Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012



Скачать 355.02 Kb.
страница1/5
Дата26.07.2014
Размер355.02 Kb.
ТипМетодические указания
  1   2   3   4   5
№ 2
Методические указания и контрольные задания

по курсу математического анализа (1 часть)

для студентов заочного факультета

по направлениям 210700, 220700, 230400

Санкт -Петербург

ГУТ


2012

Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400. № 5.

Сост. Г. М. Полевая, Г.И. Рудинская В. С. Стукалова, Н. К. Яновская. И.С. Перфилова. ГУТ СПб, 2012.
Методические указания содержат варианты контрольных работ по математическому анализу для студентов заочного отделения, а также указания по их выполнению и упражнения для самопроверки.

Функции одной переменной.



  1. Определение функции, способы её задания. Определение предела функции в точке. Определение функции, бесконечно малой в точке. Определение функции, бесконечно большой в точке.

  2. Леммы о функциях, бесконечно малых в точке.

  3. Теорема о пределе суммы.

  4. Теорема о пределе произведения. Формулировка теоремы о пределе частного.

  5. Теорема о предельном переходе в неравенстве.

  6. Теорема о «сжатой» переменной.

  7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Принцип эквивалентности.

  8. Доказательство формулы .

  9. Определения односторонних пределов функции. Два определения непрерывности в точке, их равносильность.

  10. Теорема о сумме, произведении и частном непрерывных функций. Области непрерывности элементарных функций.

  11. Точки разрыва функции и их классификация.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

  1. Определение производной, её физический и геометрический смысл.

  2. Вывод производных функций  (исходя из определения производной).

  3. Теорема о дифференцировании сложной функции. Вывод производных функций  и .

  4. Теоремы о дифференцировании суммы, произведения и частного функций.

  5. Вывод производных функций  и .

  6. Производные высших порядков. Пример: для  найти производную n-го порядка.


  7. Определение дифференциала функции, его геометрический смысл.

  8. Формулировка теоремы Лагранжа, её геометрический смысл.

  9. Признак постоянства функции на интервале. Определение возрастающей и убывающей на интервале функции. Признак монотонности функции.

  10. Определение экстремума функции. Необходимое условие существования экстремума.

  11. Достаточное условие экстремума, использующее первую производную.

  12. Достаточное условие экстремума, использующее вторую производную.

  13. Определение выпуклости и вогнутости кривой. Аналитический признак выпуклости и вогнутости кривой.

  14. Асимптоты кривой.

  15. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Дифференциальное исчисление функции

многих переменных.



  1. Определение функции двух переменных, её график.

  2. Поверхности второго порядка (эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды, цилиндрические поверхности).

  3. Частные производные 1-го и 2-го порядков для функции двух переменных.

  4. Полное приращение функции двух переменных. Выражение полного приращения через частные производные. Определение полного дифференциала.

  5. Производная сложной функции двух переменных.

  6. Дифференцирование функции, заданной неявно.

  7. Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума.

  8. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

  9. Определение производной по направлению, её вычисление.

  10. Градиент, его физический и геометрический смысл.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ.

Правило, которое каждому числу x из множества М ставит в соответствие одно определённое число y, называется функцией. Функция может быть задана аналитическим выражением, т.е. формулой вида y=f(x), графиком, таблицей чисел и т.д. Если функция чётная или нечётная, то обычно ограничиваются заданием функции только для неотрицательных x из М. Напомним, что:

если функция чётная, т.е. f(-x)=f(x), то часть графика, расположенная левее оси Oy, получается из части графика, расположенной правее оси Oy зеркальным отражением относительно оси Oy;

если функция нечётная, т.е. f(-x)=-f(x), то часть графика левее оси Oy получается из части, расположенной правее оси Oy, поворотом вокруг начала координат на 180◦.

Далее, если функция периодическая с периодом Т>0, то обычно ограничиваются заданием функции на любом отрезке длины Т. Напомним, что в этом случае f(x+T)=f(x) для любого xМ, и график всей функции может быть получен объединением заданного(на отрезке длины Т)графика со всеми кривыми, полученными сдвигом его вдоль оси Ox на Т, 2Т, 3Т,…вправо и влево.

Приведём примеры функций. Основные элементарные функции: степенная функция y=xn; показательная функция y=bx, где b>0 и b1; логарифмическая функция y=logcx, где c>0 и c1; тригонометрические функции y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; обратные тригонометрические функции y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

Знание графиков и простейших свойств этих функций необходимо для решения задач по этой теме. Напомним, например, графики функций y=x, y=x2, y=bx при b>1, y=sinx.

Известно(и ясно из чертежа), что: функция y=x нечётная, функция y=x2 чётная, функция y=sinx периодическая с периодом 2π и нечётная, функция y=bx не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической. Повторите свойства всех основных элементарных функций. Нарисуйте графики этих функций.

Элементарными называются функции, составленные из основных элементарных функций применением конечного числа четырёх арифметических действий и взятием функции от функции. Функции, задаваемые на разных участках числовой оси различными элементарными функциями, уже не будут элементарными.

Покажем на примерах как с помощью последовательных элементарных преобразований графика функции y=f(x) построить график функции y=kf(m(x+b))+l.

Пример1. Мгновенное значение тока в электрической цепи меняется по закону i(t)=Imsint+θ), где Im – амплитуда тока, ω – угловая частота гармонического колебания, t – текущее время, θ – начальная фаза тока. Нарисовать график функции i(t), если известно, что Im=3(A), ω=2(c-1), θ=(c-1).

По условию, i(t)=3sin(2t+). График этой функции построим, исходя из известного графика функции y=sint.

Прежде всего запишем функцию i(t) в виде i(t)= 3sin(2(t+)).

Строим одну волну графика функции y=sint.

Сжимаем этот график в 2 раза по оси Oy. Тем самым получаем график функции y=sin2t.

Растягиваем полученный график от оси Ot в 3 раза; получаем график функции y=3sin2t.

Сдвигаем кривую на  влево (не вправо!) вдоль оси Ot; получаем график функции y=3sin(2(t+)).

Продолжаем график на всю числовую ось, пользуясь периодичностью функции i(t). Период функции есть . См. рис.1.



Замечание. Амплитуда любого гармонического колебания всегда величина положительная. Так, если y=-2cos3t, то амплитуда равна 2(можно записать y=-2cos3t=2cos(3t+π)), угловая частота равна 3, период - ; если y=5sin(), то амплитуда 5, угловая частота , период 4π.

Пример 2. Построить график функции y=-. Напомним, что  . Следовательно, функция y= – чётная и её график см. рис.2. График функции y=- мы будем строить, исходя из графика функции y=.

Запишем исследуемую функцию в виде y=-. Строим график функции y=. Сжимаем этот график в  раза к оси Ox(т.е. растягиваем в 3 раза от оси Oy); получаем график функции y=.

Зеркально отражаем график относительно оси Ox; получаем график функции y=.

Сдвигаем график на  вправо (не влево!) вдоль оси Ox; получили график y=-. Сдвигаем график на  вниз вдоль оси Oy; получили искомый график. См. рис.3.



ПРЕДЕЛЫ.


Для непрерывных функций , так что вычисление  следует начинать с вычисления f(x0), если это возможно. В противном случае для вычисления  используются теоремы о пределах, а также теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших величинах (величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая, т.е. ); произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая, т.е.  и т.д. Если в результате вычисления получится число или , то это и есть искомый предел. Если же в процессе вычисления получится неопределённое выражение вида , то для «раскрытия неопределённости» производят такие преобразования исходного выражения, что неопределённость исчезает. Аналогичное правило действует и при вычислении .

Примеры:


3. Найти  и .

Пределы можно найти сразу:





=

4. Найти .

Это неопределённость вида , заданная отношением двух многочленов. Чтобы раскрыть эту неопределённость, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень x.

.

Вообще этот приём даёт (при a00, b0≠0):



.

Таким образом, этот предел определяется отношением слагаемых в числителе и знаменателе, содержащих высшие степени x.

5. Найти  и 

Эти пределы найти сразу нельзя, так как при подстановке x0 получим . Чтобы раскрыть неопределённость вида , заданную отношением многочленов, надо числитель и знаменатель разложить на множители и сократить дробь на общий множитель. Напомним, что разложение многочлена на множители сводится к нахождению его корней. Например, если квадратный трёхчлен  имеет корни x1 и x2, то  (не забудьте о множителе «a»!).



,



6. Найти .

Это неопределённость вида , заданная иррациональным выражением. Чтобы её раскрыть, надо избавиться от иррациональности в знаменателе (в данном случае), умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю.

.

7. Найти  и .

Это неопределённость вида , заданная тригонометрическими выражениями. Чтобы раскрыть такую неопределённость, можно воспользоваться правилом: при нахождении предела отношения двух бесконечно малых величин можно их заменять величинами эквивалентными. Вспомним, что две бесконечно малые называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице. Так, в силу , заключаем, что sinx и x - эквивалентны при . А потому при нахождении предела частного (произведения) синус бесконечно малого аргумента можно заменить самим аргументом, например .



.

.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ТОЧКИ РАЗРЫВА.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если, во-первых, она определена в этой точке, во-вторых, существует предел  и, в-третьих, этот предел равен значению функции в этой точке, т.е. =f(x0). Заметим, что существование  равносильно существованию односторонних пределов  и  и их равенству. Функция называется разрывной в точке x0, если она не является непрерывной в этой точке; в этом случае точка x0 называется точкой разрыва функции. Различают следующие виды разрывов функций:

устранимый ( существует и конечен, но либо функция не определена в точке x0, либо f(x0));

разрыв первого рода (не существует, но односторонние пределы  и  существуют и конечны);

разрыв второго рода (хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен).

В случае разрыва первого рода число h=- называется скачком функции f(x) в точке x0.

Напомним, что элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены. Таким образом, функция, заданная на разных участках числовой оси различными элементарными функциями, может иметь разрывы только в точках, в которых соответствующие функции не определены, или в точках, справа и слева от которых функция задана различными аналитическими выражениями.

Примеры:


8. Исследовать функцию  на непрерывность. Построить график.

Единственной точкой разрыва функции может быть точка x=1, так как составляющие исходную функцию элементарные функции y=x2 и y=x+2 непрерывны во всех точках.

Для исследования функции в этой, «подозреваемой», точке вычислим лево- и правосторонние пределы:

.

При вычислении первого предела мы воспользовались тем, что, если x<1, то f(x)=x2; при вычислении второго предела – что, если , то f(x)=x+2. Поскольку , то x=1 – точка разрыва первого рода; скачок функции в этой точке равен h=. График приведён на рис.4.



9. Исследовать функцию  на непрерывность. Построить график.

Функция y= непрерывна всюду; функция y= непрерывна всюду, за исключением точек, где она не определена, а она не определена в точках ; справа и слева от  функция задаётся различными формулами.

Таким образом, «подозрительными» на разрыв точками являются точки  и  .

Поскольку ,  , точка  – точка непрерывности исходной функции; далее, поскольку (при )

,

,

точки  являются точками разрыва второго рода исходной функции. График функции приведён на рис.5.



ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Производные и их вычисление.


  1   2   3   4   5

Похожие:

Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012 iconМетодические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения
Термодинамика и теплопередача: Метод указания и контрольные задания для студентов заочного отделения / Сост. Ю. А. Селянинов; Перм...
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012 iconМетодические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)»
Методические указания содержат варианты контрольных работ по курсу «Высшая математика (спецглавы)», для студентов факультета визо,...
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012 iconАнглийский язык методические указания и контрольные задания для студентов специальности 030501 "Юриспруденция" факультета заочного социально-экономического образования Мурманск 2010

Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012 iconМетодические указания и контрольные задания для студентов очного и заочного обучения специальностей 180403 «Эксплуатация сэу»
Методические указания предназначены для изучения курса «Электрооборудование судов». Теоретическая часть включает в себя два основных...
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012 iconМетодические указания и контрольные задания для студентов очного отделения
Начертательная геометрия. Методические указания и контрольные задания: / Новосиб гос аграр ун-т; сост. Т. В. Семенова, Г. А. Евдокимова,...
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012 iconПо курсу «метематика» для студентов заочного отделения направление 100400 туризм
Контрольные задания по курсу “Математика” для студентов заочного факультетов направления 100400 Туризм. – Спб: Изд-во Спбгуэф, 2012.–...
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012 iconПрограмма, методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения специальности 330200
...
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012 iconМетодические рекомендации и варианты контрольных заданий для студентов дневного отделения факультета математики Часть 5 санкт-петербург
Методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения 1-3 курсов математического факультета ргпу им. А. И. Герцена
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012 iconМетодические указания к изучению курса
Рабочая программа, методические указания к изучению курса «Ткачество» и контрольные задания для студентов заочного отделения по специальности...
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012 iconМетодические указания для самостоятельной работы в межсессионный период и подготовки к сдаче контрольных работ для студентов 1 курса заочного отделения по специальности 1-74 02 01 «агрономия»
Методические указания предназначены для студентов агрономического факультета заочного отделения. В них содержаться рекомендации по...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org