрощенной формуле:



. (33)

5 Оценка геометрических параметров вертикального цилиндрического резервуара с использованием корреляционной матрицы координат точек на поверхности стенки резервуара

Оценивание по методу наименьших квадратов с учетом корреляционной матрицы координат точек на поверхности выполняется с соблюдением условий:

1) ; 2) , (34)

где - веса радиальных отклонений.

Формула (34) есть аналог формулы (1), где , где - единичная матрица.

Обратный вес радиального отклонения вычисляется по формуле:



, (35)

где - корреляционная матрица координат, вычисляемая по формуле (31) или (33).



- матрица частных производных уравнения (2) по измеренным координатам (см. уравнение (5)).

Вес радиального отклонения вычисляется по формуле:



. (36)

Система нормальных уравнений в матричном виде, когда корреляционная матрица координат не есть единичная, полученная из параметрических уравнений поправок (3), исходя из того, что , имеет вид:



или . (37)

Далее, после решения нормальных уравнений вычисляются поправки к приближенным значениям геометрических параметров по формулам (10) и радиальные отклонения по формулам (3).

После этого, при необходимости, поправки к измеренным координатам точек вычисляются по формуле:

. (38)

Оценка средневзвешенного радиального отклонения пояса резервуара и стандартного радиального отклонения , вес которого равен единице, реальной поверхности поясов от аппроксимирующего эллиптического цилиндра:



; . (39)

Оценка стандартного радиального отклонения , вес которого равен единице, для всего резервуара:



. (40)

Далее оценка геометрических параметров резервуара выполняется по формулам (20) – (23).

Строго решить задачу оценки влияния погрешностей измерений на оцененные геометрические параметры и вместимость можно методом математического моделирования, задавшись идеальными геометрическими параметрами, вычислить неискаженные координаты точек на поверхности резервуара. Задавшись некоторой схемой геодезической сети, необходимо решить обратные геодезические задачи, вычислить неискаженные значения горизонтальных, вертикальных углов и расстояний. Задаться некоторой дисперсией (стандартным отклонением) этих измерений и исказить их при помощи генераторов случайных чисел, генерирующих их по тому или иному закону распределения. Внести те или иные систематические погрешности измерений. Затем, воспользовавшись приведенным выше математическим аппаратом, оценить геометрические параметры и вместимость резервуара.

По нашим исследованиям, разности между оцененными по методу наименьших квадратов геометрическими параметрами резервуара и их действительными значениями, будут стремиться к нолю, если принять следующие необходимые и достаточные условия:

1) математическими ожиданиями геометрических параметров резервуара есть их действительные значения;

2) погрешности измерений горизонтальных, вертикальных углов и расстояний распределены по нормальному или любому другому симметричному закону распределения;

3) систематические составляющие погрешностей измерений отсутствуют;

4) погрешности координат исходных точек геодезической сети пренебрегаемо малы;

5) количество координат точек на поверхности резервуара, определенных по результатам измерений, достаточно велико;

6) точки, координаты которых определены, распределены по поверхности резервуара достаточно равномерно.

При этом, закон распределения радиальных отклонений может быть любым, а их распределение по поверхности стенки резервуара может носить систематический характер, как, например, при наличии эллипсности.

Если, так или иначе, будет нарушаться хотя бы одно из этих условий, то оценки геометрических параметров будут смещены относительно их математических ожиданий. Вопрос оценки этих смещений будет лежать также в плоскости оценки метрологических характеристик геодезических приборов при их калибровке.



Выводы

1. Разработана строгая, с точки зрения метода наименьших квадратов, методика оценивания геометрических параметров и вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров, а также их неопределенности по результатам геодезических измерений.

2. Разработана корреляционная матрица координат точек на поверхности резервуара и методика ее использования для оценивания геометрических параметров и вместимости резервуара.

3. Разработанная методика оценивания позволяет получить несмещенную оценку вместимости резервуара при соблюдении разработанных необходимых и достаточных условий.



4. Принятие разработанной методики как базовой концепции позволило бы решить проблему сравнимости результатов оценки геометрических параметров, вместимости резервуаров и их неопределенности по результатам измерений выполненных различными лабораториями.

Список использованных источников

1. Руководство по выражению неопределенности результата измерения. Перевод с английского ВНИИМ им. Менделеева, научный редактор проф. Слаев В.А., Санкт-Петербург, 1999 г.

Похожие:

Оценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов iconИнструкция по изготовлению и монтажу вертикальных цилиндрических резервуаров всн 311-81 Срок введения
Настоящая инструкция распространяется на изготовление и монтаж рулонным и полистовым методами вертикальных цилиндрических резервуаров...
Оценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов iconМонтаж стальных вертикальных цилиндрических резервуаров для хранения нефти и нефтепродуктов
...
Оценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов iconМетод наименьших квадратов. Регрессионный и корреляционный анализ в медицинских исследованиях
Метод наименьших квадратов используется для расчетов параметров функции заданного вида, наилучшим образом отражающую зависимость...
Оценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов iconО системе технического диагностирования сварных вертикальных цилиндрических резервуаров для нефти и нефтепродуктов
Разработано ао "вниимонтажспецстрой" и аозт "контакт" по заданию Госгортехнадзора России
Оценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов iconВопрос №4: Предпосылки метода наименьших квадратов, гомоскедастичность, гетероскедастичность, понятие о методе максимального правдоподобия
Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих...
Оценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов iconКонспект лекции 3 (часть 2) В. М. Малашенко
Применение обобщенного метода наименьших квадратов для оценивания параметров эконометрических моделей
Оценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов icon1. Оценка уравнения регрессии
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения
Оценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов iconУравнение множественной регрессии. Оценка уравнения регрессии
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения
Оценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов iconУравнение множественной регрессии. Оценка уравнения регрессии
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения
Оценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов iconУравнение множественной регрессии. Оценка уравнения регрессии
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org