Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники



страница9/10
Дата26.07.2014
Размер1.79 Mb.
ТипУрок
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Свойства пересечения и объединения множеств.

Утверждение 1: Пересечение и объединение множеств обладают переместительным (коммутативным) свойством: АВ = ВА и АВ = ВА.

Утверждение 2: Пересечение и объединение множеств обладают сочетательным (ассоциативным) свойством: (АВ)С = АС) и (АВ)С = АС).

Проиллюстрируем свойство ассоциативности при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов (рис. а). В выражении (АВ)С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В - оно показано на рисунке вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество (АВ)С.

Представим теперь наглядно множество АС). В соответ­ствии с указанным порядком действий сначала надо найти пересече­ние множеств В и С - на рисунке б оно показано вертикальной штриховкой, а затем выполнить пересечение множества А с полу­ченным множеством.

Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изобра­жать множество АС).

Как видим, области, представляющие множества (АВ)С и АС) одинаковы, что и подтверждает справед­ливость свойства ассоциативности для пересечения множеств.

Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.



Утверждение 3: Пересечение дистрибутивно относительно объединения мно­жеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство: (АВ)С = (АС) С).

Утверждение : Объединение дистрибутивно относительно пересечения мно­жеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство: (АВ)С = (АС)С).

Замечание: Если в выражении есть знаки пересечения и объеди­нения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.

Домашнее задание:

1. Известно, что xАВ. Следует ли из этого: а) xВА; б) xАВ; с) xВА.

2. Определите порядок выполнения действий: а) АВС; б)АВС; в) АВСД; г) АВСД.

3. Даны множества: А - натуральных чисел, кратных 2; В - нату­ральных чисел, кратных 3; С - натуральных чисел, кратных 5.

а) Изобразите при помощи кругов Эйлера данные множества и от­метьте штриховкой область, изображающую множество АВС.

б) Сформулируйте характеристическое свойство элементов этого множества и назовите 3 элемента, которые ему принадлежат.

в) Верно ли, что АВС = (АВ)С)?

4. Даны множества: X - двузначных чисел, У- четных натуральных чисел, Р - натуральных чисел, кратных 4.

а) Укажите характеристическое свойство элементов каждого из множеств А и В, если А=XYP, В=X(YP).

б) Изобразите множества X, Y и P при помощи кругов Эйлера и покажите области, представляющие множества А и В (для каждого случая выполните отдельный рисунок).

в) Верно ли, что 24А; 23В?

5. А - множество треугольников, В - множество ромбов, С - множество многоугольников, имеющих угол 60° . Укажите характе­ристическое свойство элементов множества Х = АСВС и начертите две фигуры, принадлежащие множеству X.

6. Верно ли, что если АВ, то АВ=А и АВ=В.

7. Проиллюстрировать свойства дистрибутивности, используя круги Эйлера.

8. Постройте три круга, представляющие попарно пересекающиеся множества А, В и С, и отметьте штриховкой области, изображающие множества: а) АВС; б) АВС; в) (АВ)С; г) (АВ)С; д)АВС; е) (АС)С). Для каждого случая сделайте отдельный рисунок. Найдите выражения, которые представ­ляют собой равные множества.

9.Докажите, что для любого множества А верны равенства: а)АØ = Ø; б)АØ = А; в)АА = А; г)АА = А.



Вычитание множеств. Дополнение множества.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Разность множеств А и В обозначают А\ В. Тогда, по определе­нию, имеем: А\В = {xxА и xВ}. При помощи кругов Эйлера разность множеств А и В изображается заштрихованной областью.

В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмноже­ством другого.

Определение. Пусть ВА. Дополнением множества В до множе­ства А называется множество, содержащее все элементы множе­ства А, которые не принадлежат множеству В. Дополнение обозначают символом в'а, а на­глядно изображают так, как представлено на рисунке.

Из определений получаем, если ВА, то А\В = в'а .

Выясним, как находить дополнение подмножества на конкретных примерах.

Если элементы множеств А и В перечислены и ВА, то, чтобы найти дополнение множества В до множества А, достаточно перечис­лить элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В. Так, если А = {1, 2, 3, 4, 5}, В= {2, 4}, то в'а = {1, 3, 5}.



Замечание: Если ВА, то характеристическое свойство элементов дополнения множества В до множества А имеет вид {xxА и xВ}.

Замечание: Считают, что пересечение - более «сильная» операция, чем вы­читание. Объединение считают равноправным вычитанию.

Свойства: Вычитание множеств обладает рядом свойств.

1) (А\В)\С=(А\С)\В

2) (АВ)\С=(А\С)(В\С)

3) (А\В)С=(АС)\(ВС)

4) А\(ВС)=(А\В)(А\С)

5) А\(ВС)=(А\В)(А\С)


Домашнее задание:

1. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие утверждения: а) 5А\В; б) 7А\В.

2. Известно, что x А \ В. Следует ли из этого: xА и xВ.

3. Найдите разность множеств А и В, если

а) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = {2, 4, 6, 8, 10}; б) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = Ø;

в) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = {1, 3, 5}; г) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = {6, 2, 3, 4, 5, 1}.

4. Даны множества: А - натуральных чисел, кратных 3, В - натуральных чисел, кратных 9.

а) Сформулируйте характеристическое свойство элементов множества в'а

б) Верно ли, что 123 в'а , а 333 в'а

5. Найдите дополнение множества Y до множества X, если:

а) Х - множество точек прямой АВ, Y- множество точек отрез­ка АВ;

б) X - множество точек квадрата, Y - множество точек круга, вписанного в этот квадрат;

6. Из каких чисел состоит дополнение:

а) множества натуральных чисел до множества целых;

б) множества рациональных чисел до множества действительных.

7. А - множество натуральных чисел, кратных 7, В - множество натуральных чисел, кратных 3, С - множество четных натуральных чисел. Из каких чисел состоят множества:

а) (АВ)\С; б) (АВ)\С; в) АС\В; г) СВ\А.

8. Найдите дополнение множества Y до множества X, если X - множество прямоугольников, Y- множество квадратов.

9. Из каких чисел состоит дополнение:

а) множества целых чисел до множества рациональных;

б) множества действительных чисел до множества комплексных.

10. Придумайте по два примера дополнений одного множества до другого из алгебры, геометрии и истории.

11. При помощи кругов Эйлера постройте области, представляющие множества:

а) А\(ВС); б) (АВ)\С; в) (А\С)(В\С); г) (А\В)(А\С);

д) (А\В)С; е) (АС)\(ВС); ж) (А\В)(А\С); з) А\(ВС).

Среди построенных множеств найдите равные. Для каждого случая выполните отдельный рисунок.



Разбиение множества на классы.

Определение: Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество X разбито на классы Х1, Х2, …, Хn, …, если:

  1. подмножества Х1, Х2, …, Хn, … попарно не пересекаются;

  2. объединение подмножеств Х1, Х2, …, Хn, … совпадает с множе­ством X.

Замечание: Если не выполнено хотя бы одно из условий, то классификацию считают неправильной.

Например, если из множества X треугольни­ков выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, по­скольку подмножества равнобедренных и равносторонних тре­угольников пересекаются (все равносторонние треугольники явля­ются равнобедренными). В данном случае не выполнено первое ус­ловие разбиения множества на классы.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Пример. Рассмотрим множество натуральных чисел. Рассмотрим чис­ла, обладающие свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на два класса. (Такую классификацию называ­ют дихотомической).

Рассмотрим теперь ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N натуральных чисел можно выделить два подмножества: А - подмножество чисел, кратных 3, и В - подмножество чисел, крат­ных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Разбиения множества натуральных чисел на подмно­жества А и В не произошло. Круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей. Каждая область изображает некоторое подмножество множества N. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II - из чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножество III - из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IV - из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объедине­ние этих четырех подмножеств есть множество N. Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбие­нию этого множества на четыре класса. Напри­мер, при помощи таких двух свойств «быть крат­ным 3» и «быть кратным 6» множество натураль­ных чисел разбивается на три класса: I -класс чисел, кратных 6; II - класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III - класс чисел, не кратных 3.


Домашнее задание:

1. Из множества Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выделим под­множества: а) четных и нечетных чисел; б) чисел, кратных 2, кратных 3 и кратных 4; в) нечетных однозначных чисел и четных двузначных чисел. В каком случае произошло разбиение множества X на классы?

2 . Из множества треугольников выделили подмножества: а) прямоугольные, равнобедренные, равносторонние; б) остроугольные, тупоугольные, прямоугольные; в) равносторонние, прямоугольные, тупоугольные.

В каком случае произошло разбиение множества треугольников на классы?

3. На какие классы разбивается множество точек плоскости при помощи: а) окружности; б) круга; в) прямой?

4. Из множества четырехугольников выделили подмножество фи­гур с попарно параллельными сторонами. На какие классы разбивает­ся множество четырехугольников с помощью свойства «иметь попар­но параллельные стороны»? Начертите по два четырехугольника из каждого класса.

5. На множестве четырехугольников рассматриваются два свойства: «быть прямоугольником» и «быть квадратом». На какие классы разобьется множество четырехугольников при помощи этих свойств? Начертите по два четырехугольника из каждого класса. Изменится ли ответ в упражнении, если на множестве четы­рехугольников рассмотреть свойства: а) «быть прямоугольником» и «быть ромбом»; б) «быть прямоугольником» и «быть трапецией»?

6. Придумайте по два примера разбиения на классы из курса алгебры, геометрии и истории.

УРОК 10. Алгебра логики. Элементарные высказывания.

Логика очень древняя наука.

1-й этап связан с работами ученого и философа Аристотеля (384-322 г.г. до н.э.). Он пытался найти ответ на вопрос “Как мы рассуждаем”, изучал правила мышления. Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы – понятие, суждение, умозаключение. Так возникла формальная логика.

2-й этап – появление математической, или символической, логики. Основы ее заложил немецкий ученый и философ Г.В. Лейбниц (1646-1716). Он сделал попытку построить первые логические исчисления, считал, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками, и привел соответствующие правила. Но он выдвинул только идею, а развил её окончательно англичанин Д. Буль (1815-1864). Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику.


1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники
Кратко описать профессию из различных направлений приведенной классификации в теоретическом материале (Уро Информатика) по плану
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок-зачет по теме «Информация и информационные процессы» Раздел программы: «Теоретическая информатика». Тема урока: зачет по теме «Информация и информационные процессы». Тип урока: урок-повторение Вид: урок-зачет
Время проведения: последний из трех уроков по теме «Информация и информационные процессы» (базовый курс)
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок по информатике в 8 классе. Тема урока: Предмет информатики. Цели урока: дать первое представление о предмете информатики как науки
...
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок по курсу «Основы информатики и вычислительной техники»

Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconМагнитное поле Земли
Этот урок урок над темой, урок мировоззренческий, урок философский. Я убеждена в том, что знания о среде своего обитания «о колыбели...
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок «Древний Восток»
Данный урок – это повторительно – обобщающий урок
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок по математике: (2 класс) «законы умножения математики (переместительный закон)»
Сегодня у нас необычный урок математики: мы с вами отправимся в музей математической техники
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок географии по теме: «географическая оболочка земли»
Данный урок составлен учителем самостоятельно без использования литературы. Урок апробирован на обучающихся школы №15
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок №1 «Дроби» Урок №2 «Сравнение дробей» Урок №3 «Нахождение части числа» Урок №4 «Нахождение числа по его части»
Методический комплекс: Петерсон Л. Г. Математика. 4 класс. – М.: Издательство «Ювента», 2003
Урок информатика урок информация. Урок история вычислительной техники iconУрок по теме «Внутренняя энергия»
Урок проводится в режиме on-lain, теоретическая информация о внутренней энергии и анимации для демонстрации физических опытов заимствуется...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org