Программа элективного курса по геометрии в 9 классе «Симфония геометрии или построения на плоскости»



Скачать 174.44 Kb.
Дата26.07.2014
Размер174.44 Kb.
ТипПрограмма
Программа элективного курса по геометрии в 9 классе
«Симфония геометрии или построения на плоскости»

Автор-составитель: учитель математики МОУ «Горютинская СОШ» Чекулаева Л.Е. 2007 год.

Геометрия.

О Пётр, ведь ты построил город

Не для умерших – для живых?..

Тяжёлый дождь бежит за ворот

Окаменевших часовых.

Недвижимы аллеи парков,

Прямы проспекты как стрела.

Сильней божественных монархов

Здесь геометрия была.

Был нежен в башнях цитадели

И кроток лепет голубиц…

И, странные на мир глядели

В окно глаза цареубийц.

Гуляют каменные финны,

Курятся трубки из бород.

Вот и построили Афины

Средь топей северных болот!

Налево львы. И львы направо.

А у заставы инвалид

Штык держит вертикально прямо,

Как геометрия велит!
Е. Винокуров.

Актуальность заявленной темы.
Когда возникла геометрия? И зачем? На эти вопросы возможны по меньшей мере два ответа.

Один из них таков: геометрия родилась для удовлетворения практических потребностей. Другой ответ: геометрия (равно, как и поэзия, живопись, культура, музыка) есть порождение таинственной потребности человека в познании, в духовности, в стремлении его к красоте и совершенству. Надо развивать в человеке душу, тело и мозг, и, кроме того, ему необходимо дать некоторое количество знаний, чтобы было легче ориентироваться в окружающем мире.

В школе Пифагора преподавались: гармония – для «тренировки» души, арифметика – для ориентации в «близкорасположенной» действительности, астрономия – для того, чтобы иметь представление об окружающем мире и геометрия ( конечно же геометрия!) – для тренировки мозга, для развития логического мышления, для получения базовых знаний обо всём том, что окружает человека.

Все перечисленные цели образования сохранились в наши дни. И роль геометрии в этом образовании не может быть заменена, так как за всю историю человечества пока не найдено лучшего способа развития интеллектуальных и творческих способностей человека, чем при помощи математики, и, конечно же, геометрии.

Наряду с «прагматическим» аспектом существует ещё и эстетическое значение геометрии. Трудно оспорить, что любой человек достоин того, чтобы он с раннего детства научился ценить материальные и духовные ценности человечества, чтобы сердце его радостно трепетало «пред созданьями искусств и вдохновенья». Умение ценить интеллектуальные «созданья» также должно быть присуще любому человеку. Вряд ли какой из школьных предметов подходит для этого лучше, чем геометрия.

Геометрия – единственный школьный предмет, предполагающий систематическое обучение школьников визуальному способу получения информации: во время работы с геометрическими фигурами, различными способами их построения и образования, чтения чертежей школьники обучаются ещё одному «иностранному» языку – визуальному (это тем более важно, что в соответствии с выводами психологов, 90 % информации человек получает через органы зрения).

Общеизвестна аксиома развивающего обучения: урок математики надо строить так, чтобы перед учениками ставились небольшие проблемы и они всегда были в творческом поиске. Однако применению исследовательского метода обучения препятствует недостаточно высокий в восьмых, девятых классах уровень их логического мышления. Это противоречие можно разрешить умелым использованием задач на построение (Конструктивных задач).

Дело в том, что задачи на построение, будучи доступными и понятными по постановке вопроса, в тоже время чрезвычайно содержательны в математическом и логическом отношении – это настоящие математические исследования в миниатюре.

Задачи на построение, моделирование (Конструирование) геометрических фигур, установление их вида, выявление характеристических свойств получаемых фигур и затем уже определение некоторых элементов и отношений необходимо использовать в целях усиления развивающих функций задач, воспитания исследовательских умений и навыков, активизации поисково-познавательной деятельности учащихся и приближения учебных задач к жизненно практическим ситуациям.

Задачи на построение – это задачи, которые значительно чаще других поражают красотой, оригинальностью и во многих случаях простотой найденного решения, что вызывает к ним повышенный интерес.

Трудно понять художника, имеющего профессиональный навык, но делающего только копии. То же самое и в математике; поэтому создать условия детям для поиска собственных решений – одна из задач учителя математики, и в этом смысле задачи на построение занимают не последнее место. Более глубокие знания этой темы необходимо для успешной учёбы в старших классах по различным профилям.

Цели:
1) Оказание помощи учащимся в осознанном выборе профиля обучения.

2) Познакомить учащихся с применением теоретических знаний на практике.

3) Расширить, углубить и закрепить полученные ранее теоретические знания.

4) Создание целостного представления о конструктивной геометрии и значительное расширение спектра задач, посильных для учащихся.

5) Тренировка и гармоничное развитие мыслительных способностей, эстетическое развитие учащихся.
Задачи:
1) Создание устойчивого интереса к предмету, развитие логического мышления и конструктивных способностей, подготовка к обучению в профильных классах.

2) Формирование навыков творческой самостоятельной работы.

3) Воспитание способности понимать смысл поставленной задачи, умение «просчитывать шаги вперёд» в решении задачи.

4) Оказание помощи в углубленном изучении данной темы.


Планируемые результаты:
1) Получение учащимися более высоких знаний, дающим им возможность осознанного выбора профиля дальнейшего обучения.

2) Формирование положительного отношения и интерес к предмету, преодоление боязни ошибок, неуверенности в своих силах.


Формы и методы работы:
1) Исключение методов принуждения в учёбе.

2) Использование наиболее эффективных приёмов, активизирующих работу школьников: творческие задания, имеющие практическую направленность, свободный выбор домашнего задания.

3) Проведение уроков-экскурсий, на которых показывают учащимся возможности применения геометрических знаний на примерах интерьеров, архитектурных и садово-парковых сооружений.

4) Использование на уроках работы в группах, «творческих лабораториях», раскрепощающих учащихся и расширяющих их возможности.

5) Формой контроля может стать самостоятельная лаборатория работа, собеседование, защита исследовательских проектов.


Геометрические построения на плоскости или Симфония красоты и изящества.
Программа элективного курса для учащихся девятых классов основной школы.

Пояснительная записка для ребят и их родителей.


Кто ты в Будущем? Строитель?

Плотник – дерева ценитель?

Скульптор иль геодезист,

Архитектор иль артист,

Тот, кто дружит с волшебством,

Фокусник, мы говорим о нём?

Металлург ты, инженер,

Иль дизайнер, например,

Парикмахер, визажист,

Ты сапёр, артиллерист?

Стоматолог иль портной,

Иль отправишься в забой

Уголь на гора давать,

Будешь сеять иль спасать?

Кем бы ни был ты – в дорогу

Пригласи себе в подмогу

Геометрию – царицу,

Что позволит гордой птицей

Над рутинною взлететь,

А в профессии хотеть

Конструировать, творить,

Строить, шить, лепить, чертить,

Измерять, кроить, лечить…

Нужным и успешным быть!

Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся девятых классов посвящён одной из важных тем геометрии – задачами на построение.

В школьном курсе им уделяется неоправданно мало внимания. Очень трудно подержать интерес учащихся из-за недостаточности времени, и в итоге всё сводится лишь к простейшим задачам на построение, хотя, важность конструктивных задач в развитии логического мышления, эстетического воспитания и прикладной направленности трудно переоценить. Эти задачи полезны и для развития пространственного ведения, что необходимо при изучении стереометрии в старших классах.

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретённых знаний, его цель – создать целостное представление о теме, научить применять теорию на практике, значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся, повышать интерес к изучению предмета, содействовать осознанному выбору профильного обучения и профессии в будущем.

Программа содержит четыре блока, связанные единой идеей, они построены по модульному принципу. Учитель, в зависимости от уровня подготовки класса может использовать все блоки или один из них.



Первый блок подводит к тому, что решение задач на построение с помощью указанного набора инструментов – традиционная математическая игра, способствующая развитию мышления и очень интересная. Недаром люди «играют в построение фигур» уже много-много веков. Результат работы в первом модуле может быть увиден в творческом соревновании юных конструкторов, модельеров, дизайнеров. На блок отводится четыре часа.

Цель второго блока – систематизировать ране полученные знания о задачах на построение. Эти знания полезно записать в памятку-подсказку. На актуализацию знаний отводится два часа.

Цель третьего блока – решать конструктивные задачи по определённой схеме: анализ, построение, доказательство, исследование. Познакомить с одним из основных методов построения – методом геометрических мест (ГМТ), введя новое понятие для учащихся – ГМТ.

Цель четвёртого блока – знакомство учащихся с методом геометрических преобразований.

На изучение четырёх блоков отводится восемнадцать часов, два из них определение успешности усвоения материала, защиты творческой работы.




Содержание программы.
Блок № 1: «Задачи с ограничениями».

На первом занятии учащимся сообщается цель и значение элективного курса. Далее предлагаются конструктивные задачи, решаемые ножницами, только одной линейкой, только одним циркулем. Учащиеся знакомятся с геометрией в архитектуре и в составлении паркетов. Полученные знания показывают в творческих работах.


Блок № 2: «Система аксиом построения с помощью циркуля и линейки».

На этих занятиях систематизируются знания о задачах на построение. Выполняются основные построения. Составляется своеобразная памятка-подсказка.


Блок № 3: «Схема решения задач на построение. Метод ГМТ».

Программа (для общеобразовательных школ) практически не содержит задач на построение указанным методом. В этом модуле уделено особое внимание методам подобия, симметрии, параллельного переноса, поворота.



Учебно-тематический план.


п/п

Наименование разделов и тем

Всего часов

Форма контроля

1.

Задачи с ограничениями:

- построение одной линейкой,

- одним циркулем,

- геометрия ножниц,

- красота орнамента,

- превращения квадрата.



4

Творческие работы, соревнования.

2.

Система аксиом построения с помощью циркуля и линейки.

2

Памятка-подсказка.

3.

Схема решения задач на построение ГМТ.

3




4.

Метод подобия, метод симметрии, метод параллельного переноса, метод поворота.

7

Собеседование с учащимися.

5.

Проверка усвоения знаний.

2

Семинар-защита исследовательского проекта.


Приложения
Блок № 1: Среди задач на построение достойное место занимают так называемые «задачи с ограничениями». Они несут большой эмоциональный заряд, заставляют нас проявлять изобретательность, дают широкий простор для творчества.
Задачи, решаемые только с помощью линейки
Среди этих задач первенствуют две прекрасные задачи швейцарского математика Якоба Штейнера (1796-1863).

Первая задача Якоба Штейнера: «Да на полуокружность без центра и точка К вне её. С помощью одной линейки опустите из точки К перпендикуляр на диаметр АВ полуокружности».

Проведём КА и КВ – получим точки Д и Е. Проведём ДВ и ЕА. Углы АДВ и АЕВ каждый равны по 90° (как вписанные, опирающиеся на диаметр).

Тогда ВД и АЕ – высоты треугольника АКВ, а их точка пересечения – точка Н. Поскольку три высоты треугольника пересекаются в одной точке, прямая КН перпендикулярна диаметру АВ.

Самостоятельно рассмотреть случаи, когда точка К:

а) принадлежит полуокружности;

б) находится внутри полуокружности.
Вторая задача Якоба Штейнера: «Дана пряма и параллельный ей отрезок АВ. Только с помощью линейки раздерите АВ пополам».

Идея решения этой задачи основана на следующем важном факте планиметрии:

«Середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон лежат на одной прямой. (Докажите дома самостоятельно).

Через произвольные точки С и Д данной прямой проведём прямые СВ и ДА; К – точка их пересечения. Согласно условию АВСД – трапеция. Проводим диагонали АС и ВД. Через точку их пересечения О проводим прямую, которая разделит отрезок АВ пополам.

3. «Даны прямая АВ и не лежащая на ней точка О. Через точку О провести прямую, параллельную АВ».

Проведём луч с началом в точке О, пересекающий прямую АВ в точке F. Отложим за точку F отрезок FК, равный FО. Проведём луч с началом в точке К, пересекающий прямую АВ в точке N(отличной от F). Отложим за точку N отрезок NД, равный КN. ОД – искомая прямая, поскольку прямая АВ содержит среднюю линию ∆ОКД.

4. «Даны две параллельные прямые и точка вне этих прямых. Проведите через эту точку прямую, параллельную данным».

Построим трапецию АВСД по задаче 2, при условии, что одна из боковых сторон проходит через данную точку К. Далее проводим прямую ТО (после проведения диагоналей). Пересечение прямых ТО и КС даёт точку Е. Пересечение прямой ВЕ и ТД даёт точку Р. И, наконец, проводим КР – искомую прямую.

5. «Окружности и пересекаются в точках А и В, центры этих окружностей неизвестны. Найти эти центры с помощью одной линейки».

1) Проведём произвольную хорду СД в одной из данных окружностей.

2) Проведём прямые СА и ДВ, которые пересекут окружность в точках и соответственно.

3) Проведём прямые С,В и А, которые пересекут окружность в точках и соответственно.

4) Проведём прямые С и Д, которые пересекутся в точке Р.

5) Проведём прямые Д и С, которые пересекутся в точке Q.

6) Проводим прямую РQ. Точки пересечения этой прямой с окружностью обозначим R и Т. RТ – диаметр окружности .
Выбрав произвольную хорду ЕК, проводим аналогичные построения. Получаем диаметр окружности Пересечение этих диаметров – центр окружности

Аналогично определяем центр второй окружности.



Доказательство:

Доказать, СД ׀׀ ׀׀ .

Четырёхугольники САВД и АВ – вписанные, значит СДВ + , + В = 180°. Сложив эти равенства, получаем + В = + В + 180° = 360°, откуда + В = 180°, т.е. СД ׀׀ .

Аналогично доказываем, что ׀׀ , а значит СД ׀׀ С1Д1 ׀׀ С2Д2.

Используя это доказательство, легко доказать, что RТ – диаметр окружности

6. «Даны две окружности, касающиеся внешним образом. Разделите пополам отрезок между точками касания общей внешней касательной, используя одну линейку».

1) Пусть прямая АК и ВL пересекутся в точке Д.

2) Точка М – пересечение отрезков КL и ДС. М – середина отрезка КL.



Доказательство:

К ׀׀ L, т.к. О,К КL, L КL; значит, = LВ и, т.к. ∆КС и ∆LВ – равнобедренные, то = L, т.е. КС ׀׀ ДВ. Аналогично, СL ׀׀ АД, поэтому четырёхугольник КСLД – параллелограмм, и его диагонали LК и СД делятся в точке пересечения М пополам. Итак, для построения точки М достаточно провести прямые АК, ВL и СД.


Домашнее творческое задание (пожеланию):
«При помощи двусторонней линейки (модель полосы выполнить следующие построения: а) провести биссектрису данного угла; б) через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой; в) удвоить, утроить и т.д. данный отрезок; г) удвоить, утроить данный угол; д) найти точку, симметричную данной относительно данной оси; ж) построить равносторонний треугольник, имеющий данный отрезок своей стороной).

Все построения, предлагаемые в этой задаче, основаны на свойствах ромба. Построения выполнены на рисунках 1-6.


Задачи, решаемые с помощью циркуля.
Из множества задач, решаемых с помощью только одного циркуля (а их по теореме Мора – Маскерони столько же, сколько задач, решаемых с помощью циркуля и линейки), остановимся на нескольких – ярких, эмоциональных, красивых!

1. Задача Наполеона: «Дана окружность и её центр. С помощью одного циркуля разделите эту окружность на четыре равные части».

Из произвольной точки А окружности раствором циркуля АО = R сделаем последовательно точки – засечки В, С и Д. Точка Д диаметрально противоположна точке А (т.к. АВ, ВС и СД – стороны правильного шестиугольника, вписанного в окружность); АС = R (сторона правильного треугольника, вписанного в эту окружность).

Из точек А и Д делаем засечки раствором АС= R, получим точку К. Тогда КО =R (по теореме Пифагора для треугольника КАО). Отрезок R – длина стороны квадрата, вписанного в окружность радиуса R. Поскольку вершины такого квадрата делят окружность на четыре равные части, остаётся раствором циркуля засечь на окружности последовательно четыре точки.


2. «Только с помощью циркуля постойте точки пересечения прямой АВ с окружностью».

Отразим окружность О относительно прямой АВ – получим окружность (построить окружность с помощью одного циркуля самостоятельно). Пусть эти окружности пересекаются в точках Т и К. Очевидно, что они и являются искомыми. (Докажите).


3. «На плоскости даны две точки Аи В. Одним циркулем (без линейки) постройте середину отрезка АВ».

Построим окружность с центром В радиусом ВА. Построим окружность с центром в точке А, радиусом АВ. Найдём их точки пересечения и обозначим С и . Построим окружность с центром Д и радиусом ДВ. Найдём точки пересечения окружностей и ; одна из них – это точка С, другую обозначим Е. Построим окружность с центром Е и радиусом ЕА. Обозначим точки пересечения окружностей и М и N. Построим окружность с центром в точке М и радиусом МА и окружность с центром N и радиусом NА. Одной из точек пересечения окружностей и будет точка А, другой – искомая точка Х.



Доказательство (самостоятельно).

Имеем: АС = СД = ДЕ = АВ (по построению); АВС = ∆СВД = ∆ВДЕ – равносторонние, поэтому АВЕ = 180°. Следовательно, точки А, В и Е лежат на одной прямой, причём АВ = ВЕ. Точки М и N симметричны относительно прямой АЕ, точка Х равноудалена от точек М и N, т.е. лежит на прямой АЕ.

Рассмотрим два равнобедренных треугольника АМХ и АМЕ. Они подобны, т.к. у них угол А при основании – общий. Запишем пропорцию: = . Учитывая, что АВ = АВ, АЕ = 2АЕ, получим АХ: АВ = 1: 2; отсюда 2АХ = АВ, что и требовалось доказать.
4. «Удвоить данный отрезок АВ с помощью одного циркуля, т.е. построить отрезок АС такой, что Ас = 2 АВ».

Проведём окружность с центром В и радиусом R = ВА. Сделаем последовательно циркулем на этой окружности засечки, начиная от точки А так, что АД = ДЕ = ЕС = АВ = R. Тогда треугольники АВД, ДВЕ и ВЕС – правильные, поэтому - развёрнутый, т.е. точка С лежит на прямой АВ и ВС = АВ.


5. «Удвоить данный отрезок АВ с помощью одного циркуля, проводя при этом не более трёх окружностей».

Построение показано на рисунке.



Блок № 2: При решении задач на построение, в которых необходимо проделать большое (но конечное) количество построений, сводят построение искомой фигуры к некоторым часто встречающимся построениям.

Приведём перечень таких основных построений (ОП), которые мы будем использовать для сокращения записи решения задачи на построение, т.е. составим своеобразную памятку-подсказку.

ОП 1 – построение прямой, проходящей через данные точки.

ОП 2 – построение окружности с центром в точке О, радиуса R.

ОП 3 – построение отрезка, равного данному.

ОП 4 – построение середины отрезка.

ОП 5 – построение серединного перпендикуляра.

ОП 6 – построение перпендикулярных прямых, одна из которых задана, а вторая проходит через данную точку.

ОП 7 – построение угла, равного данному.

ОП 8 – построение биссектрисы угла.

ОП 9 – построение параллельных прямых.

ОП 10 – построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. (С-У-С).

ОП 11 – построение треугольника по сторонам и двум прилежащим к ней углам. (С-У-С).

ОП 12 – построение треугольника по трём сторонам. (С-С-С).

ОП 13 – построение треугольника (прямоугольного) по двум катетам.

ОП 14 – построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.

ОП 15 – построение треугольника (прямоугольного) по гипотенузе и катету.

ОП 16 – построение касательной к окружности в данной точке.

ОА 17 – построение касательной к окружности, проведённой из данной внешней точки.

Заполнение данной памятки сопровождается практическим выполнением указанных построений.


Блок № 3:

Обычно при решении задач на построение рассуждения проводят по определённой схеме: анализ, построение, доказательство, исследование.

Анализ – это поиск способа решения задачи на построение. Обычно при анализе выполняют от руки на глаз, вспомогательный чертёж – набросок, изображающий данные искомые фигуры примерно в том расположении, которое предусмотрено условием задачи.

При проведении анализа полезны следующие замечания:

1) Если на вспомогательном чертеже не удаётся непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертёж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.

2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует ввести в чертёж, т.е. следует изобразить их на чертеже-наброске, если их ещё нет на нём.

3) В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решённые задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.

4) Проводя анализ на основании изучения некоторого чертежа-наброска, мы невольно рассуждения связываем с этим чертежом, поэтому может оказаться, что найденный способ решения пригоден лишь для некоторых частых случаев. Чтобы способ решения был пригоден для возможного более широкого выбора данных, следует изображать искомую фигуру в возможно более общем виде.



Построение состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или ранее решённых задач), которые достаточно выполнить, чтобы искомая фигура была построена. Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, для построения.

Цель доказательства – установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям. Доказательство обычно проводят в предположении, что каждый шаг построения может быть выполнен.

В исследовании нужно выяснить следующие вопросы:

- всегда ли можно выполнить построение избранным способом;

- можно ли и как построить искомую фигуру, если выбранный способ применить нельзя;

- сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.

Таким образом, цель исследования – установить условия разрешимости и определить число решений. Необходимую полноту исследования можно достичь, если проводить это исследование по ходу построения.

Метод пересечений или метод геометрических мест.
Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определёнными свойствами.

Если фигура является ГМТ, то: 1) любая этой фигуры обладает указанным свойством; 2) все точки с указанным свойством принадлежат этой фигуре.

Рассмотрим основные ГМТ, наиболее часто встречающиеся в задачах.

1. ГМТ-1 – геометрическое место точек, равноудалённых от двух точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

2. ГМТ-2 – геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, есть окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным данному расстоянию.

3. ГМТ-3 – геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, есть биссектриса этого угла.

4. ГМТ-4 – геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой; есть две прямые, параллельные данной и отстоящие о неё на данное расстояние.

5. ГМТ-5 – геометрическое место точек, равноудалённых от двух прямых, есть две взаимно перпендикулярные прямые ( и ), делящие пополам углы между данными прямыми. Эти же биссектрисы служат геометрическим местом точек – центров окружностей, касающиеся двух данных прямых.

Если же прямые параллельны, то геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных прямых, есть прямая, параллельная данным прямым и одинаково отстоящая от них.

6. ГМТ-6 – геометрическое место точек, из которых отрезок АВ виден под данным углом L и которые лежат по одну сторону от прямой АВ, есть дуга окружности с концами в точках А и В.

Построим ГМТ-6. Остальные ГМТ легко строятся на основе ОП.

I. Анализ:

Пусть АМВ построена на АВ так, что любой вписанный в ней угол АМiВ равен. Построение сводится к нахождению центра этой дуги. Понятно, что центр дуги должен лежать на серединном перпендикуляре «а» (ГМТ-1) к отрезку АВ. Для нахождения центра окружности выполним следующие построения: из концов отрезка АВ восстановим перпендикуляры LАВ и от прямой L отложим угол ДАС, равный , точку пересечения луча АС с прямой обозначим ; тогда ДА = АВ = (как накрест лежащие при L и секущей АС). Из точки отрезок АВ виден под углом , следовательно, принадлежит искомой дуге окружности, таким образом, для нахождения центра окружности О необходимо найти точку пересечения отрезка А и ГМТ-1.

II. Построение.

1. Отрезок АВ считается построенным;

2. ОП6 : АВ; В ; ОП6 : L АВ; А L;

3. ОП%: а (ГМТ-1);

4. ОП7 : ДАС = ;

5. АС ;

6. О АС ГМТ-1;



7. ОП2 : О (О, ОА);


Похожие:

Программа элективного курса по геометрии в 9 классе «Симфония геометрии или построения на плоскости» iconПрактикум «Решение задач по геометрии»
Программа элективного курса «Практикум решения задач по геометрии» предназначена для изучения в 10, 11 классах и рассчитана на 69...
Программа элективного курса по геометрии в 9 классе «Симфония геометрии или построения на плоскости» iconАксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности
Цель урока. Познакомить учащихся с аксиоматическим построением геометрии. Показать важность и значимость аксиоматического построения...
Программа элективного курса по геометрии в 9 классе «Симфония геометрии или построения на плоскости» iconУрок геометрии в 7-м классе "Краткая история возникновения и развития геометрии. Начальные геометрические сведения"
Образовательные – познакомить учащихся с историей возникновения геометрии, с первыми основными геометрическими понятиями: точка и...
Программа элективного курса по геометрии в 9 классе «Симфония геометрии или построения на плоскости» iconУрок геометрии в 10 классе по теме «Многогранники»
Урок можно проводить при обобщении темы «Многогранники», а также применить материал урока в рамках факультативного или элективного...
Программа элективного курса по геометрии в 9 классе «Симфония геометрии или построения на плоскости» iconРабочая программа по геометрии для студентов 2 курса фмф специальность «Математика и физика». 1 семестр (34 часа л/к,34ч пр.)
Лекция. Центральное проектирование. Возникновение проективной геометрии. Свойство взаимного расположения точек, прямых и плоскостей...
Программа элективного курса по геометрии в 9 классе «Симфония геометрии или построения на плоскости» iconУрок по геометрии в 8-м классе по теме: "Теорема Пифагора "
Воспитание устойчивого интереса к изучению предмета геометрии, понимания роли геометрии в решении практических задач, возникающих...
Программа элективного курса по геометрии в 9 классе «Симфония геометрии или построения на плоскости» iconПрограмма курса повышения квалификации учителей математики «Профильное обучение: методические особенности умк и. М. Смирновой, В. А. Смирнова»
...
Программа элективного курса по геометрии в 9 классе «Симфония геометрии или построения на плоскости» iconПрограмма и учебные материалы элективного курса по математике для учащихся 10-11 классов «конструкция «треугольник-окружность» иее применение в решении задач геометрии» 5
Программа и учебные материалы элективного курса по математике для учащихся 10-11 классов «конструкция «треугольник-окружность» и...
Программа элективного курса по геометрии в 9 классе «Симфония геометрии или построения на плоскости» icon«Сравнительный анализ свойств геометрии треугольника на плоскости и геометрии треугольника на сфере»
Тема работы: «Сравнительный анализ свойств геометрии треугольника на плоскости и геометрии треугольника на сфере»
Программа элективного курса по геометрии в 9 классе «Симфония геометрии или построения на плоскости» iconУрок геометрии в 7-м классе
Краткая история возникновения и развития геометрии. Начальные геометрические сведения
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org