Приложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных



Скачать 52.98 Kb.
Дата26.07.2014
Размер52.98 Kb.
ТипДокументы
Приложение 7

Симметрические многочлены от двух переменных
Обозначим многочлен от переменных x и y через Р(x;y). Тогда P(y;x) означает многочлен, получаемый заменой в P(x;y) переменной x на y, а y на x. Например, если

P(x;y) = 6x4 – 3x3y + 7xy3 + 8y4, то

P(y;x) = 6y4 – 3y3x + 7yx3 + 8x4.

Если выполняется равенство P(x;y) = P(y;x), то многочлен P(x;y) называют симметрическим. Например, симметрическими являются многочлены x + y, xy. В самом деле, при замене x на y и y на x из x + y получается равный ему многочлен y + x, а xy – равный ему одночлен yx. Приведем другие примеры симметрических многочленов: x2 + y2 – 5, 3x3 + 7xy + 3y3.

Введем обозначения u = x + y и v = xy, назовем u и v элементарными симметрическими многочленами от x и y. Симметрическими являются и многочлены Sn = xn + yn – при замене x и y и y на x они переходят в равные им многочлены yn + xn.

Теорема. Для любого симметрического многочлена P(x;y) от x и y существует такой многочлен f(u;v) от u и v, что

P(x;y) = f(x + y; xy).

Таким образом, любой симметрический многочлен от двух переменных x и y можно выразить в виде многочлена от u = x + y (1) и v = xy (2).

Пример. P(x;y)= 2x4 – 3x3y + 5x2y2 – 3xy3 + 2y4.

Сначала сгруппируем симметричные друг другу слагаемые и вынесем за скобки общие множители. Получим:

P(x;y) = (2x4 + 2y4) – (3x3y + 3xy3) + 5x2y2=2(x4 + y4) – 3xy(x2 + y2) + 5x2y2.

Так как u = x + y и v = xy, получаем:

P(x;y)= 2(x4 + y4) – 3v(x2 + y2) + 5v2.

Выразим x2 + y2 и x4 + y4 через элементарные симметрические многочлены u и v.

x2 + y2 = (x2 + 2xy + y2 – 2xy) = (x + y)2 – 2xy = u2 – 2v.

x4 + y4 = (x2)2 + (y2)2=(x2 + y2)2 – 2x2y2=(u2 – 2v)2 – 2v2=u4 – 4u2v + 4v2 – 2v2 = = u4 – 4u2v + 2v2.

P(x;y)= 2(u4 – 4u2v + 2v2) – 3v(u2 – 2v) + 5v2= 2u4 - 8 u2v + 4 v2 - 3vu2 + 6v2 +5v2 +5v2 = 2u4 - 8 u2v - 3vu2 + 15v2, где u = x + y и v = xy.

Задание: разложить на множители 10x4 – 27x3y - 110x2y2 – 27xy3 + 10y4.

Решение.


10x4 – 27x3y - 110x2y2 – 27xy3 + 10y4 = (10x4 + 10y4) – (27x3y +27xy3) - 110x2y2 = 10(x4 + y4) – 27xy(x2 + y2) - 110x2y2.

Пусть u = x + y и v = xy, тогда x2 + y2 = u2 – 2v, x4 + y4 = u4 – 4u2v + 2v2.

Получим 10(u4 – 4u2v + 2v2) – 27v(u2 – 2v) – 110v2 = 10u4 – 40u2v + 20v2 – 27u2v + 54v2 – 110v2 = 10u4 – 67u2v - 36v2 = 10u4 – 72u2v + 5u2v – 36v2 = 10u2(u2 – 36/5v) + 5v(u2 – 36/5v) = (u2 – 36/5v)(10u2 + 5v) = 10(u2 + 1/2v) (u2 – 36/5v).

Вернемся к исходным переменным:

10(u2 + 1/2v) (u2 – 36/5v) = 10((x + y)2 + 1/2xy)((x + y)2 + 36/5xy) = 10(x2 + y2 + 2,5xy)( x2 + y2 + 9,2xy).

Ответ: 10x4 – 27x3y - 110x2y2 – 27xy3 + 10y4 = 10(x2 + y2 + 2,5xy)( x2 + y2 + 9,2xy).



Симметрические многочлены от трех переменных
Определим понятие симметрического многочлена от трех переменных x, y, z. Три переменные можно переставлять друг с другом шестью различными способами:

(x; y; z); (x; z; y); (x; z; y); (y; z; x); (z; x; y); (z; y; x).

Назовем Р(x; y; z) симметрическим, если он не меняется при всех перестановках переменных, т. е. если

Р(x; y; z) = Р(x; z; y) = Р (x; z; y) = Р(y; z; x) = Р(z; x; y) = Р(z; y; x).

Примерами таких многочленов могут служить:

1 = x + y + z; 2 = xy + x2 + yz; 3 = xyz.

Симметрическими многочленами являются и суммы Sn = xn + yn + zn.

Симметрические уравнения

Симметрическое уравнение (коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки если n – четное; если n – нечетное, то уравнение имеет корень х = -1.

Пример. + 3х³ - 16 х² + 3х + 2 = 0.

Решение.


+ 3х³ - 16 х² + 3х + 2 = 0 - симметрическое уравнение.

Разделим обе части уравнения на х²≠0, получим т. е. Обозначим тогда



Получаем Следовательно, имеем

и ,

Об

Ответ: 2 и

Симметрические системы уравнений

Система уравнений называется симметрической, если при замене x на y и y на x система не изменяется.



Например, x3y + y3x = 8,

2xy + x2 + y2 = 6.

Похожие:

Приложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных iconРабочая программа по дисциплине Алгебра для специальности (направления)
Виета; наибольший общий делитель многочленов, его нахождение с помощью алгоритма Евклида; кольцо многочленов от нескольких переменных;...
Приложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены
Задача 45. Указать системы показателей и степень следующих одночленов от неизвестных
Приложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных icon1. Понятие функции двух переменных. Область определения
Переменная величина z называется функцией двух переменных величин x и y, если каждой паре допустимых значений x и y соответствует...
Приложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных iconРабочая учебная программа по курсу по выбору «Симметрические многочлены» Для Проп по направлению «050100 Педагогическое образование»
Ершова Т. И., к ф м н., доцент кафедры алгебры и теории чисел Ургпу, математический факультет
Приложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных icon2 Приближение функций многочленами [10 часов]
Аппроксимация мнк в различных базисах: базис «алгебраических» многочленов, ортогональные базисы (многочлены Лежандра, «факториальные»...
Приложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных iconТема Функции двух переменных частные производные
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области
Приложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных iconНовые доказательства теоремы вейерштрасса
Бернштейна С. Н. для двух функций двух переменных, и с их помощью доказывается выше названная теорема. Во втором параграфе строятся...
Приложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных iconЛекция 19. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т к все полученные результаты...
Приложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных iconI. Определение пределов двух переменных. Функции 2-х переменных и область их определения
...
Приложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных iconКвадратичные формы
Квадратичной формой f от п переменных х1,х2,…, хп называется сумма, каждый член которой является или квадратом одной из этих переменных,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org