Правило Крамера для сингулярной системы линейных уравнений



Дата26.07.2014
Размер64.3 Kb.
ТипРешение

    Правило Крамера для сингулярной системы линейных уравнений

Обозначим: – n -мерное пространство,



– пространство матриц размерности ,

.

Пусть – матрица, полученная из матрицы A заменой j-го столбца на столбец .



Определение. Пусть . Наименьшее неотрицательное целое k, такое, что , называется индексом матрицы A и обозначается Ind(A). [1]

Определение (алгебраическое). Пусть и Ind(A)=k, такие, что , , . Тогда X называется обратной матрицей Дразина для A и обозначается . [1]

Определение (функциональное). Пусть – линейный оператор в , такой, что . Пусть и x представляется в виде , где и .Пусть . Линейный оператор, определяемый как , называется обратным Дразина для gif" name="object24" align=absmiddle width=21 height=18>. Пусть – линейный оператор, описываемый матрицей . Тогда обратный оператор Дразина определяется матрицей . [1]

Если известны собственные числа матрицы A, то для вычисления обратной матрицы Дразина можно использовать следующий метод.

Предположим, что 0 – собственное число матрицы А кратности l, а остальные, ненулевые, собственные числа матрицы А – кратности , .

Тогда, если .

Составим полином степени n-1, зависящий от :

(1)

Коэффициенты полинома определяются из системы m уравнений:



(2)

Очевидно, система имеет единственное решение. [2]



Теорема 1. Если – полином, определяемый как (1), то .

Доказательство. см. [2], p.421

Проиллюстрируем применение этого метода на примере.



Пример. Вычислить для матрицы



Решение

Найдем собственные числа матрицы A:





Полином имеет вид

Найдем коэффициенты полинома :





Вычислим обратную матрицу Дразина:






Рассмотрим теперь следующую задачу: для данного найти вектор ,такой, что

(3)


Из функционального определения обратного оператора Дразина следует, что система (3) имеет единственное решение . (4)

Приведем без доказательства следующую вспомогательную теорему:



Теорема 2. Пусть , , и пусть – матрицы, столбцы которых образуют базисы для и соответственно. Тогда матрица – невырожденная и . [1]

Получим теперь метод Крамера для нахождения решения системы (3).



Теорема 3. Пусть и , , и пусть – матрицы, столбцы которых образуют базисы для и соответственно. Пусть . Тогда единственное решение системы (3) удовлетворяет условиям:

, .

Доказательство: Из (4) и по условию теоремы .

Из (3) и (5) следует, что решение x системы (3) удовлетворяет условиям:



(5)

По теореме 2 матрица невырожденная .



. [1]

Решим теперь методом Крамера следующий


Пример. Решить систему уравнений


Решение

Найдем индекс матрицы A:






Найдем :





- базис

Найдем:



Фундаментальная система решений:









-1

0

1

-1

1

0

- базис .

Найдем:



Фундаментальная система решений:









-1

0

1

1

1

0

- базис .

Тогда матрицы U и имеют вид:



,

Вычислим решение системы:











Ответ:

Перед тем, как перейти к обобщенному методу Крамера, дадим следующее определение.


Определение. Пусть . Тогда называется наилучшим приближенным решением уравнения , если . Вектор u называется минимальным наилучшим приближенным решением уравнения , если u - наилучшее приближенное решение этого уравнения и для любого – наилучшего приближенного решения. [3]


Приведем без доказательства следующее вспомогательное утверждение.

Утверждение 1. Если , , то

1)

2) , где - псевдообратная матрица для A.

Обобщим правило Крамера решения системы (3) на случай .



Теорема 4. Пусть , , , и пусть –матрицы, столбцы которых образуют базисы для и соответственно. Пусть . Тогда минимальное наилучшее приближенное решение системы (3) удовлетворяет условиям:

, , (6)

где - ортогональный проектор b на .

Приведем метод, позволяющий вычислять .

Теорема 5. Пусть в произвольном евклидовом (унитарном) пространстве даны произвольный вектор x и некоторое m-мерное подпространство S с базисом . Тогда ортогональная проекция вектора x на подпространство S определяется единственным образом и равна



,

где Г – определитель Грама для векторов .



Доказательство: см. [4], стр. 213-215

Найдем с помощью обобщенного метода Крамера минимальное наилучшее приближенное решение системы линейных уравнений.



Пример. Решить систему уравнений Ax=b, если

и

Решение

Нетрудно заметить, что



,

Найдем :



- базис

Очевидно, , а т.к. матрица А – самосопряженная, то можно применить теорему 4.

Найдем :

Пусть





Найдем . Так как А – самосопряженная, то





- базис для .

Матрицы U,V имеют вид



Найдем минимальное наилучшее приближенное решение системы:





Ответ:

Рассмотрим еще один пример.



Пример. Решить систему уравнений

Решение

Имеем:


Так как матрица A – самосопряженная, то по утверждению 1 k=Ind(A)=1.

Очевидно, , где L() – линейная оболочка, натянутая на векторы . Тогда , и, в силу самосопряженности матрицы А, можно применять обобщенное правило Крамера (теорема 5).

Найдем :





Найдем :











-1

0

1

Поэтому,

Найдем минимальное наилучшее приближенное решение системы:





Ответ:

Литература


[1]. Guo-rong Wang. A Cramer rule for finding the solution of a class of singular equations.// Linear Algebra and its applications. 116:27 – 34 (1989).

[2]. Campbell S. L., Meyer C. D., Rose Jr & N. J. Applications of the Drazin inverse to linear systems of differential equations with singular constant coefficients.// SIAM J. Appl. Math/ Vol 31, No. 3, 1976 - p. 411 – 425.

[3]. Романова О.А. Псевдообращения линейных операторов и их приложения. Иркутск, 1997.

[4]. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988.



[5]. Y.Chen. A Cramer rule for solution of the general restricted linear equation.// Linear and multilinear algebra,1993,vol.34,p.177-186

Похожие:

Правило Крамера для сингулярной системы линейных уравнений iconИсследование линейной системы 2-ух уравнений с 2-мя неизвестными. Определитель квадратной матрицы второго порядка. Формулы Крамера
Система линейных уравнений. Определитель решения системы. Исследование линейной системы 2-ух уравнений с 2-мя неизвестными
Правило Крамера для сингулярной системы линейных уравнений iconМетодические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений»
«Системы линейных уравнений» по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса факультета тэс
Правило Крамера для сингулярной системы линейных уравнений iconМеханико-математический факультет
Критерий обратимости квадратных матриц, нахождение обратной матрицы. Формула Крамера решения системы линейных уравнений
Правило Крамера для сингулярной системы линейных уравнений iconПрограмма по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень
Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неизвестные. Разложение...
Правило Крамера для сингулярной системы линейных уравнений iconРешением системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений – это системы уравнений первой степени с несколькими неизвестными
Правило Крамера для сингулярной системы линейных уравнений iconЛекция № Методы решения систем линейных уравнений
Мы будем рассматривать частный случай системы линейных уравнений, а именно случай, когда т е число уравнений равно числу неизвестных....
Правило Крамера для сингулярной системы линейных уравнений iconСистемы линейных уравнений
Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают...
Правило Крамера для сингулярной системы линейных уравнений iconЛинейных уравнений
Линейные уравнения. Системы линейных уравнений. Разрешенная система линейных уравнений
Правило Крамера для сингулярной системы линейных уравнений iconИсследование системы линейных уравнений (неоднородной и однородной) через ранги основной и расширенной матриц
Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы через обратную матрицу
Правило Крамера для сингулярной системы линейных уравнений iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 Системы линейных уравнений. Метод Гаусса Сведения из теории
Многие задачи естествознания своими моделями имеют системы линейных уравнений с несколькими неизвестными
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org