Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории



Скачать 239.91 Kb.
страница1/4
Дата26.07.2014
Размер239.91 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие
  1   2   3   4
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»

В. Д. Бочкарева

Математика для студентов географических направлений.

Множества, способы задания множеств, операции над множествами
Учебно-методическое пособие

Саранск 2012


Элементы теории множеств: Множества.
Операции над множествами




Сведения из теории

Понятия множества не определяется, а лишь поясняется на примерах. Можно говорить о множестве стульев в аудитории, о множестве деревьев в парке, о множестве машин на улицах города, о множестве людей на планете, о множестве людей в Европе, о множестве климатических зон, о множестве точек на прямой, о множестве натуральных чисел и т.п.





Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.



Если в множестве имеется элемент , то пишут или и говорят, что элемент входит в множество (принадлежит множеству , содержится в множестве ) или что множество содержит элемент .

Если элемент в множество не входит, то пишут или .

Множества бывают конечные; бесконечные и пустые.

Множество называется конечным, если в нем содержится конечное число элементов.

Например, множество рек в Мордовии конечно, множество пустынь на Земле конечно, множество деревьев в тайге конечно.

Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента.

Например, множество гор в Мордовии, высота которых более 5000 м., пустое.

Множество, которое не является ни конечным, ни пустым, называется бесконечным.

Например, множество натуральных чисел бесконечно, множество точек на окружности бесконечно и т. д.

Задать множество, это значит указать необходимое и достаточное условие попадания элемента в данное множество.

Другими словами, указать набор признаков, по которым для любого объекта мы можем сказать, является этот объект элементом данного множества или не является.

Если множество конечное и все его элементы известны, то говорят, что множество задано перечислением своих элементов.

При этом, если множество состоит из элементов , , , то пишут:



.

Если множество бесконечное или конечное, но мы не знаем его элементы, то задание множества осуществляется с помощью указания характеристического свойства элементов этого множества.

Характеристическим свойством элементов данного множества называется необходимое и достаточное условие попадания объекта в данное множество, выраженное словесно или с помощью математических символов.

Например: читаем: множество из таких элементов , которые являются вещественными числами, большими или равными 1. Характеристическое свойство элементов, входящих в множество состоит из трёх положений:



  1. объект должен быть числом,

  2. объект должен быть вещественным числом,

  3. объект должен быть вещественным числом, большим или равным единицы.

Элемент , который фигурирует в записи этого множества, называют текущим элементом множества .

Пустые множества обозначают символом .

При задании множества учитываются следующие договорённости:


  1. При записи множества порядок символов, обозначающих элемент данного множества не существенен. Т. е., если множество состоит из трёх элементов, обозначенных символами , , , то мы можем записать , а можем записать . Заметим, всего видов записи множества , состоящего из трёх элементов ; ; шесть штук.

  2. Один и тот же символ нельзя употреблять для обозначения двух разных элементов. Т. е., если один из элементов множества обозначен символом а, то второй элемент символом, а обозначить нельзя. Нужно применить другой символ, например, .

  3. Два разных символа нельзя употреблять для обозначения одного и того же элемента. Заметим, ограничения 2 и 3 позволяют сделать вывод, что если мы имеем запись , то это значит, что в множестве имеется в точности три различных элемента, а если мы имеем запись , то это не запись множества.

  4. Элемент из множества можно взять столько раз, сколько это нужно для рассуждений.

Это означает, что вынимая из множества элемент а, мы не лишаемся его в множестве. Он там по-прежнему присутствует. И мы его можем вынимать столько раз, сколько нам требуется для рассуждений.

Пусть даны множества и . При этом мы не указываем, какие это множества – конечные, бесконечные или пустые. Если каждый элемент множества является элементом множества , т. е.



то говорят, что множество есть подмножество множества , и пишут . При этом говорят, что множество есть подмножество множества , и пишут .

По определению и . Другими словами, у непустого множества всегда есть, по крайней мере, два подмножества и . Эти подмножества называются несобственными подмножествами (тривиальными). Все остальные подмножества множества называются собственными подмножествами.

Если множество конечное и состоит из элементов, то говорят, что множество имеет длину и пишут .

Если , то подмножеств у него .

Например, если , т. е. , то оно имеет подмножеств: , , , , , , , . Других подмножеств у множества М нет.

Пусть даны множества и .

Если и , то множества и называются равными. Другими словами, множества и называются равными, если выполняются следующие условия:





  1. .

При этом пишут .

С помощью множеств и можно образовать другие множества.



Объединение множеств и называется такое множество , которое состоит из всех элементов множества и всех элементов множества и только из этих элементов.

Объединение множеств и обозначается символом .

Итак, .

Например, если , , то .



Пересечением множеств и называется такое множество , которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству и множеству , и только из таких элементов.

Пересечение множеств и обозначают символом .

Итак, .

Например, если и , то .



Разностью множеств и называется такое множество , которое состоит из элементов множества , не входящих в множество , и только из этих элементов.

Разность множеств и обозначают символом .

Итак, .

Например, если , , то , а .

В частности, если , то называют дополнением множества до множества и обозночают символом .

Например, если , , то .

Чтобы наглядно изобразить множества и их взаимосвязи, часто рисуют круги, находящиеся в аналогичных взаимосвязях. Каждый круг на рисунке изображает некоторое множество. При этом точки круга не ассоциируют с элементами множества. Т. е. круг может соответствовать как конечному множеству, так и бесконечному, так и пустому. Это изображение аналогично представлению множества в виде мешка, в котором находятся элементы множества. Мешок может содержать конечное число элементов, бесконечное число элементов, быть пустым.

Круги, с помощью которых наглядно изображаются множества, называются кругами Эйлера-Венна, а способ изображения множеств с помощью кругов называется диаграммами Эйлера-Венна.

















Рассмотрим некоторые диаграммы Эйлера-Венна:


рис. 1 рис. 2 рис. 3 рис. 4

Каждая диаграмма соответствует определенной взаимосвязи множеств и :



  1. (рис. 1)

  2. (рис. 2 – заштрихованная часть),

  3. (рис. 3 – заштрихованная часть),

  4. (рис. 4 – заштрихованная часть).

Нередко бывает так, что рассматривают только подмножества одного и того же множества . Такое множество называют универсальным множеством. Понятие универсального множества относительно. Для каждой задачи оно свое.

Например, если – множество студентов первого курса географического факультета, – множество студентов географического факультета, специальности “Геоэкология”, – множество спортсменов – студентов Мордовского госуниверситета, – множество старост академических групп факультетов, находящихся в корпусе № 4, то в качестве универсального множества можно взять множество студентов Мордовского государственного университета. Если же – множество рек Сибири, – множество озер Европы, – множество морей, то в качестве универсального множества можно взять гидросферу Земли. На диаграмме Эйлера-Венна универсальное множество изображают в виде прямоугольника. (рис. 5)









рис. 5


Заметим, дополнение множества до универсального множества обозначают символом . Нужно отметить общепринятые обозначения некоторых специальных множеств.

– множество натуральных чисел,

– множество целых чисел,

– множество рациональных чисел,

– множество вещественных чисел.

– множество вещественных чисел таких, что , (),

– множество вещественных чисел таких, что , иначе: ,

– множество вещественных чисел таких, что , иначе: ,

– множество вещественных чисел таких, что , иначе: .


  1   2   3   4

Похожие:

Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Отображения. Функции Сведения из теории
Пусть даны некоторые множества и. Бинарное соответствие из в называется отображением множества в множество, если
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Декартово произведение множеств. Бинарные соответствия и отношения Сведения из теории
Пусть даны два множества и. Например, множество – множество флаконов духов(10 штук) и множество – книги (100 штук). С помощью множеств...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории iconЭкзаменационные вопросы по курсу дискретной математики
Понятие множества (определение, кардинальное число, булеан, способы задания множеств, диаграммы Венна). Операции над множествами....
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории iconОперации над множествами. Рассмотрим некоторые операции над множествами. 1 Пересечение множеств
Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} иB={c; d; e}. образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории icon1-й и 2-й семестры Множества и отображения
Множество и его элементы. Примеры множеств. Отношение включения и его свойства. Операции над множествами: пересечение, объединение,...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Системы линейных уравнений. Метод Гаусса Сведения из теории
Многие задачи естествознания своими моделями имеют системы линейных уравнений с несколькими неизвестными
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории iconСтановление теории множеств
Возникновение теории множеств (Г. Кантор). Множества конечные и бесконечные. Потенциальная и актуальная бесконечности. Парадоксы...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории iconТеория множеств Пояснения используемых символов
Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории iconВопросы к экзамену по теории множеств Основные понятия наивной теории множеств
Понятия множества, его элементов, пустого множества, конечного и бесконечного множеств
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории iconПрограмма курса "дискретная математика"
Дискретные множества. Характеристический век­тор множества и операции над множествами. Мощность прямого произведения множеств. Число...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org