Интегральное исчисление функций одной переменной



Скачать 431.49 Kb.
страница1/4
Дата26.07.2014
Размер431.49 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4


Интегральное исчисление функций одной переменной

  1. Первообразная функция, ее свойства. Определение неопределенного интеграла, его простейшие свойства.

Первообразной функции называется такая функция , что =.

Её свойства: 1) Пусть непрерывна, F(x) –первообразная .

(F(x)+C)'=F'(x)=f(x)F(x)+C

2) Если две первообразные для функции на отрезке [a,b], то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство:



Неопределенный интеграл- множество первообразных данной функции .

Его свойства: 1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. F’(x)=f(x), то и

2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: или

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где а- некоторая постоянная. Действительно, в силу свойства 1) неопределенного интеграла и , т.е. выражения и являются неопределенными интегралами для одной и той же функции . Следовательно, они равны (в том смысле, что выражают одно и то же множество функций).

5) Неопределенный интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме их интегралов, т.е. . Доказательство: Как и в предыдущем случае, найдем производные левой и правой частей равенства:

, Таким образом, производные от левой и правой частей равенства равны между собой. Следовательно, выражения

gif" align=bottom> и представляют собой совокупность всех первообразных для одной и той же функции . Значит они равны.

6) Если , то .

Действительно, . Обозначим через и вспомнив правило вычисления производной сложной функции, имеем .


  1. Интегралы некоторых элементарных функций (таблица интегралов).


swscan0000500034

swscan0000500034


  1. Метод подстановки или замена переменной в неопределенном интеграле.

swscan0000500035


  1. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

swscan0000500036


  1. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

, где и -многочлены от х.

дробь правильная

дробь неправильная, тогда , где -многочлен, а -правильная дробь.

Любой многочлен с действительными коэффициентами можно записать в виде:



Простейшие дроби называются функции двух видов: 1)

2)

Всякая правильная дробь представима, причем единственным образом, в виде суммы простейших дробей. -неизвестные коэффициенты





  1. Алгоритм и интегрирования рациональных дробей.

Алгоритм взятия интеграла вида : 1) если дробь неправильная выделить целую часть

2) Знаменатель дроби разложить на множители.

3) Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей.

4) Проинтегрировать простейшие дроби.




  1. Интегралы от простейших (элементарных дробей).


  1. Интегралы вида . Универсальная подстановка и другие подстановки.

Вычисление неопределенных интегралов вида сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.

Другие подстановки: 1)Интегралы типа .

а) подстановка , если n-целое положительное нечетное число;

б) , если m-целое положительное нечетное число

в) формулы понижения степени

г) , если m+n-есть четное отрицательное число

2) тригонометрические преобразования

3) дробно-линейная подстановка





  1. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Интегралы вида:

и .


  1. Тригонометрические и гиперболические подстановки. Интегралы вида:




  1. Интегрирование дифференциального бинома.

, здесь m,n,p-рациональные числа.

Теорема П.Л.Чебышева.

Интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции только в трех случаях.

  1. Если p-целое.

  2. Если



Рассмотрим подробно эти случаи:

  1. Если p-целое.

Если обозначим через r-наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n, то получим:

Пусть p- дробное число. Сделаем замену .

2) - целое число

Пусть . Используя замену , получаем:



3) целое число.



s- знаменатель числа p. Замена сводит интеграл



к интегралу от рациональной функции t


  1. Определение определенного интеграла, его простейшие свойства.

Пусть дана функция Если предел существует и не зависит от выбора точек , то функция называется интегрируемой на отрезке [a;b], а предел называется определенным интегралом от функции на отрезке [a;b] и обозначается символом .

Можно сказать, что определенный интеграл существует, если функция f(x) ограничена на отрезке [a;b] и имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва.

Основные свойства определенного интеграла.


  1. Для любого действительного числа справедливо равенство

В самом деле, для любой интегральной суммы функции имеем



, поэтому предел таких сумм при равен .

  1. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b]. Тогда для любого действительного числа функция также интегрируема на [a;b] и выполняется равенство

,

Т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Т.к интегральная сумма функции имеет вид

то .

Это означает, что функция интегрируема на [a;b] и справедлива формула





  1. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b] и выполняется равенство:

, т.е интеграл от суммы(разности) равен сумме(разности) интегралов.

  1. Если на отрезке [a;b] функции f(x) и g(x) интегрируемы и , то справедливо неравенство:



  1. Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b], тогда она интегрируема на любом отрезке, содержащемся в [a;b]. Кроме того, если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;c] и интегрируема на отрезке [c;b], то она интегрируема на отрезке [a;b] и справедливо равенство .

  2. Если на отрезке [a;b] выполняется неравенство

Где m и M некоторые числа, то .


  1. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла

  1. Вычисление площади фигуры в декартовых координатах.



  1. Площадь фигуры в случае параметрического задания функций.



  1. Вычисление площади фигуры в полярных координатах

1




  1. Вычисление объема по известной площади поперечного сечения.

2



  1. Объем тела вращения



  1. Длина дуги кривой

  2. Длина дуги задана параметрически

  3. Длина дуги кривой в полярных координатах



  1. Площадь поверхности вращения:

Физический смысл Определенного интеграла.

  1. Задача о вычислении пути.

Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой скоростью v=v(t). Требуется найти путь, который пройдет эта точка за промежуток времени от t=a до t=b.

В общем случае, когда скорость непостоянна, поступают следующим образом.

Промежуток времени [a;b] разбивают точками на n отрезков одинаковой длины. Длина каждого отрезка равна

Выбрав на каждом отрезке произвольную точку , составляют сумму .

Каждое слагаемое этой суммы дает приближенное значение пути, пройденного материальной точки за некоторое время.

Весь путь, пройденный точкой за время от t=a до t=b, приближенно выражается этой суммой.



3будет тем лучше, чем меньше отрезки разбиения.

Путь, пройденный точкой за отрезок времени [a;b] будет:.

Этот предел, есть определенный интеграл от функции v(t) на отрезке [a;b] => путь будет равен:

.


  1. Задача о силе давления жидкости

Пусть пластина в виде криволинейной трапеции погружена вертикально в жидкость с плотностью .

Если пластина находится в горизонтальном положении на глубине h, то сила давления P жидкости будет равна весу столба жидкости , имеющего основанием данную пластину, а высотой h, т.е. ,где g- ускорение силы тяжести, S- площадь пластины.

Если же пластина погружена в жидкость вертикально, то по данной формуле силу давления жидкости на неё вычислить нельзя, т.к. в этом случае давление жидкости на единицу площади пластины изменяется с глубиной погружения, т.е зависит от расстояния площадки до поверхности жидкости.

При решении задач будем учитывать тот факт, что по закону Паскаля давление в жидкости передается одинаково во всех направлениях , в том числе и на вертикальную площадку.

Разобьем пластину на n частей (малых горизонтальных полосок) прямыми , параллельными поверхности жидкости (т.е параллельным оси Oy) и проходящими через точки где Для достаточно узких полосок давление во всех частях можно считать приближенно одинаковым, а саму полоску можно принять за прямоугольник с высотой и основанием, равным нижнему основанию полоски..

Точное значение силы давления на пластину жидкости определяется по формуле





  1. Работа переменной силы.

  2. Вычисление статических моментов и координат центра масс плоской кривой.



Координаты центра масс

5)Масса материальной точки



  1. Свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке и о среднем значении.

Основные свойства определенного интеграла.

1) Для любого действительного числа справедливо равенство

В самом деле, для любой интегральной суммы функции имеем



, поэтому предел таких сумм при равен .

  1. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b]. Тогда для любого действительного числа функция также интегрируема на [a;b] и выполняется равенство


,

Т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Т.к интегральная сумма функции имеет вид

то .

Это означает, что функция интегрируема на [a;b] и справедлива формула






  1. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b] и выполняется равенство:

, т.е интеграл от суммы(разности) равен сумме(разности) интегралов.

  1. Если на отрезке [a;b] функции f(x) и g(x) интегрируемы и , то справедливо неравенство:



  1. Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b], тогда она интегрируема на любом отрезке, содержащемся в [a;b]. Кроме того, если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;c] и интегрируема на отрезке [c;b], то она интегрируема на отрезке [a;b] и справедливо равенство .

  2. Если на отрезке [a;b] выполняется неравенство

Где m и M некоторые числа, то .

Теоремы об оценке и о среднем значении.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда на этом отрезке существует такая точка c, что ***

Д-во:


Если a=b, то эта формула очевидна. Пусть a при любом поэтому . Разделив эти неравенства на b-a, получим

Отсюда следует справедливость формулы *** . Действительно, так как функция f(x) непрерывна на [a;b], то она принимает любое значение из отрезка [m;M] и, в частности, значение, равное т.е существует такая точка что

Если же a>b, то , где , и теорема доказана

  1   2   3   4

Похожие:

Интегральное исчисление функций одной переменной icon«Интегральное исчисление функций одной переменной»
Задачи для подготовки к экзамену по теме «Интегральное исчисление функций одной переменной»
Интегральное исчисление функций одной переменной iconМодуль Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл 3 Понятие неопределенного интеграла и его свойства
Модуль Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл 3
Интегральное исчисление функций одной переменной iconД. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик
Интегральное исчисление функций одной переменной iconУчебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика»
В математику. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Интегральное исчисление функций одной переменной iconИнтегральное исчисление функции одной переменной Задание 1
Задание Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
Интегральное исчисление функций одной переменной iconИнтегральное исчисление функции одной переменной
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры “Математические методы и информационные технологии” Дальневосточной академии...
Интегральное исчисление функций одной переменной iconПланы семинарских занятий по дисциплине «Математика» (Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменных) 1 курс 2 семестр
Повторение: дифференцирование и интегрирование функции одной переменной. Примеры на усмотрение преподавателя
Интегральное исчисление функций одной переменной icon«Дифференциальное исчисление функций одной переменной» иметодические рекомендации к ней для студентов очной формы обучения для инженерных направлений
Дифференцирование функций, заданных параметрически, неявно. Логарифмическое дифференцирование
Интегральное исчисление функций одной переменной iconИнтегральное исчисление и функции многих переменных Часть Интегральное исчисление
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования. Замена переменного и...
Интегральное исчисление функций одной переменной iconИнтегральное исчисление функции одной переменной
Таким образом, здесь оказывается нужным по функции µ § восстановить ту функцию µ §, для которой µ § является производной, и замет,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org