Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического



Скачать 332.6 Kb.
Дата26.07.2014
Размер332.6 Kb.
ТипЛекции

  • Московский государственный технический университет


им. Н. Э. Баумана
  • Пузанов В. П.




ЛЕКЦИИ
ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Факультет « Специальное машиностроение »

Кафедра « Подводные роботы и аппараты »
2000 год.

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА.
Критерий устойчивости Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости системы автоматического управления. Рассмотрим замкнутую систему автоматического управления структурная схема которой приведена к расчетной и имеет вид:

где - передаточная функция разомкнутой системы автоматического управления. Пусть далее , где и - полиномы относительно переменной степеней и соответственно, причем . Получим передаточную функцию замкнутой системы управления



.

Выпишем характеристический полином замкнутой системы:





;

.

Расположение корней характеристического полинома на плоскости определяет устойчивость замкнутой системы.


Критерий устойчивости Гурвица позволяет выполнить исследование устойчивости замкнутой системы управления, не решая характеристического уравнения

.

Составим квадратную матрицу размера из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы по следующему правилу:

1. По диагонали выписываем коэффициенты характеристического полинома, начиная с до в порядке возрастания индексов.

2. Каждая строка матрицы заполняется справа от диагонального элемента по убывающим индексам коэффициентов полинома.

3. Все элементы матрицы правее и левее заполняются нулями.

Иными словами столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического полинома с последовательно возрастающими индексами. Столбцы ниже главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического полинома с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше и меньше нуля – проставляют нули.

В результате чего получаем матрицу

.

Обозначим через , , … , - диагональные миноры матрицы .


  1. Формулировка критерия устойчивости Гурвица.


Для того, чтобы замкнутая система автоматического управления была асимптотически устойчива необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры матрицы были строго положительны, т.е. , , … , .
Для системы управления, характеристическое уравнение которых имеют низкую степень , условия устойчивости можно записать в общем виде.

Для имеем ,



, , , .

, , необходимое условие устойчивости. Критерий устойчивости Гурвица определяет следующие условия устойчивости системы второго порядка , , . Следовательно, для систем второго порядка необходимые условия устойчивости являются и достаточными.

Для имеем .



,

, ,

, .

Т.к. должно быть больше нуля, то .

Окончательно: , , .

  1. Алгоритм исследования устойчивости систем автоматического управления с помощью алгебраического критерия Гурвица.





  1. Преобразовать структурную схему системы автоматического управления к расчетной структурной схеме

где - передаточная функция разомкнутой системы.



  1. По передаточной функции разомкнутой системы получить передаточную функцию замкнутой системы

  2. Выписать характеристический полином замкнутой системы .

  3. Проверить необходимые условие устойчивости системы , , … ,

{если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то система управления НЕУСТОЙЧИВА}

  1. Составить матрицу Гурвица .

  2. Последовательно вычисляя диагональные миноры матрицы , проверить их строгую положительность , , … ,

{если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то система автоматического управления НЕУСТОЙЧИВА}.

  1. Определение границ устойчивости.

  2. Если приравнять нулю, то получим уравнения границ устойчивости системы

  3. , . (1)

  4. Первое уравнение соответствует наличию у характеристического уравнения замкнутой системы нулевого корня: . Второе уравнение соответствует наличию у характеристического уравнения системы пары чисто мнимых корней .


Уравнения (1) разбивают пространство параметров замкнутой системы на области. Область, в которой все остальные соответствуют значениям коэффициентов характеристического уравнения, при которых замкнутая система будет асимптотически устойчива. Все остальные области значений параметров системы соответствуют неустойчивой системе – процессы расходятся.

  1. Пример. Характеристическое уравнение замкнутой системы управления имеет вид: . Исследовать систему управления на устойчивость.


Решение. Необходимое условие устойчивости , , , выполнено. Определитель Гурвица имеет вид

.

Согласно условию задачи , , , .



, , .

Следовательно, система устойчива.


  1. Пример. Задана система автоматического управления, структурная схема которой преобразована к расчетной.


Передаточная функция разомкнутой системы управления имеет вид



, где , , .

Установить зависимость параметров , , системы управления при которых замкнутая система будет устойчива.



Решение. Передаточная функция замкнутой системы управления

.

Характеристическое уравнение



.

Коэффициенты характеристического уравнения



; ; ; .

Определитель Гурвица



.

Так как параметры системы управления , , - положительны, то и коэффициенты характеристического полинома , , , - положительны, то необходимые условия устойчивости выполнены.

Граница устойчивости:

, , ,

.

Граница области устойчивости определяется равенствами



, .

Чтобы заданная система управления обладала свойством асимптотической устойчивости, ее параметры должны удовлетворять неравенству



.


  • ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ.


Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по их частотным характеристикам. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение, так как позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка, а так же имеют простую геометрическую интерпретацию и наглядность.

Мы рассмотрим два частотных критерия устойчивости: критерий Михайлова и критерий Найквиста.



КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА.
Критерий устойчивости Михайлова относится к частотным критериям и используется для исследования устойчивости замкнутых систем. Рассмотрим замкнутую систему управления структурная схема которой имеет вид

Пусть передаточная функция разомкнутой системы равна



и пусть – степень полинома , – степень полинома .

Передаточная функция замкнутой системы

.

Полином - имеем степень -степень полинома



.

Составим характеристический полином замкнутой системы



. (1)

Если подставим в , то получим комплексное число



.

В последнем равенстве выделим действительную и мнимую части комплексного числа:



, (2)

где


. (3)

На плоскости и комплексное число изображается вектором (см. рис. 2). При из изменении частоты от 0 до вектор изменяется по величине и направлению. Конец вектора в комплексной плоскости описывает некоторую кривую, которая называется годографом Михайлова.



Формулировка критерия Михайлова.

Для того, чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до , начинался при на вещественной положительной полуоси, обходил последовательно квадрантов координатной плоскости против часовой стрелки, где - порядок характеристического полинома.

Заметим, что для устойчивых систем автоматического управления годограф Михайлова начинается при на вещественной положительной полуоси, поскольку, поскольку все коэффициенты характеристического полинома положительны и .

Кроме того, для устойчивых систем фаза с ростом частоты должна возрастать монотонно, т.е. вектор должен поворачиваться только против стрелки, поскольку с ростом частоты монотонно возрастают имеющие одинаковые знаки фазы элементарных векторов ,являющиеся слагаемыми вектора .

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда плавную спиралевидную форму, причём конец её ( ) уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени характеристического полинома.

Типовые кривые Михайлова для устойчивых систем, имеющих характеристический полином степеней , , , и представлены на рисунке 3 ( - во всех случаях приняты одинаковыми).


Признаком неустойчивости системы является нарушение числа и последовательности пройденных кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости, вследствие чего угол поворота вектора оказывается меньшим, чем .

Примеры годографов Михайлова для неустойчивых систем:


Другая формулировка критерий устойчивости Михайлова.



Система автоматического управления устойчива тогда и только тогда, когда уравнения и имеют все действительные и перемежающиеся корни, причём общее число этих корней равно порядку характеристического уравнения и при выполняется неравенства и .
Устойчивая система:


Неустойчивая система:

Это условие устойчивости системы получило также название условие перемежаемости корней.

  • Правило исследования устойчивости систем автоматического управления с помощью критерия Михайлова. Для исследования устойчивости линейных систем автоматического управления с помощью критерия Михайлова надо:


  1. Преобразовать структурную схему исследуемой системы к расчётной структурной схеме


и определить передаточную функцию разомкнутой системы .

  1. По передаточной функции разомкнутой системы получить передаточную функцию замкнутой системы

и вычислить характеристический полином замкнутой системы



.

3. В характеристическом полиноме подставить



и выделить в комплексном числе действительную и мнимую части



.

  1. Используя полученные выражения для и строим годограф Михайлова, изменяя значения частоты от 0 до .

5. Используя критерий Михайлова, по построенному годографу определяем устойчивость системы управления.


  1. Пример. С помощью критерия Михайлова определить устойчивость замкнутой системы с передаточной функцией


; , .
  1. Решение. Характеристический полином замкнутой системы:


;

;

;

; .

; .

, .
  1. Годограф Михайлова.



  1. Условие перемежаемости корней:


Система устойчива.



  1. Определение границ устойчивости.

Характеристический полином замкнутой системы автоматического управления



.

Система автоматического управления будет находиться на границе устойчивости, если характеристический полином замкнутой системы имеет пару чисто мнимых корней , , а остальные корня имеют отрицательные действительные части.

Подставим в характеристический полином и выделим действительную и мнимую части комплексного числа :

.

(т.к. , то считаем, что это корень характеристического уравнения).

Если система находится на границе устойчивости, то годограф Михайлова для системы проходит через начало координат (см. рис. 7).


Решение системы уравнений , позволяет установить взаимосвязь параметров замкнутой системы и частоты гармонических колебаний , для случая, когда система будет находиться на границе устойчивости. Если при изменении параметров годограф пойдёт так, как показано на рисунке (кривая 1), то система будет устойчивой, если так как на кривой 2 – то система будет неустойчивой.



Пример. С помощью критерия устойчивости Михайлова определить границу устойчивости для системы расчётная структурная схема которой показана на рисунке.



Решение. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Характеристическое уравнение .

Полагая характеристическое уравнение приобретает вид:

,

,

.

Решение этой системы даёт уравнение границы устойчивости.



;

Уравнение границы устойчивости .

Функция двух переменных и - параметров системы. Изменим значение коэффициента усиления на , т.е. , а значение оставим без изменения. Тогда для имеем

Т.к. ( ), то в зависимости от знака годограф может занять одно из 2-х положений

Если , то годограф Михайлова охватывает начало координат и система устойчива. Если , то годограф Михайлова не охватывает начало координат, критерий Михайлова не выполняется и система устойчива. Это значит, что для обеспечения устойчивости системы коэффициент усиления системы должен удовлетворять неравенству . Таким образом, система устойчива, если .


ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ

НАЙКВИСТА.

Частотный критерий устойчивости Найквиста базируется на частотных характеристиках разомкнутых систем управления. Он дает правила, согласно которых по виду частотных характеристик разомкнутой системы можно судить об устойчивости замкнутой системы.


Случай 1. Система устойчива в разомкнутом состоянии.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:



, (1)

Этот случай соответствует сигналам автоматического управления без астатизма. Введем вспомогательную функцию:



, (2)

где - характеристический полином замкнутой системы; - характеристический полином разомкнутой системы.

Подставим в (2) , получим . По критерию Михайлова изменение аргумента при равно , т.к. предполагается, что разомкнутая цепь устойчива. С другой стороны требуется, чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии. Для этого нужно потребовать, чтобы изменение аргумента при также равнялось . Отсюда следует, что изменение аргумента должно быть равно

.

Это значит, что годограф не должен охватывать начало координат (см. рис. 8 и рис. 9).

Вернемся теперь к функции, , которая представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 10 и рис 11).


  1. Формулировка частотного критерия Найквиста.


Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазо-частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала точку .

Первый график (рис. 9) соответствует случаю, когда устойчивость системы нарушается только с увеличением общего коэффициента усиления разомкнутой системы. Второй график (рис. 10) соответствует случаю, когда уменьшение к может привести к неустойчивости замкнутой системы (с уменьшением к меняются радиусы-векторы всех точек характеристики).


  1. Годографы неустойчивых систем.


Имея в виду очертания амплитудно-фазовых характеристик, к сформулированному критерию устойчивости добавим разъяснения, что значит «не охватывает точки с координатами ».

Характеристика может пересекать отрицательную ось левее точки , но тогда число положительных (сверху вниз) переходов характеристики через ось абсцисс левее точки должно равняться числу отрицательных переходов (снизу вверх).


Случай 2. Система нейтральна в разомкнутом состоянии.

Характеристический полином разомкнутой системы имеет нулевые корни, а остальные все корни имеют отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

, .

Это соответствует системам с астатизмом порядка . Рассмотрим случай, когда , тогда . Плоскость корней имеет вид, примерно, как показано на рисунке.

Подстановка при означает перемещение вдоль оси от точки 0 вверх. При этом, чтобы все корни оставить слева, обойдем точку 0 по окружности малого радиуса , тогда ; . И при получим ; , где при .Следовательно, точки соответствует окружности бесконечно большого радиуса в плоскости корней . Поскольку при этом все корни остались слева, то формулировка критерия устойчивости осталась такой же как и для случая устойчивости разомкнутой системы (случай 1), т.е. годограф Найквиста не должен охватывать точку .

В случае аналогично получается та же формулировка критерия – не охват точки как показано на рисунках

Для сложных очертаний годографа Найквиста в число отрицательных переходов надо включать и переход пунктирной окружности бесконечно большого радиуса при .

Случай 3. Система неустойчива в разомкнутом состоянии.

Пусть характеристический многочлен разомкнутой системы имеет корней с положительной действительной частью. Тогда функция



при замене на , согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы должна иметь следующее изменение аргумента



при изменении частоты от 0 до . Это значит, что для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фазо-частотная характеристика разомкнутой цепи охватила точку против часовой стрелки на угол , где - число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции неустойчивой разомкнутой системы. Другими словами, левее точки разность между положительными и отрицательными переходами годографа Найквиста через ось абсцисс должна равняться .


Пример. Годограф Найквиста ; система в замкнутом состоянии устойчива

Начальная точка характеристики левее точки считается за перехода (положительного). Левее точки - число положительных переходов . Число отрицательных переходов 0 их разность , система устойчива в замкнутом состоянии.


Определение устойчивости систем автоматического управления по логарифмическим частотным характеристикам с помощью критерия Найквиста.

Будем считать, что структурная схема системы приведена к расчётной схеме




- амплитудно-частотная характеристика, - фазочастотная характеристика ; .

- запас устойчивости по фазе, - запас устойчивости по амплитуде (см. рис. 12). Величины и - являются количественной оценкой свойств устойчивости замкнутой системы. Чем больше - тем дальше система находится от границ устойчивости.

Анализируя рисунок, можно сформулировать критерий Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам.



Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива необходимо и достаточно, чтобы фазочастотная характеристика разомкнутой системы должна пересекать прямую правее частоты среза (см. рис. 13, логарифмические частотные характеристики устойчивой системы)

В случае более сложной конфигурации графика функции следует пользоваться правилом переходов.

Как было показано, устойчивость системы автоматического управления связано с числом переходов амплитудно-фазо-частотной характеристики отрезка отрицательной вещественно полуоси.

Когда амплитудно-фазовая характеристика пересекает отрицательную вещественную полуось, логарифмическая фазо-частотная характеристика пересекает линию (см. рисунок 14). Переходы через эту линию не опасны с точки зрения устойчивости, если они совершаются справа от точки , т.е. если при этом модуль амплитудно-фазо-частотной характеристики меньше единицы . И, следовательно, если ординаты логарифмической амплитудно-частотной характеристики отрицательны, т.е. . Поэтому область отрицательных логарифмических характеристик при исследовании устойчивости интереса не представляют.

Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок характеристики соответствует пересечение логарифмических фазо-частотных характеристик при прямой снизу вверх (точка 2 на рисунке 14), а отрицательному переходу (сверху вниз – точка 1 на рисунке 14).



Критерий устойчивости Найквиста применительно к логарифмическим частотным характеристикам может быть сформулирован следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмических фазо-частотных характеристик прямой во всех областях, где логарифмическая амплитудно-частотная характеристика положительна была равна 0 или - где - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.



На рисунке приведены для примера амплитудно фазовая характеристика разомкнутой системы и соответствующая ей логарифмическая амплитудно-фазо-частотная характеристики. Из этих характеристик видно, что разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмической фазо-частотной характеристики прямой при равна 0. Таким образом, если разомкнутая система была устойчива ( ), то и замкнутая система будет устойчивой. При этом запасы устойчивости по амплитуде равны и , а запас устойчивости по фазе равны .

Иногда запас устойчивости по амплитуде определяют как .


Пример. С помощью логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик определить устойчивость замкнутой системы автоматического управления, структурная схема которой имеет вид

Передаточная функция разомкнутой системы .

Значения параметров передаточной функции разомкнутой системы:

, , .

Решение. Элементарные звенья системы (разомкнутой):

- усилительное звено;

- интегрирующее звено;

- апериодическое звено с постоянной времени ;

- апериодическое звено с постоянной времени .

Сопрягающие частоты ; .



Коэффициент передачи разомкнутой системы при равен .


Похожие:

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Рассмотрим систему автоматического управления, структурная схема которой имеет вид
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Рассмотрим систему автоматического управления, структурная схема которой имеет вид
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Охватывает точки с координатами
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Синтез алгоритмов управления линейными системами при неполной информации о векторе состояния системы
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
В теории автоматического управления объектом исследования являются не реальные физические объекты и системы управления, а их математические...
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления»
Основы исследования систем автоматического управления методом гармонической линеаризации
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления»
Исследование точности дискретных линейных систем в установившемся режиме при детерминированных воздействиях
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления»
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления»
Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями
Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического iconРабочая программа дисциплины «теория автоматического управления» Направление подготовки бакалавра
Цели и задачи дисциплины «Теория автоматического управления» (тау) – изучение общих принципов построения и функционирования автоматических...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org