Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены



Скачать 71.56 Kb.
Дата26.07.2014
Размер71.56 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»

В. Д. Бочкарева

Алгебра в примерах и задачах.

Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены

Учебно-методическое пособие


Саранск 2012



Многочлены от нескольких неизвестных.

Симметрические многочлены
Задача 45. Указать системы показателей и степень следующих одночленов от неизвестных:

,

.

,

.

,

.

,

.

Решение.

а)

система показателей

степень



б)

система показателей

степень



в)

система показателей

степень



г)

система показателей

степень .



Задача 46. Указать компоненты многочлена

.

Решение.

gif" align=bottom> (однородная компонента степени 6),

(однородная компонента степени 4),

(однородная компонента степени 3).

Задача 47. Записать многочлен

лексографически.



Решение. Одночлен считается выше (старше) одночлена , если существует такой номер , () для которого , , . Выбираем из всех одночленов многочлена самый высокий член: . Из оставшихся членов – тоже самый высокий член: , из оставшихся – , затем – , затем – . В итоге запишем многочлен в порядке убывания высоты членов:

.

Задача 48. В многочлене

выделить переменную .



Решение. Для решения поставленной задачи надо сгруппировать одночлены, имеющие одинаковые степени и в каждой такой группе за скобки вынести соответствующую степень : .

В полученной записи многочлен представляет собой многочлен от одного неизвестного над кольцом .



Задача 49. Является ли многочлен симметрическим?

Решение. Многочлен является симметрическим, если он допускает все подстановок своих неизвестных. Запишем эти подстановки:

,

,

,

,

,

.

Осуществим подстановку : – подстановка допускается многочленом . Осуществим подстановку :

- подстановка не допускается многочленом , то есть многочлен не является симметрическим.



Основная теорема.

Всякий симметрический многочлен над полем может быть представлен над этим полем в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов , где:









……………………….

,

причем это представление единственное.

Для однородного симметрического многочлена выражение через может быть найдено следующим образом. Пусть степень однородности многочлена равна . Тогда строим дополнительные многочлены с той же степенью однородности, симметрические.

Пусть высший член многочлена имеет систему показателей . Это система неотрицательных целых чисел, удовлетворяющих условиям




  1. .

Согласно системе показателей и коэффициенту высшего члена строим многочлен .

Теперь выпишем все возможные наборы длины неотрицательных целых чисел таких, что







  1. .

Для каждого из этих наборов строим дополнительный многочлен с неопределенным коэффициентом:

.

Тогда .

Чтобы найти неопределенные коэффициенты надо задать неизвестным столько вариантов заданий (без соблюдения симметричности), сколько имеется неопределенных коэффициентов . Затем для каждого варианта заданий неизвестных надо подсчитать значение многочленов . А затем подсчитать значе6ния многочлена исходя из его выражения через и через . В результате мы получим систему линейных уравнений, решая которую узнаем значения неопределенных коэффициентов .

Задача 50. Выразить симметрический многочлен

через элементарные симметрические функции.



Решение. Высший член данного многочлена равен . Его система показателей: . Тогда дополнительный многочлен

.

Выписываем все наборы трех неотрицательных целых чисел, сумма которых равна степени однородности заданного многочлена, то есть 3, такие которые будут невозрастающими:



.

Первому набору соответствует дополнительный многочлен



.

Второму набору соответствует дополнительный многочлен



.

В итоге имеем: .

Дальнейшие рассуждения удобнее оформить в таблицу.

















1

1

0

2

2

1

0



1

1

1

3

3

3

1



Тогда, учитывая, что , имеем:

или , то есть .

Следовательно, .



Задача 51. Выразить через элементарные симметрические многочлены многочлен .

Решение. Раскрыв скобки, представим многочлен в виде суммы однородных многочленов:

.

Каждую однородную компоненту представляем в виде многочлена от элементарных симметрических функций:



Следовательно, .



Задача 52. Найти сумму кубов корней многочлена .

Решение. Многочлен от одного неизвестного третьей степени с вещественными коэффициентами в поле комплексных чисел имеет в точности три корня . Требуется найти . Рассмотрим многочлен – это однородный симметрический многочлен со степенью однородности 3. Его можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических функций , , .

Тогда , где , , можно найти по формулам Виета.



, ,

.

Следовательно, .



Выражение степенных сумм через элементарные

симметрические многочлены
Степенными суммами называются симметрические многочлены

.

С элементарными симметрическими многочленами они связаны формулами Ньютона:





.

В этих формулах можно последовательно находить выражения через (или наоборот).



Задача 53. Выразить симметрический многочлен

через элементарные симметрические многочлены.



Решение. Многочлен представляет собой степенную сумму, для которой , то есть . Используем первую формулу Ньютона:

; ,

.

Следовательно, .




ЛИТЕРАТУРА





  1. Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.

  2. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с.

  3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. – 160 с.

  4. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.

  5. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. – 144 с.

  6. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.

  7. Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.

  8. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.: Просвещение, 1969. – 276 с.

  9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.

  10. Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.

  11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.

  12. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во МГУ, 1965. – 40 с.

  13. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. – 183 с.

  14. Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. – 302 с.

  15. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. – 332 с.

  16. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.

  17. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977. – 228 с.

  18. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1982. – 223 с.

Похожие:

Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Метод неопределенных коэффициентов и его применение
Метод неопределенных коэффициентов основан на определении равенства двух многочленов: многочлены и называются равными, если равны...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены icon2 Приближение функций многочленами [10 часов]
Аппроксимация мнк в различных базисах: базис «алгебраических» многочленов, ортогональные базисы (многочлены Лежандра, «факториальные»...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены iconРабочая программа по дисциплине Алгебра для специальности (направления)
Виета; наибольший общий делитель многочленов, его нахождение с помощью алгоритма Евклида; кольцо многочленов от нескольких переменных;...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Алгебраические структуры
Под внутренней операцией понимается при этом, по существу, функция (не обязательно всюду определенная) нескольких аргументов из со...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены iconУчебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012

Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены iconРабочая учебная программа по курсу по выбору «Симметрические многочлены» Для Проп по направлению «050100 Педагогическое образование»
Ершова Т. И., к ф м н., доцент кафедры алгебры и теории чисел Ургпу, математический факультет
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены iconПриложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных
Обозначим многочлен от переменных x и y через Р(x;y). Тогда P(y;x) означает многочлен, получаемый заменой в P(x;y) переменной x на...
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Лабораторная работа № Бинарные отношения
Построить граф и график этого отношения. Какими свойствами обладает это отношение? Решение
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Отображения. Функции Сведения из теории
Пусть даны некоторые множества и. Бинарное соответствие из в называется отображением множества в множество, если
Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 тр аналитическая геометрия Теоретические вопросы: Уравнения прямой на плоскости
Расстояние прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org