Уравнения и неравенства



Скачать 270.68 Kb.
страница1/2
Дата26.07.2014
Размер270.68 Kb.
ТипДокументы
  1   2
"Уравнения и неравенства" в заключительном повторении курса алгебры средней школы. Подготовка к ЕГЭ

Автор: учитель математики

школы №402

Полякова Н.А.

ГЛАВА 1 Уравнения и неравенства

1.1 Общие сведения об уравнениях и неравенствах



В этой главе мы повторим и несколько расширим сведения об уравнениях и неравенствах из курса VII-XI классов, где были изучены:
1. линейные уравнения;
2. квадратные уравнения;
3. тригонометрические уравнения;
4. показательные и логарифмические уравнения.
Мы также рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений (т.е. таких, в которых неизвестное находится под знаком радикала), а также некоторых неравенств и систем уравнений.
Способы решения уравнений основаны на использовании равносильных преобразований, на учете свойств соответствующих функций, их области определения и области значений.
Областью определения уравнения вида ƒ(x)=(x) (1) называется общая часть областей определения функций y=ƒ(x) и y=φ(x). Соответственно областью определения неравенства вида ƒ(х), ƒ(х), ƒ(х) или ƒ(х) мы будем называть общую часть областей определения левой и правой частей неравенства. Например, областью определения уравнения += служит [3,6; +∞); областью определения неравенства lg(x+2) +lg(18-x) < 2 служит (-2; 18), а уравнение = имеет смысл при х=0,5 (это и есть решение данного уравнения).
Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают или оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения = +x-2=0 равносильны, так как корнями каждого из них служат числа -2 и 1. Уравнения = х и +x-2=0 неравносильны: второе имеет два корня -2 и 1, из которых первому удовлетворяет только один: 1.
Рассмотрим уравнение = - (2).
Область его определения состоит из чисел, не равных gif" align=absmiddle hspace=8>Умножив обе части уравнения (2) на -9 и выполнив приведение подобных членов, получим уравнение 15х = 59, равносильное данному в области определения уравнения (2). Отсюда 3 - корень уравнения (2).
Областью определения уравнения + + = 0 (2, а) служит множество действительных чисел, кроме Умножив обе части на - 4 , получим уравнение (х - 13)(х+2) +10(х - 2) + 44 = 0. Выполнив соответствующие преобразования, придем к уравнению - х - 2 = 0, имеющему два корня -1 и 2, из которых только -1 удовлетворяет уравнению (2, а). Второй корень х=2 не входит в область определения уравнения (2, а), поэтому является посторонним для исходного уравнения. Ответ: х = -1.
Для решения этих уравнений мы воспользовались двумя теоремами о равносильности уравнений:
I. Уравнения ƒ(x)=(x) (1) и ƒ(x) + F(x) =(x) + F(x) (3) равносильны, если F(x) существует в области определения уравнения (1). Из этой теоремы следует, что слагаемые можно переносить из одной части в другую, изменяя при этом знаки перед слагаемыми на противоположные.
II. Уравнения ƒ(x)=(x) (1) и ƒ(x) F(x) =(x) F(x) (4), где F(x) отлично от нуля и существует в области определения уравнения (1), равносильны. Отсюда следует, что обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, выражение.
Справедливость этих теорем вытекает из известных свойств числовых равенств: если a = b, то a + c = b +c, ac=bc , ( d0). Приведем доказательство первой теоремы. Пусть - корень уравнения (1), т. е. имеет место равенство ƒ()=(). В соответствии с условием существует число F( следовательно, ƒ() + F() =() + F(), т.е. - корень уравнения (3). Верно и обратное: если - корень уравнения (3), то ƒ()+F()=()+F(). Ссылаясь на те же свойства числовых равенств, получим: ƒ()=(), т.е. - корень уравнения (1). Теорема доказана.
Так же можно доказать справедливость второй теоремы. Следует иметь в виду, что не всякие операции над ƒ(x) и (x) приводят к уравнению, равносильному уравнению (1). В частности, уравнения ƒ(x)=(x) и ƒ2k(x)=(x) (5) могут оказаться неравносильными. Действительно, из уравнения (5) вытекает уравнение =, корнями которого являются как корни уравнения ƒ(x)=(x), так и корни уравнения ƒ(x)=(x). Корни второго, если они существуют, являются посторонними для уравнения (1).
Поэтому решение уравнения методом возведения в четную степень обеих его частей можно считать законченным только после проверки полученных корней подстановкой их в обе части уравнения или каким-нибудь другим способом.
Рассмотрим более подробно случай, когда в области определения Е уравнения ƒ(x)=(x) (1, а) ƒ(x) сохраняет знак. Пусть, для определенности, ƒ(x) Тогда для всех корней уравнения (1, а) должно выполняться неравенство (x) При возведении в квадрат обеих частей уравнения (1, а) получим: (x)=(x). Корнями последнего, принадлежащими Е, являются не только корни уравнения (1, а), но и корни уравнения ƒ(x)=(x) (1, б). Так как ƒ(x) , то для посторонних ( по отношению к исходной задаче) корней уравнения (1, б) должно выполняться неравенство (x) Следовательно, если наложить на корни уравнения (1, а) еще условие х Е, (x), то система будет равносильна исходному уравнению (1, а).
Пример. х - 1 = . Здесь область определения Е= , ƒ(x)=и для корней уравнения (x). Возводя в квадрат обе части уравнения, приходим к равносильной системе:
или . Решая квадратное уравнение , получим два корня = и = . Из них определяемому системой отрезку принадлежит лишь корень - посторонний корень). Ответ: х = .
В заключение заметим, что неравенства, изучаемые в школьном курсе, также решаются на основе теорем о равносильности неравенств с учетом свойств соответствующих функций. Два неравенства называются равносильными, если их решения совпадают или если оба неравенства не имеют решения.
Пусть имеем функцию y = F(x). область определения которой включает в себя пересечение областей определения функций y = ƒ(x) y =(x). В таком случае имеют место следующие теоремы:
I. неравенства ƒ(x) (x) (*) и ƒ(x) + F(x) (x) + F(x) равносильны в области определения неравенства (*). Отсюда следует, что члены неравенства можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком.
II. Неравенство ƒ(x) (x) (*) равносильно неравенству
ƒ(x)F(x)(x)F(x), если F(x) в области определения неравенства (*) и ƒ(x)F(x)(x)F(x), если F(x).
III. Если ƒ(x) 0, (x)на всей области определения неравенства (*), то в этой области неравенство (*) равносильно неравенству (x) (x). где n
Справедливость этих теорем следует из основных свойств числовых неравенств:
1. Если a.
2. Если aто a при с и a при с и nN, то .

1.2 Упражнения

1. Равносильны ли уравнения:
а) = 0 и 2х-5=0;
б) = 0 и -4х+3=0;
в) =8 и =8;
г) lg ((2х-1)(х+1)) = lg54 и lg(2х-1)+ lg(х+1)= lg54 ?

2. Равносильны ли неравенства:

а) и ;

б) ;

в)

г)

ГЛАВА 2 Примеры решения алгебраических уравнений.

1)

Область определения данного уравнения: Так как в этой области то, умножив обе части уравнения на придем к равносильному в данной области уравнению Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Ее решением служит . Ответ: .

2)

Область определения уравнения

Умножив обе части уравнения на , получим не имеющую решения систему

равносильную данному уравнению. Значит, и данное уравнение не имеет решения.

3).

Нетрудно заметить, что уравнение равносильно системе:



Решая полученное квадратное уравнение, получим 2 корня: x1=1, x2=0,5, из которых системе, а значит и заданному уравнению, удовлетворяет только x1=1, т.е. только 1 является корнем, 0,5-посторонний корень. Ответ: x=1.

4)

Область определения уравнения

Умножив почленно обе части уравнения на получим систему:

равносильную данному уравнению. Из двух корней полученного квадратного уравнения x1=-5 и x2=-1 заданному уравнению удовлетворяет только первый: x1=-5.Ответ: x=-5.

Во всех приведенных случаях мы переходили от заданного уравнения к другому, область определения которого шире области определения заданного уравнения. При этом в некоторых случаях (примеры 3 и4) получили посторонние корни. Поэтому в таких случаях проверка решения обязательна. Ее можно проводить подстановкой полученных корней в обе части данного уравнения или другим способом, например, приведенным выше способом перехода к смешанной системе.

Рассмотрим еще некоторые примеры.

5) Область определения Е уравнения задается системой

т.е. Е-промежуток [1, +∞).

Для упрощения решения этого уравнения перенесем в правую часть и затем возведем обе части уравнения в квадрат:

,


Дальнейшие преобразования указаны ниже:
х + 7 = 6;
х + 14х + 49 = 36х - 36;
х - 22х + 85 = 0;
= 5, = 17.
Оба корня принадлежат области определения уравнения.
Подстановкой в исходное иррациональное уравнение проверим, являются ли числа 5 и 17 его корнями.
При х = 5:

При х = 17:
= 3.
Вывод: данное иррациональное уравнение имеет два корня: = 5 и = 17.
Посторонние корни в указанном процессе решения данного уравнения не появились.
6) . Область определения задается системой решением которой является множество Е: [-6,5, +. Возведение в квадрат обеих частей уравнения и дальнейшие преобразования дадут:
х + 15 - 2

х2 + 25х + 114 = 0;
= -19 , = -6.
= -19 не входит в область определения, т.е. посторонний корень. Проверяем = -6.
Левая часть исходного уравнения при = -6:

Правая часть:

Вывод: данное уравнение имеет единственный корень х = -6.

7) Областью определения Е: [-1, +. Решаем уравнение так же, как в предыдущем примере:


;
х + 1 - 12
15 - х = 6;
225 - 30х + х2 = 36х + 36;
х2 - 66х +189 = 0;
х1= 3, х2 = 63.
Оба корня х1= 3 и х2 = 63 принадлежат области определения. Проверим, удовлетворяют ли они исходному иррациональному уравнению.
При х = 3:

При х = 63:

Вывод: данное уравнение корней не имеет (оба найденных значения х оказались посторонними).

Замечание 1. В некоторых простых случаях число корней (и даже сами корни) уравнения ƒ(x)=(x) можно определить, построив графики функций у=ƒ(x) и у=(x) и найдя (как правило, приближенно) точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения и есть решения этого уравнения. Подобный прием используем при выполнении упражнений 8-22.
8) - . Из рис. 1 видно, что график ƒ(x)= - ("половина" параболы) и график (x)= (прямая) имеют только одну общую точку при х=0. Это х=0 и есть решение уравнения.
9) Уравнение 2 - с той же областью определения х вообще не имеет корней (графики у=2 - и у= не пересекаются; рис.2)
10) Уравнение 2 - имеет один корень х0(0, 4) (рис.3). (Решение этого уравнения возведением в квадрат обеих частей равносильного уравнения дает точное значение этого корня: х0=4-2.)

Замечание 2. При решении некоторых задач после отыскания области определения уравнения легко заключить, что данное уравнение не имеет решений. Скажем, в рассмотренном выше примере 9 область определения Е: х При хЕ имеем: а φ(х) =3+ 3. Откуда следует, что уравнение не имеет корней.

11) . Здесь область определения задается системой . В области определения .


(В самом деле: (2х+1) - (3х+2)= -х -1 -1 = - 0, поэтому 2х+13х+2.) Следовательно, , в то время как правая часть уравнения (равная 2) положительна. Уравнение корней не имеет. ( Подобным образом выполняются упражнения 24-27.)











Упражнения.

Решите уравнения:
3. а) ; б) ; в)
4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16. 17.

Решите уравнения (18-22) и постройте для каждого из них графики левой и правой частей:

18. 19. 20. 21.

Решите уравнения, введя вспомогательные неизвестные:

22.*
23.* .

Не решая уравнения, докажите, что они не имеют корней:

24.* 25.*

26.* 27.*

ГЛАВА 3 Примеры решения алгебраических неравенств.

1) . Область определения неравенства x≠7. Переходя к эквивалентному неравенству , замечаем, что знак его левой части, равной , совпадает в области определения со знаком квадратного трехчлена f(x)=(x+4)(x-7). Имеем f(x)<0 при xϵ(-4, 7). Ответ: xϵ(-4, 7).

2) Неравенство также решим методом интервалов. Пусть

Область определения х≠4,5, х≠11. при х=-5 и х=3 функция f(x) обращается в нуль. Нули f(x) разбивают область определения на интервалы (-∞ ; -5), (-5;-3), (3; 4,5), (4,5;11),(11;+∞), на каждом из которых функция сохраняет знак. Очевидно, что на двух соседних интервалах знаки f(x) противоположны(почему?). Так как , то f(x)<0 на интервале (-5, 3). Имеем следующее распределение знаков (рис.4). Следовательно, f(x)>0 при xϵ(-∞;-5)U(11;+∞).

Ответ: (-∞;-5)U(11;+∞).

снимок.jpg

3) Область определения х х Пусть


= Имеем при х=1 и х= - . Так как при х множитель , то , когда g(х) = . Имеем g Функция g(x) сохраняет знак на каждом из интервалов (-∞, -7), (-7, ), (, (3, 10), (10, +, при этом на смежных интервалах знаки противоположны. Так как g(0)>0, то g(x)>0 на интервале (рис.5), а также на (-∞, -7), (10, +. Отсюда решение неравенства получается добавлением к найденным интервалам точек х=1 и х=.

Ответ:



снимок2.jpg

4) Область определения х≥2. Так как , то при х-4<0 (и при этом х≥2) неравенство выполняется. Итак, неравенству удовлетворяют любые х[2, 4). Найдем теперь решения при х-4≥0. Возведя обе части (при этом условии неотрицательные) в квадрат, получим: х-2>(х-4)2. Последнее неравенство равносильно данному при х≥4.

Приведя его к виду и заметив, что при х1=6, х2=3, получим, что при 3 следовательно, неравенство справедливо при всех.

5) Область определения неравенства Е: х≥-3,5. Так как левая часть , то для всех решений неравенства правая часть должна быть положительной: 4х-14>0. осюда все решения удовлетворяют условию х>3,5(*). (Очевидно, все х, удовлетворяющие неравенству (*), принадлежат Е). При условии (*) возводим обе неотрицательные части исходного неравенства в квадрат и после упрощения получим равносильную систему:



Находим корни х1=2,625, х2=4,5 квадратного уравнения 16х2-114х+189=0. Отсюда 16х2-114х+189>0 при х<2,625 или х>4,5.

Система

не имеет решения. Решениями системы



а следовательно данного неравенства являются все х(4,5;+∞).

Ответ: х(4,5;+∞).

6) Правая и левая части неравенства в области определения (Е: [7, 17]) обе неотрицательны. Следовательно, при возведении в квадрат перейдем в этой области к равносильному неравенству



Отсюда

Снова обе части неравенства неотрицательны. Возводя обе части в квадрат, получим:

(х-7)(17-х)≥9, х,

что эквивалентно

Так как х1=8, х2=16-корни уравнения , то (**) равнсильно системе



Решения последней системы: х Ответ: х

Примененный нами метод интервалов для решения неравенств 1-3 обладает большой общностью. Им можно пользоваться и для решения иррациональных и других неравенств.

7) Область определения Е: [1, +∞). Обозначим . Исходное неравенство равносильно Найдем интервалы знакопостоянства f(x). Вначале решим уравнение f(x)=0. Представим f(x) в виде произведения: Первый множитель при x≥1.

Уравнение имеет корень х=5. Область определения Е этот корень делит на интервалы знакопостоянства f(x): [1, 5) и (5, +∞). Так как f(2)=, то f(х)<0 при х Положим теперь х=6. Имеем: f(6)=. Следовательно, f(x)>0, x

Ответ: х


  1   2

Похожие:

Уравнения и неравенства iconПоурочное планирование (5 часов в неделю, всего 170 часов)
Материал условно можно разделить на два блока: первый – уравнения и неравенства, в том числе большое место занимают тригонометрические...
Уравнения и неравенства iconТема 5
Контрольная работа №51Тема Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств2255. Равносильность уравнений356. Общие методы...
Уравнения и неравенства iconКонтрольная работа №8 Иррациональные уравнения и неравенства. Прогрессии. Решить уравнения 1 2 3 4 5 6
Доказать, что последовательность, сумма членов которой, является арифметической прогрессией. Найти и
Уравнения и неравенства iconРабочая программа элективных курсов по математике «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства»
Образовательная область «Математика»» и авторской программы: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики....
Уравнения и неравенства iconУравнения и неравенства с двумя переменными и их геометрическое решение
Также графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, значения корня, найти приближенные, а иногда...
Уравнения и неравенства iconКонтрольная работа №3 «Уравнения и неравенства с одной переменной»

Уравнения и неравенства iconЛинейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным
Основные задачи уроков. Ввести основные понятия неравенств с параметрами. Определить общую схему решения неравенства, приводимого...
Уравнения и неравенства iconУрок 1-2
Изучение темы: «Степенная функция. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства.»
Уравнения и неравенства icon"Логарифмическая функция " 12 часов
Решать логарифмические уравнения (неравенства) функционально-графическим методом
Уравнения и неравенства iconУравнения и неравенства с модулем Щукина Оксана моу
Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org