Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники



страница10/10
Дата26.07.2014
Размер1.79 Mb.
ТипУрок
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Логика – эта наука, изучающая законы и формы мышления; способы рассуждений и доказательств.

Основными формами мышления являются понятие, суждение, умозаключение.



Понятие – это форма мышления, выделяющая существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющих отличить их от других.

Содержание понятия – совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии. Например, содержание понятия персональный компьютер-это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя.

Объем понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятий.

Суждение (высказывание, утверждение) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Оно может быть либо простым, либо составным (сложным).

Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями, так как в них ни чего не утверждается и не отрицается. Такие предложения называются высказывательной формой, заданной на множестве X. При подстановке в него значений пере­менной из множества X, высказывательная форма обращается в высказывание.

Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Например: 5>3, H2O+SO2=H2SO4.

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение.

Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составного высказывания, не вникая в их содержание.

Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Высказывания и высказывательные формы.

Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. (Например, а) число 12 - четное; б) 2 + 5 > 8; в) х + 5 = 8). О первом предложении можно сказать, что оно несет верную информацию, а втором предложении – ложную. Относительно предложения х + 5 = 8 вообще нельзя сказать: истинное оно или ложное. Взгляд на предложение с позиции – истину или ложь оно нам сообщает – привел к понятию высказывания.



Определение: Высказыванием в математике называют предложе­ние, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.
Высказывания принято обозначать прописными буквами латин­ского алфавита: А, В, С,..., Z.. Если высказывание А истинно, то запи­сывают: А - «и», если же высказывание А - ложно, то пишут: А - «л». «Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказыва­ния. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновре­менно тем и другим оно не может.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно или ложно. Высказывания могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному – значение 0 .

Предложение х + 5 = 8 не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно. Однако при подстановке конкретных значений переменной х оно обращается в высказыва­ние: истинное или ложное.

Определение: Высказывательной формой, заданной на множестве X, называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений пере­менной из множества X. По числу переменных, входящих в высказывательную форму, раз­личают одноместные, двухместные и т.д. высказывательные формы и обозначают: А(х), А(х, у) и т.д. (Например, х + 5 = 8 - одноместная высказывательная форма, а предложение «Прямая х параллельна пря­мой у» - двухместная). Следует иметь в виду, что в высказывательной форме переменные могут содержаться неявно. (Например, в предложениях: «число чет­ное», «две прямые пересекаются» переменных нет, но подразуме­вается: «Число х - четное», «Прямые х и у пересекаются»).

Определение: Задание высказывательной формы, как правило, предполагает и задание того множества, из которого выбираются значения переменной, входящей в высказывательную форму. Это множество называется областью определения высказывательной формы. (Например, неравенство х < 5 можно рассматривать на множестве натуральных чисел, а на множестве действительных чисел. Тогда в первом случае пастью определения неравенства х < 5 будет {1, 2, 3, 4}, а во втором - множество действительных чисел, меньших 5).

Определение: Среди всех возможных значений переменной нас в первую очередь интересуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы. (Например, множеством истинности высказывательной формы х > 5, заданной на множестве действительных чисел, будет промежуток (5; + ∞). Множество истинности высказывательной формы х + 5 = 8, заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 3). Условимся обозначать множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда, согласно определению, всегда ТХ.

Замечание: В логике считают, что из двух и более предложений можно образовать новое предложение. Для этого используют союзы «и»; «или»; «если ..., то ...»; «тогда и только тогда»; части­цы «не» или словосочетания «неверно, что», которые называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Предложения, не являю­щиеся составными, называют элементарными.
Построим алгебру логики.

В этой алгебре каждая переменная x, y, z, … принимает значение {0,1}. Никаких других значений переменная принимать не может.


Зададим функцию алгебры логики. Для этого мы должны задать область определения D(x) и область значений функции E(x). f: D(x) → E(x).

Областью определения D(x) функции f будет являться множество наборов длины n, состоящих из наборов переменных xi, где каждая переменная xi принимает значения 0 или 1.



D(x) = {=( x1, x2, … , xn), xi =(0, 1), i=1, 2, …, n}

Областью значений E(x) функции f будет являться либо 0, либо 1. Функция, либо истинна, либо ложна. E(x) = (0, 1).


Как же нам реально задать функцию алгебры логики?

Для этого существуют 2 способа: наглядный (с помощью таблицы) и аналитический (с помощью формулы).



Элементарные функции алгебры логики.


  1. Константа (постоянная). Существуют 2 константы: ложь (0) и истина (1).




  1. Тождественная функция.




  1. Отрицание.

Отрица́ние в логике — унарная операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) «противоположное» исходному. Обозначается знаком ¬ перед или чертой над суждением. Синоним: логическое "НЕ".

Построим таблицу истинности.



x



0

1

1

0

Как в классической, так и в интуиционистской логике «двойное отрицание» ¬¬A является следствием суждения A, то есть имеет место тавтология: .

Обратное утверждение верно в классической логике (закон двойного отрицания), но не имеет места в интуиционистской. То есть, отрицание отрицания искомого утверждения не может служить интуиционистским доказательством, в отличие от классической логики. Это различие двух логических систем обычно полагается главным.

Элементарные функции от двух переменных.
1. КОНЪЮНКЦИЯ. от латинского conjunctio - союз, связь.

Конъюнкцией высказываний А и В называется выска­зывание АВ, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.

Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности. Таблица истинности для этой функции имеет вид:

Логические связки конъюнкции – союзы «и», «а», «но», «однако», «не только..., но и ...». 

Конъюнкцию также можно обозначить знаком: А&В, А*В.

Пример 1. "У кота есть хвост" (высказывание А), "У зайца есть хвост" (высказывание В). Тогда высказывание "У кота есть хвост и у зайца есть хвост" есть конъюнкция высказываний А^В. Оно будет истинно, т.к. истинны оба высказывания А и В.

Пример 2. "У кота длинный хвост" (высказывание С), "У зайца длинный хвост" (высказывание D). Тогда высказывание "У кота длинный хвост и у зайца длинный хвост" есть конъюнкция высказываний С^Д. Оно будет ложным, т.к. ложно высказывание D.




2. ДИЗЪЮНКЦИЯ. от латинского disjunctio - разобщение, различие.

Дизъюнкцией высказываний А и В называется выска­зывание АВ, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны. Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:

Логическая связка конъюнкции – союз «или».

Пример. Рассмотрим сложное единичное высказывание: «Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку». Обозначим через А простое высказывание «Летом я поеду в деревню», а через В - простое высказывание «Летом я поеду в туристическую поездку». Тогда логическое выражение сложного высказывания имеет вид АВ, и оно будет ложным только, если ни одно из простых высказываний не будет истинным.

    

3. БУЛЕВА СУММА.

Булевой суммой высказываний А и В называется высказывание АВ, которое истинно, когда истинно только одно из высказываний А или В, и ложно, когда оба высказывания принимают одинаковое значение истинности. Таблица истинности булевой суммы имеет вид:

Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2. При сложении чётного количества единиц, результатом будет “0”, а при сложении нечётного числа единиц, результат станет равен “1”.

Логическая связка булевой суммы – союз «либо … либо».

Операция “булевой суммы” выражается:

Пример. Обозначим через А простое высказывание «Я буду сдавать экзамен по математике», а через В - простое высказывание «Я буду сдавать экзамен по физике». Тогда истинное значение высказывания АВ примет вид «Либо я буду сдавать экзамен по математике, либо по физике».


4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

Эквивалентностью высказываний А и В называется высказывание А~В, которое истинно, когда оба высказывания принимают одинаковое значение истинности, и ложно, когда ложно только одно из высказываний А или В.

Таблица истинности для этой функции имеет вид:

Логические связки эквивалентности – «если и только если», «тогда и только тогда, когда».

Эквивалентность также можно обозначить знаком: АВ, АВ.

Операция “эквивалентность” выражается:

Пример. «Числа X1 и X2 являются корнями квадратного уравнения ax2+bx+c=0 тогда и только тогда, когда x1 + x2 = - b/a , x1 • x2 = c/a».

Доказательство предлагаю на самостоятельное рассмотрение.



5. ИМПЛИКАЦИЯ. от латинского implico - тесно связываю.

Импликацией высказываний А и В называется высказывание АВ, которое ложно, когда А истинно, а В ложно, и истинно во остальных случаях.

Таблица истинности для этой функции имеет вид:

Логические связки импликации – «если …, то …», «когда…,тогда…», «коль скоро…, то…». Здесь высказывание, расположенное после слов «если», «когда», «коль скоро» называется основанием или посылкой, а высказывание, расположенное после слов «то», «тогда» называется следствием или заключением.

Импликацию также можно обозначить знаком: АВ

Операция “импликация” выражается: , или

Пример 1: Утверждение "если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма делится на 3" истинно, т.е. из высказывания "каждое слагаемое делится на 3" следует высказывание "сумма делится на 3". Посмотрим, какие наборы значений истинности посылки и заключения возможны, когда истинно все утверждение. Возьмем, например, в качестве слагаемых числа 6 и 9. В этом случае истинны и посылка, и заключение, и все утверждение. Если же взять числа 4 и 5, то посылка будет ложной, а заключение истинным. Для чисел 4 и 7 и посылка и заключение ложны. (Если Вы сомневаетесь в истинности высказывания для последнего случая попробуйте произнести его в сослагательном наклонении: если бы числа 4 и 7 делились бы на 3, то и их сумма делилась бы на 3). Очевидно, что только один случай невозможен: мы не найдем таких двух слагаемых, чтобы каждое из них делилось на 3, а их сумма не делилась на 3, т.е. чтобы посылка была истинной, а заключение ложным. Из истины не может следовать ложь, иначе логика теряет смысл.

Пример 2. (первая теорема Больцано-Коши – о нуле функции) Если функция непрерывна на промежутке I и в двух его точках А и В принимает значения разных знаков, то по крайней мере в одной точке С между А и В функция обращается в нуль, т.е. f(С)=0






6. ШТРИХ ШЕФФЕРА

Штрихом Шеффера высказываний А и В называется высказывание А I В, которое ложно, когда оба высказывания истинны, и истинно во остальных случаях.

Таблица истинности для этой функции имеет вид:

Операция “ штрих Шеффера” выражается:


7. СТРЕЛКА ПИРСА

Импликацией высказываний А и В называется высказывание АВ, которое истинно, когда оба высказывания ложны, и ложно во остальных случаях.

Таблица истинности для этой функции имеет вид:

Операция “ стрелка Пирса” выражается:



Законы алгебры логики.
ЗАКОН ТОЖДЕСТВА. А = А
ЗАКОН НЕПРОТИВОРЕЧИЯ.
ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО.
ЗАКОН ДВОЙНОГО ОТРИЦАНИЯ.




ЗАКОНЫ КОНСТАНТ.



ЗАКОНЫ ИДЕМПОТЕНТНОСТИ.




ЗАКОНЫ КОММУТАТИВНОСТИ.




ЗАКОНЫ АССОЦИАТИВНОСТИ.




ЗАКОНЫ ДИСТРИБУТИВНОСТИ.




ЗАКОНЫ ПОГЛОЩЕНИЯ.
ЗАКОНЫ ДЕ МОРГАНА.




ЗАКОНЫ ЗАМЕНЫ ИМПЛИКАЦИИ.

ЗАКОНЫ ЗАМЕНЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ.

Высказывания с кванторами.

Мы выяснили, что среди математических предложений есть высказывания и высказывательные формы. Для того, чтобы высказывательную форму преобразовать в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в форму, подставить ее значение. Однако существуют и другие способы получения высказываний из высказывательных форм.



Определение: Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общно­сти по переменной х и обозначается символом х. Запись х, (А(х)) означает: «для всякого значения х предложение А(х) - истинное высказывание».

Определение: Выражение «существует х такое, что ...» в логике называется квантором существования по переменной х и обозначается символом х. Запись х, (А(х)) означает: «существует такое значение х, что А(х) -истинное высказывание».

Замечание : Если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Заметим, что в математике наряду со словом «всякий» употребля­ют слова «каждый», «любой», а со словом «существует» использу­ют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».

Задача 1. Установить, истинны или ложны следующие высказы­вания:

а) х{0, 1, 4}, значение выражения (4 - х):(2х + 1) есть число целое. – ИСТИННО.

Действительно, чтобы убедиться в истинности данного выска­зывания, достаточно показать, что при подстановке каждого числа из множе­ства {0, 1, 4} в выражение (4-х):(2х + 1) получается целое число. Пусть х = 0, тогда (4-0):(2-0 + 1) = 4; если х = 1,то (4-1):(2-1 + 1) = 1; если х = 4,то (4-4):(2-4 + 1) = 0.

б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.

Докажем методом математической индукции.

– Пусть x = 1, тогда x*(x+1) = 1*2 = 2 – кратно 2.

– Пусть x = n, и пусть выражение n*(n+1) тоже кратно 2.

– Пусть x = n+1. Покажем истинность утверждения. (n+1)(n+2) = n2+3n+2 = (n2+n)+(2n+2) = (n*(n+1))+(2(n+1)). n*(n+1) кратно 2 согласно вышеописанному. 2(n+1) – кратно 2, и это очевидно. сумма кратных чисел также кратно. Что и требовалось доказать.

в) Всякое натуральное число делится на 5. – ЛОЖНОЕ.

Убедиться в этом можно, назвав натуральное число, которое не де­лится на 5, например число 12.



Утверждение 1: Истинность высказывания с квантором общности устанав­ливается путем доказательства. Показать ложность таких высказы­ваний можно, приведя контрпример.

Задача 2. Установить, истинны или ложны следующие высказы­вания:

а) Среди треугольников есть прямоугольные. – ИСТИННО.

Чтобы убедиться в истинности такого высказывания, достаточно привести пример. В данном случае прямоугольный треугольник можно начертить.

б) Некоторые прямоугольные треугольники являются равносторон­ними. – ЛОЖНО.

Если треугольник прямоугольный, то в нем один угол равен 90°, а в равностороннем все углы 60°. Следовательно, ни один прямоугольный треугольник не может быть равносторонним. Поэтому данное высказывание ложное.

Утверждение 2: Истинность высказывания с квантором существования уста­навливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в лож­ности такого высказывания, необходимо провести доказательство.

Домашнее задание:

1. Выделите квантор и высказывательную форму в высказываниях: «всякий прямоугольник является четырехуголь­ником», «хотя бы одно из чисел первого десятка состав­ное» Переформули­руйте высказывания, заменив квантор его синонимом.

3. Прочтите следующие записи, заменив символические обозначе­ния кванторов общности и существования их словесными выражениями: а)xR,x2-1=(x-1)(x+1); б)yZ, 5-y=5; в)xZ, y+3>0; г)xQ, x+3<0.

4. Запишите следующие предложения, используя символические обозначения кванторов:

а) Существует такое натуральное число х, что х + 5 = 9; б)Каково бы ни было число х, х + 0 = х;

в)Уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет хотя бы один корень.

5. Запишите, используя символы, следующие высказывания и оп­ределите их значения истинности: а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль; б) Произведение любого числа и единицы равно этому числу; в) При делении нуля на любое другое число получается нуль; г) Квадрат любого числа неотрицателен.

6. Установите, какие из высказываний истинны, а какие ложны. а)При делении некоторых натуральных чисел на 5, в остатке получается 7; б)существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти; в) во всяком четырехугольнике диагонали равны

7. Докажите или опровергните высказывания: а) существуют уравнения, множество решений которых пусто; б) Сумма двух четных чисел есть число четное; в) Всякое целое число является натуральным; г) Хотя бы одно натуральное число является решением уравнения х=2.

8. Приведите по три утверждения высказываний с квантором общности и по три утверждения с квантором существования из курса алгебры и геометрии. Докажите или опровергните эти утверждения.


1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники
Кратко описать профессию из различных направлений приведенной классификации в теоретическом материале (Уро Информатика) по плану
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок-зачет по теме «Информация и информационные процессы» Раздел программы: «Теоретическая информатика». Тема урока: зачет по теме «Информация и информационные процессы». Тип урока: урок-повторение Вид: урок-зачет
Время проведения: последний из трех уроков по теме «Информация и информационные процессы» (базовый курс)
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок по информатике в 8 классе. Тема урока: Предмет информатики. Цели урока: дать первое представление о предмете информатики как науки
...
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок по курсу «Основы информатики и вычислительной техники»

Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconМагнитное поле Земли
Этот урок урок над темой, урок мировоззренческий, урок философский. Я убеждена в том, что знания о среде своего обитания «о колыбели...
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок «Древний Восток»
Данный урок – это повторительно – обобщающий урок
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок по математике: (2 класс) «законы умножения математики (переместительный закон)»
Сегодня у нас необычный урок математики: мы с вами отправимся в музей математической техники
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок географии по теме: «географическая оболочка земли»
Данный урок составлен учителем самостоятельно без использования литературы. Урок апробирован на обучающихся школы №15
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок №1 «Дроби» Урок №2 «Сравнение дробей» Урок №3 «Нахождение части числа» Урок №4 «Нахождение числа по его части»
Методический комплекс: Петерсон Л. Г. Математика. 4 класс. – М.: Издательство «Ювента», 2003
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок по теме «Внутренняя энергия»
Урок проводится в режиме on-lain, теоретическая информация о внутренней энергии и анимации для демонстрации физических опытов заимствуется...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org