Интегральное исчисление функции одной переменной



страница1/16
Дата26.07.2014
Размер1.68 Mb.
ТипУчебное пособие
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16
Российская Федерация
Министерство путей сообщения

ГОУ ВПО “Дальневосточный государственный


университет путей сообщения МПС России”

Кафедра “Высшая математика”

Л.Н. Гамоля Г.П. Кузнецова Л.В. Марченко

 
ИНТЕГРАЛЬНОЕ


ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ


ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 

Рекомендовано



Дальневосточным региональным
учебно-методическим центром в качестве учебного пособия
для студентов вузов региона

 


Хабаровск

Издательство ДВГУПС

2004

Рецензенты



Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры “Математические методы и информационные технологии” Дальневосточной академии государственной службы

С.А. Луковенко

Кафедра “Математический анализ” Хабаровского государственного педагогического университета (заведующий кафедрой кандидат физико-математических наук,


доцент В.А. Казинец)

Г 186

Гамоля, Л.Н. Интегральное исчисление функции одной переменной: Учеб. пособие / Л.Н. Гамоля, Г.П. Кузнецова, Л.В. Марченко. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. – 102 с.: ил.

Учебное пособие соответствует государственному образовательному стандарту дисциплины “Высшая математика” для технических специальностей вузов.

Работа представляет собой курс интегрального исчисления функции одной переменной, начиная с понятия неопределенного интеграла и заканчивая приложениями и методами приближенного вычисления определенного интеграла.

Рассмотрены основные теоремы математического анализа, даны примеры с решениями и задания для самостоятельной работы.

Предназначено для студентов первого курса нематематических специальностей вузов всех форм обучения, изучающих дисциплину “Высшая математика”. Может быть рекомендовано преподавателям для использования на практических занятиях.

ГОУ ВПО “Дальневосточный государственный университет путей сообщения МПС России” (ДВГУПС), 2004

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

   2.1. Таблица основных интегралов

   2.2. Простейшие правила интегрирования

3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

    3.1. Метод интегрирования по частям

    3.2. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе

    3.3. Интегрирование рациональных дробей

    3.4. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

    3.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций

    3.6. Интегрирование дифференциального бинома

    3.7.

Интегрирование выражений вида mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image19998.gif. Подстановки Эйлера

    3.8. Обзор методов интегрирования

4. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

    4.1. Вычисление площади криволинейной трапеции.

    4.2. Вычисление пути, пройденного материальной точкой

5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

    5.1. Основное определение

    5.2. Условия существования определенного интеграла

6. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМА

8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

    8.1. Формула Ньютона–Лейбница

    8.2. Замена переменной в определенном интеграле

    8.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле

9. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

    9.1.Интегралы с бесконечными пределами

    9.2. Интегралы от неограниченных функций

10. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

   10.1. Вычисление пределов сумм с помощью определенного интеграла

    10.2. Вычисление средних значений функции

    10.3. Вычисление площади в декартовых координатах

    10.4. Вычисление площади в полярных координатах

    10.5. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде.

    10.6. Вычисление длины дуги кривой

    10.7. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений

    10.8 Вычисление объема тела вращения

    10.9. Вычисление площади поверхности вращения

    10.10. Вычисление некоторых физических и механических величин с помощью определенного интеграла

11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

    11.1. Метод прямоугольников

    11.2. Метод трапеций

    11.3. Метод Симпсона

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Библиографический СПИСОК

  


ВВЕДЕНИЕ

Сложно представить современный мир и современную науку без математики, роль которой со временем будет только возрастать. Задача данного пособия – помочь в освоении базовых разделов математического анализа будущему специалисту, научить применять полученные знания в практической работе.

В пособии дано систематическое изложение раздела математического анализа “Интегральное исчисление функции одной переменной” в объеме, соответствующем государственным образовательным стандартам высшего профессионального образования по техническим специальностям.

Теоретический материал каждого раздела, содержащий важнейшие определения и теоремы математического анализа, сопровождается большим количеством задач и примеров с подробным решением.

Такое изложение позволяет преподавателю на лекциях и практических занятиях уделить больше внимания содержательным вопросам, а студентам дает возможность самостоятельно разобраться в решениях стандартных задач. Особенно полезной такая форма изложения будет студентам ИИФО.

В пособии приведены упражнения для самостоятельной работы. Несмотря на то что эти примеры отражают основные темы курса интегрального исчисления, студентам рекомендуется не ограничиваться этим набором, а обращаться к задачникам из приведенного библиографического списка.

Настоящее учебное пособие написано на основе опыта преподавания высшей математики студентам Дальневосточного государственного университета путей сообщения.

Авторы надеются, что усвоение данного раздела математического анализа поможет студентам в изучении других разделов математики, а также общеинженерных и специальных дисциплин.



1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Во многих задачах науки и техники приходится восстанавливать функцию по известной производной. Зная закон изменения пути с течением времени mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image19999.gif, мы можем найти сначала скорость mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20000.gif, а затем и ускорение mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20001.gif. На практике, однако, часто приходится решать обратную задачу: ускорение mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image11549.gifзадано как функция от времени mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20002.gif, то есть mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20003.gif, требуется определить скорость mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20004.gifи пройденный путь mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20005.gifв зависимости от mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20006.gif. Таким образом, нужно по функции mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20007.gifвосстановить функцию mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20008.gif, для которой mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image11549.gifявляется производной, а затем, зная функцию mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20009.gif, найти функцию mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20010.gif, для которой производной будет mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20011.gif.

Определение. Функция mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20012.gifназывается первообразной для функции mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20013.gifна заданном промежутке, если на этом промежутке функция mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20014.gifнепрерывна, и в каждой внутренней точке промежутка справедливо равенство

mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20015.gif.

Отыскание для функции всех ее первообразных называется интегрированием и составляет одну из задач интегрального исчисления.



Следующая теорема позволяет свести нахождение всех первообразных данной функции к отысканию одной их них.

Теорема 1. Если функция mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20016.gifимеет на промежутке первообразную mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20017.gif, то и все функции вида mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20018.gifбудут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20019.gifдля функции mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20020.gifможет быть представлена в виде mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20021.gif, где mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20022.gif– одна из первообразных функций, а mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20023.gif– произвольная постоянная.

Доказательство. По определению первообразной имеем mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20024.gif. Учитывая, что производная постоянной равна нулю, получаем mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20025.gif. Это и означает, что mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20026.gifявляется первообразной для mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20020.gif.

Покажем теперь, что если функция mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20020.gifзадана на некотором промежутке и mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20027.gif– одна из ее первообразных, то mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20028.gifможет быть представлена в виде



mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20029.gif.

В самом деле, по определению первообразной имеем



mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20030.gifи mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20031.gif.

Но две функции, имеющие на промежутке равные производные, отличаются друг от друга лишь на постоянное слагаемое. Значит, mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20032.gif, что и требовалось доказать.

Учитывая важность множества всех первообразных функций, для него ввели специальное название и обозначение.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20033.gifна заданном промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается

mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20034.gif.

Функция mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20035.gifназывается подынтегральной функцией, а произведение mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20036.gif– подынтегральным выражением.

Часто говорят: “взять неопределенный интеграл” или “вычислить неопределенный интеграл”, понимая под этим следующее: найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.

Пример. Пусть mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20037.gif, тогда одной из первообразных будет mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20038.gif, и, как не трудно видеть, неопределенный интеграл этой функции

mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20039.gif.

Равенство легко проверить обратным действием – дифференцированием: mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20040.gif.

2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Остановимся первоначально на двух свойствах неопределенного интеграла, следующих из определения.

Свойство 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20041.gif.

Доказательство. Так как mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20042.gif, где mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20043.gif, то mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20044.gif.

Но тогда mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20045.gif.



Свойство 2. Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен сумме этой функции и некоторой произвольной постоянной:

mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20046.gif.

Доказательство. Так как mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20047.gif, то по определению неопределенного интегралаmhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20048.gif, что и требовалось доказать.

Учитывая, что mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20049.gif, свойство (2) можно записать в виде:



mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20050.gif.

2.1. Таблица основных интегралов

Пользуясь свойством 1 и обращаясь к формулам для производных основных элементарных функций, можно составить таблицу основных интегралов.

Например, из формулы mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20051.gifполучаем mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20052.gif.

Формулу mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20053.gifлучше переписать в виде mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20054.gif, откуда получаем mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20055.gif.

Аналогично mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20056.gifпишут просто mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20057.gif, mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20058.gif.

Неопределенный интеграл – это множество всех первообразных подынтегральной функции, то есть выбор определенной первообразной неоднозначен. Известно, что mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20059.gif, поэтому

                                         mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20060.gif.                                                           (2.1)

Из формулы mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20061.gifвытекает, что

                                         mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20062.gif.                                                      (2.2)

На первый взгляд кажется, что эта формула противоречит предыдущей. Но это не так: на основании формулы mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20063.gifследует, что mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20064.gif, где mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20065.gif.

Итак, дело в том, что в правых частях равенств (2.1) и (2.2) произвольные постоянные различные. Такое различие формы ответов бывает и в других примерах неопределенных интегралов. Естественно, что при решении задач из двух формул (2.1) и (2.2) надо выбрать какую-то одну, например, (2.1). Для основных элементарных функций можно составить таблицу интегралов:

1) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20066.gif;

2) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20067.gif;

3) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20068.gif, на любом промежутке, на котором хmhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image2253.gif0;

4) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20069.gif;

5) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20070.gif;

6) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20071.gif;

7) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20072.gif;

8) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20073.gif;

9) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20074.gif;

10) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20075.gif;

11) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20076.gif;

12) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20077.gif;

13) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20078.gif;

14) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20079.gif;

15) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20080.gif;

16) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20081.gif;

17) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20082.gif;

18) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20083.gif;

19) mhtml:file://h:\институт\математика\интегральное%201.mht!http://edu.dvgups.ru/metdoc/enf/vmatem/wm/metod/gamolya/image20084.gif.

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

Похожие:

Интегральное исчисление функции одной переменной icon«Интегральное исчисление функций одной переменной»
Задачи для подготовки к экзамену по теме «Интегральное исчисление функций одной переменной»
Интегральное исчисление функции одной переменной iconМодуль Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл 3 Понятие неопределенного интеграла и его свойства
Модуль Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл 3
Интегральное исчисление функции одной переменной iconД. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик
Интегральное исчисление функции одной переменной iconУчебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика»
В математику. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Интегральное исчисление функции одной переменной iconПланы семинарских занятий по дисциплине «Математика» (Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменных) 1 курс 2 семестр
Повторение: дифференцирование и интегрирование функции одной переменной. Примеры на усмотрение преподавателя
Интегральное исчисление функции одной переменной iconИнтегральное исчисление функции одной переменной Задание 1
Задание Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
Интегральное исчисление функции одной переменной iconИнтегральное исчисление функции одной переменной
Таким образом, здесь оказывается нужным по функции µ § восстановить ту функцию µ §, для которой µ § является производной, и замет,...
Интегральное исчисление функции одной переменной iconИнтегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования. Замена переменного и...
Интегральное исчисление функции одной переменной iconВопросы, задачи и упражнения для коллоквиума «Интегральное исчисление функции одной переменной» Вопросы
Определенный интеграл Римана. Суммы Дарбу. Верхний и нижний интеграл. Функции, интегрируемые по Риману в смысле Дарбу. Критерий Дарбу...
Интегральное исчисление функции одной переменной iconИнтегральное исчисление функций одной переменной
Первообразная функция, ее свойства. Определение неопределенного интеграла, его простейшие свойства
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org