Разработка урока в 10 классе с углублённым и профильным изучением математики Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: моу лицей №1 г. Балаково



Скачать 162.91 Kb.
Дата26.07.2014
Размер162.91 Kb.
ТипРазработка урока
Комитет образования администрации Балаковского муниципального района Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №1»
Тригонометрические уравнения с ограничениями на множестве решений.

Разработка урока в 10 классе с углублённым и профильным изучением математики

Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: МОУ «Лицей №1 г.Балаково

Предмет: алгебра и начала математического анализа

Учебный план – 7 часов в неделю (из них 5 ч. – алгебра и начала математического анализа, 2 ч. – геометрия)

Класс: 10 с углублённым изучением физики и математики

Тема: Тригонометрические уравнения с ограничениями на множестве решений

Тип урока: формирование знаний

Класс сформирован из учащихся, проявляющих склонность к серьёзному изучению естественных наук и в частности математики. Обучающиеся этого класса изучают углублённый курс математики третий год. Успешно прошли Государственную итоговую аттестацию (8 учеников набрали 100 баллов)

Цели урока:

образовательные: дальнейшее формирование умений систематизировать, обобщать, видеть закономерности, формирование умения решать задания разными способами, привлекая разнообразный теоретический материал из всего курса, формирование умения решать тригонометрические уравнения с отбором корней;

развивающие: развитие мыслительных операций посредством наблюдений , сравнений, сопоставления, сознательного восприятия учебного материала, развитие математической культуры и речи учащихся;

воспитательные: воспитание познавательной активности, чувство ответственности, уверенности в себе.

Оборудование: мультимедийный проектор

Этапы урока и их содержание

Время

(мин)

Деятельность

учителя

ученика

1. Организационный момент

2. Постановка цели

Сегодня на уроке мы рассмотрим ряд задач, связанных с решением тригонометрических уравнений, в которых нужно произвести отбор корней, подчинив их заданным условиям. Умение решать такого

рода задачи поможет вам успешно выполнить задание С1 при сдаче ЕГЭ.

3. Актуализация знаний учащихся

В процессе изучения сегодняшней темы нам потребуется применять некоторые тождества для упрощения выражений. Предлагаю вам доказать два полезных тождества:

1) =;

2) gif" align=absmiddle hspace=8> = 2sec.



4. Изучение нового материала

Рассмотрим на конкретных примерах приёмы решения тригонометрических уравнений, в которых надо выполнить отбор корней, удовлетворяющих заданным условиям.



Пример 1. Для уравнения = 0 найдите все корни, лежащие в промежутке .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:



24(















Следовательно, данное уравнение запишется в виде:







(*)

Решим первое уравнение совокупности (*):











;

Второе уравнение совокупности (*) не имеет решений т.к. .

Очевидно, что из всех корней данного уравнения заданному промежутку принадлежит корень

Ответ:



Пример 2. Для уравнения найдите все корни, удовлетворяющие неравенству – 1) > 0. Решение. Найдём сначала условие, которому должны удовлетворять корни данного уравнения:

– 1) > 0,

> – 1).

В силу того, что – 1) 0, а левая часть неотрицательна на области определения данного неравенства, то получим ≥ 0, откуда ≥ 1.

Перенесём все слагаемые данного уравнения в левую часть и запишем его в виде



Затем преобразуем левую часть полученного уравнения следующим образом





4 4 =

= 4 =





После выполненных преобразований получим уравнение











Учитывая, что ≥ 1, делаем вывод откуда



n, nєZ.

Ответ: n, nєZ.



Пример 3. Для уравнения найдите сумму всех корней, удовлетворяющих неравенству ≤ ≤ 0.

Решение. Найдём сначала множество решений данного неравенства:

D=



или

Таким образом, получим неравенство ( )(,

множество решений которого есть промежуток [; 8].

Теперь найдём множество решений уравнения .



;









n, nєZ;

n, nєZ.

Найдём, сколько корней данного уравнения находится в промежутке [; 8]. Для этого решим неравенство





nєZ,

nєZ,

є { 0; 1;2;3;4

Так как корни рассматриваемого тригонометрического уравнения составляют арифметическую прогрессию с разностью , то не возникает необходимости искать каждый корень уравнения в отдельности. Достаточно найти первый корень уравнения. Он равен нулю, а далее по формуле суммы первых членов арифметической прогрессии находим



Ответ:



Пример 4. Для уравнения

дите все корни, принадлежащие

области определения функции

Решение. Найдём область определения данной функции:



. (*) Заметим,

что <



<0. Разделив обе части неравен

ства (*) на , получим откуда

Найдём множество решений уравнения . Перепишем это уравнение в следующем виде и упростим его левую часть.



=















= =

=

=

После всех этих преобразований данное уравнение примет вид:





откуда

Осталось решить неравенство



, и записать ответ.

, , следовательно, {-3;-2;-1;0; 1;2;3

Подставляя каждое из найденных значений в формулу, получим -

Ответ:

5. Закрепление изученного материала

(Проводится по вариантам с последующей проверкой у доски и применением мультимедийного проектора).



Вариант 1.

1. Для уравнения найдите все корни, лежащие в промежутке

2. Для уравнения найдите все корни, удовлетворяющие неравенству

Вариант 2.

1. Для уравнения



найдите сумму всех корней, удовлетворяющих неравенству ≤ 0.

2. Для уравнения



найдите все корни, принадлежащие области определения функции

6. Домашнее задание (выводится на экран с помощью мультимедийного проектора)

1. Для уравнения найдите все корни, лежащие в промежутке .

2. Для уравнения

найдите все корни, удовлетворяющие неравенству

3. Для уравнения

найдите сумму всех корней, удовлетворяющих неравенству + >0.

4. Для уравнения



найдите все корни, принадлежащие области определения функции

+

5. (Выполняется по желанию учащихся). Решите уравнение







7. Подведение итогов обучения

Решение тригонометрических уравнений с отбором корней, подчинённых заданным условиям требует от учеников стабильных теоретических знаний, успешного применения формул и, конечно же, в достаточной степени интуиции, навыки которой формируются, в том числе, и при решении большого числа интересных тригонометрических уравнений. Не случайно эта тема выносится в часть С Единого государственного экзамена. Учитывая мнения консультантов и мои наблюдения, все ученики получают оценки за урок




1

2

3



24

10

3



2

Организационная

Сообщает тему урока, дату про-

ведения урока, цель урока

Через одну-две минуты учитель предлагает ученикам у доски воспроизвести доказательство предложенных тождеств

При объяснении решения примера 1 необходимо обратить внимание учащихся на те неочевидные и достаточно непростые преобразования, которые используются при разложении левой части на множители. Сообщить учащимся, что разложить левую часть уравнения на множители можно, применив метод неопределённых коэффициентов

Необходимо сделать акцент на том, где учащиеся чаще всего допускают ошибку, возводя обе части неравенства в квадрат, не обращая внимания на то, что выражение – 1) меньше нуля.

Упрощая левую часть данного уравнения подчеркнуть тот момент, где применяется тождество

=

=, доказанное учащимися в начале урока

Преобразования, выполняемые для приведения уравнения к простейшему виду достаточно просты и очевидны, поэтому учитель предлагает выполнить их самим учащимся, получив при этом возможность пронаблюдать, как проходит усвоение нового материала

По ходу решения вспомнить с учащимися формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии

Упрощение левой части уравнения не должно вызывать у учащихся особых затруднений и тем, не менее этот пример комментируется учителем от начала до конца

Учитель раздаёт карточки с текстом самостоятельной работы в двух вариантах

После выполнения самостоятельной работы учитель выводит краткое решение на экран с помощью мультимедийно – го проектора

Комментарий должен быть предельно краток, так как задания подобраны аналогичные тем, что разбирались на уроке. Однако,

последнее задание может вызвать у учащихся определённые затруднения, поэтому его надо прокомментиро – вать отдельно, обратив при этом внимание на отбор корней, который необходимо сделать в процессе решения этого уравнения (полное решение даётся в приложении №2)


Дежурный сообщает об отсутсвующих

Записывают в тетрадях

Учащиеся работают над доказательст-

вом тождеств в тетрадях

Записывают в тетрадях решение примера и по ходу его при необходимости задают вопросы.

Один ученик на боковой доске выполняет упрощение левой части данного уравнения методом неопределён-

ных коэффициентов

(см. приложение №1)

Записывают в тетрадях решение примера и по ходу его при необходимости задают вопросы.

Один ученик на боковой доске выполняет решение этого

уравнения и затем его решение комментируют учащиеся

Учащиеся делают запись в тетрадях и при необходимости получают ответы учителя на возникшие вопросы

Учащиеся выполняют самостоятель-

ную работу и в процессе её выполнения могут обратиться за консультацией к учителю

Учащиеся проверяют свои решения.

Консультанты из числа сильных учащихся помогают учителю оценить работы остальных учеников

Внимательно слушают комментарий учителя, а затем записывают задание в тетради

Приложение №1



Пример 1. (Решается с помощью метода неопределённых коэффициентов) Для уравнения 0 найдите все корни, лежащие в промежутке .

Решение.





24(

(1)

Пусть где уравнение (1) примет вид:



(2)

Попробуем разложить левую часть на множители, используя метод неопределённых коэффициентов:











Учитывая, что два многочлена тождественно равны, если равны их соответствующие коэффициенты, получим систему уравнений:



Найдём целые решения переменных подбором:































Следовательно уравнение (2) запишется так:

В силу того, что квадратный трёхчлен принимает только положительные значения (D<0 и первый коэффициент 4>0), получим



;

Оставляем только , так как

Возвращаясь к переменной получим

Очевидно, что из всех корней данного уравнения заданному промежутку принадлежит корень

Ответ:

Приложение №2

Решение последнего уравнения из домашнего задания, которое предложено учащимся выполнить по их желанию.

Используя известные соотношения |a|=|-a| и |a + b| ≤ |a | + |b|, получим









Таким образом, мы нашли, что множество решений неравенства есть множество целых чисел от 1 до 100.

Найдём теперь множество решений данного уравнения, учитывая, что .





Ответ:

Список литературы

1. Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд. Алгебра и начала математического анализа. 10кл. : Учебное пособие для школ и классов с углублённым изучением математики. М. : Мнемозина, 2009.

2. Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд. Алгебра и начала математического анализа. 11кл. : Учебное пособие для школ и классов с углублённым изучением математики. М. : Мнемозина, 2009.

3. М.Л.Галицкий, М.М.Мошкович, С.И.Шварцбурд. Углублённое изучение алгебры и математического анализа. Методические рекомендации и дидактические материалы. М. : Просвещение, 1997.

4. В.И.Рыжик, Т.Х.Черкасова. Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу для 10-11 классов. Учебное пособие для профильной школы. Санкт-Петербург: СМИО Пресс, 2008.

5. А.П.Карп. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для школ и классов с углублённым изучением математики. М. : Просвещение, 1995.

6. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев. Математика (Алгебра. Начала математического анализа). Учебник для 10 класса профильной школы. Москва: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2007.

7. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев. Математика (Алгебра. Начала математического анализа). Учебник для 11 класса профильной школы. Москва: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2008.

8. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев, Т.А.Олейник, Т.В.Соколова. Математика (Алгебра. Начала математического анализа). Методическое пособие для 10 класса. Москва: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2008.

9. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев, Т.А.Олейник, Т.В.Соколова. Математика (Алгебра. Начала математического анализа). Методическое пособие для 11 класса. Москва: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2010.



10. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев, Т.А.Олейник, Т.В.Соколова. Математика (Алгебра. Начала математического анализа). Задачник. Москва: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2009.

11. И.М.Петрушко, В.И.Прохоренко, В.Ф.Сафонов. Математика. Банк задач для вступительных испытаний в МЭИ. Пособие для абитуриентов. М. : Издательство МЭИ, 2006.

Похожие:

Разработка урока в 10 классе с углублённым и профильным изучением математики Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: моу лицей №1 г. Балаково iconРазработка урока алгебры в 8А классе с углубленным изучением математики школы №10 г. Щёлково. Учитель: скрябина г. В
Разработка урока алгебры в 8А классе с углубленным изучением математики школы №10 г. Щёлково
Разработка урока в 10 классе с углублённым и профильным изучением математики Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: моу лицей №1 г. Балаково iconРазработка урока по алгебре и математическому анализу в классе с углубленным изучением математики по теме

Разработка урока в 10 классе с углублённым и профильным изучением математики Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: моу лицей №1 г. Балаково iconАнализ деятельности средней общеобразовательной школы с углубленным изучением отдельных предметов №84 за 2009-2010 учебный год
Наша школа работает с 1962 года. С 2000 года мы – моу сош с углубленным изучением немецкого языка, с 2004 года – с углубленным изучением...
Разработка урока в 10 классе с углублённым и профильным изучением математики Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: моу лицей №1 г. Балаково iconУрока математики во 2 классе. Фёдорова С. Ю., учитель начальных классов, моу «сош №11»
Закрепление таблицы единиц длины. Счет в пределах 100. «Хочу все знать» (Фрагмент урока математики во 2 классе.)
Разработка урока в 10 классе с углублённым и профильным изучением математики Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: моу лицей №1 г. Балаково iconБелова Любовь Эдуардовна Учитель начальных классов моу «сош №161» г. Зеленогорск разработка урока математики в 4-м классе по программе «Школа 2100» Тема: решение
Совершенствовать умения решать и составлять взаимообратные задачи на встречное движение, на движение в противоположных направлениях...
Разработка урока в 10 классе с углублённым и профильным изучением математики Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: моу лицей №1 г. Балаково iconЕ. Ф. учитель математики маоу лицей №1. Рекомендации для выпускников и их родителей по подготовке к егэ по математике. Экзамен состоит из двух частей: первая, состоящая из 14 задач В1- в14 с кратким ответом. Правильное решение
Составители: Мухамбетова С. Р. –учитель математики маоу лицей №1, Хрычкина Е. Ф. –учитель математики маоу лицей №1
Разработка урока в 10 классе с углублённым и профильным изучением математики Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: моу лицей №1 г. Балаково iconЦикл уроков физики в 9 классе Тема: «Кинематика» 1 урок : «Физическая теория и научная картина мира»
Моу гатчинская сош №9 с углубленным изучением отдельных предметов; учитель физики Шишкина М. Н
Разработка урока в 10 классе с углублённым и профильным изучением математики Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: моу лицей №1 г. Балаково iconРазработка урока биологии «Неклеточные формы жизни. Вирусы»
...
Разработка урока в 10 классе с углублённым и профильным изучением математики Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: моу лицей №1 г. Балаково iconПрограмма развития моу сош №141 с углубленным изучением математики Первомайского района

Разработка урока в 10 классе с углублённым и профильным изучением математики Учитель: Мигунов Фёдор Юрьевич. Школа: моу лицей №1 г. Балаково iconУроках математики в 7-м классе моу сош №53 учитель математики Волосатова Елена Викторовна Скажи мне, и я забуду
Мастер-классе «Виды исследовательских работ учащихся на уроках математики в 7-м классе»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org