Конспект лекций преподавателя математики спб гоу спо пкгх тиняковой Марины Ивановны Тема : Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла Интегральные исчисления



Скачать 66.39 Kb.
Дата08.10.2012
Размер66.39 Kb.
ТипКонспект

Конспект лекций преподавателя математики

СПБ ГОУ СПО ПКГХ

Тиняковой Марины Ивановны


Тема : Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла



Интегральные исчисления


О мир, пойми! Певцом – во сне –

открыты

Закон звезды и формула цветка.

М.Цветаева



-

Литература:


  1. Н.В. Богомолов << Практические знания по математике>> Москва, <<Высшая школа>>2008

  2. М.Л. Краснов << Вся высшая математика 2>> изд. УРСС Москва 2004

  3. М.И. Башмаков << Алгебра и начала анализа>> 10-11 класс <<Дрофа>> 2008

  4. Ю.М. Колягин <<Алгебра и элементарные функции>> Москва <<Агар>> 20010

  5. Энциклопедия для детей том 11 <<Математика>> Москва <<Аванта +>> 1998



  1. Повторение изученного.


Для вычисления определенного интеграла от функции f(x) служит формула

Ньютона – Лейбница




Т.е определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Эта знаменитая формула, одна из самых важных в математическом анализе, названа именами его основоположников

Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница.

А теперь поговорим о приложении, т.е. применении определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур.
На прошлых занятиях мы познакомились с понятием криволинейной трапеции:

- Дать определение криволинейной трапеции


Ответ:

Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная графиком функции y=f(x) , осью OX и прямыми x=a ; x=b.
- Как находится площадь криволинейной трапеции?
Ответ: по формуле

Итак:

Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.
В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла и на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур.


  1. Объяснение нового материала.


Рассмотрим несколько случаев расположения плоских фигур в декартовой системе координат:
1) Если функция f(x) > 0 на отрезке [a; b] (т.е. кривая y=f(x) расположена над осью OX), тогда площадь криволинейной трапеции будет равна:
gif" name="object4" align=absmiddle width=102 height=48>


2) Если функция f(x) < 0 на отрезке [a;b] т.е. кривая y=f(x) расположена под осью OX , то площадь криволинейной трапеции находится по формуле:



3) Если фигура, ограниченная кривой y=f(x) осью OX и прямыми x=a , x=b расположена по обе стороны от оси OX, т.е. часть криволинейной трапеции расположена осью OX, а другая часть под осью OX, тогда площадь заштрихованной фигуры равна сумме двух площадей:



4) Если фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и , прямыми x=a и x=b и , тогда ее площадь находится по формуле:



5) Если фигура имеет сложную форму, то прямыми , параллельными оси OY , ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.



  1. Закрепление новых знаний.


Пример 1

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , прямой x=2 и осью OX






Пример 2



Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью OX





или
т.к. парабола симметрична относительной прямой x=1, то площадь заштрихованной фигуры можно найти так :

Пример 3

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями





или



Пример 4
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями







Коротко об интеграле можно сказать так:

Интеграл – это площадь


Способ вычисления площади, о котором идет речь, уходит корнями в глубокую древность.


Еще в III веке до н.э. Архимед вычислил площадь параболического сегмента с помощью изобретенного им <<метода исчерпывания>>, который через 2 тысячи лет был преобразован в метод интегрирования.




Архимед (ок. 287 – 212 до н.э.)

Греческий физик и математик. Ему принадлежит метод нахождения длин и
площадей, предвосхитивший интегральное исчисление. Закон Архимеда –
один из фундаментальных законов физики. “Внимательно читая сочинения
Архимеда, перестаешь удивляться всем новейшим открытиям геометрии”,-
сказал о нем Лейбниц.




Исаак Ньютон (1643 - 1727)

Английский физик и математик. Создал современную механику (Законы
Ньютона) и открыл Закон Всемирного Тяготения.
В его главном сочинении “Математические начала натуральной
философии” дан математический вывод основных фактов о движении
небесных тел. Один из создателей дифференциального и интегрального
исчисления.
“Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент

она не течет ни вперед, ни назад.”

И.Ньютон


Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716)

Немецкий математик, физик, философ, создатель Берлинской академии
наук. Основоположник дифференциального и интегрального исчисления, ввел
большую часть современной символики математического анализа. В
работах Лейбница впервые появились идеи теории алгоритмов.
“Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx ,- ошибка , которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперед.”

Г.В.Лейбниц



  1. Проверка усвоения нового материала.



1) Записать с помощью интегралов площади фигур, изображенных на рисунках:
a)

Ответ:



б)


Ответ:



в)
Ответ:




г)



Ответ:



д)


Ответ:


е)

Ответ:



2) Нарисовать фигуры, площади которых равны следующим интегралам:
Самостоятельная работа
Вариант 1 : а) б)
Вариант 2 : а) б)
Вариант 3 : а) б)

Вариант 1 :

а) б)



Вариант 2 :

а) б)



Вариант 3:

а)



б)

Похожие:

Конспект лекций преподавателя математики спб гоу спо пкгх тиняковой Марины Ивановны Тема : Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла Интегральные исчисления iconПлан-конспект урока вычисление площадей фигур. Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий
Вычисление площадей фигур. Урок №4 в теме «Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции»
Конспект лекций преподавателя математики спб гоу спо пкгх тиняковой Марины Ивановны Тема : Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла Интегральные исчисления iconМетоды вычислений. 3-ий курс • Вычисление определенного интеграла
Вычисление определенного интеграла. Основные понятия. По­становка задачи. Понятия: квадратурной формулы, весовой функции, методической...
Конспект лекций преподавателя математики спб гоу спо пкгх тиняковой Марины Ивановны Тема : Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла Интегральные исчисления iconЛабораторная работа №1. Вычисление площадей плоских фигур. Площадь плоской области D, находится по формуле Или в полярных координатах
Найдём точки пересечения прямой с параболой. Решая систему уравнений, находим A(0;2) и B(8;-6). Переменная y изменяется от -6 до...
Конспект лекций преподавателя математики спб гоу спо пкгх тиняковой Марины Ивановны Тема : Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла Интегральные исчисления icon«Вычисление площадей с помощью интегралов»
Обобщить и систематизировать теоретический материал по теме. Отработать навыки вычисления первообразных для функций. Отработать навыки...
Конспект лекций преподавателя математики спб гоу спо пкгх тиняковой Марины Ивановны Тема : Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла Интегральные исчисления icon«Вычисление площадей геометрических фигур»
Сегодня на уроке мы должны будем закрепить умения и навыки вычисления площадей фигур в процессе решения задач и в ходе выполнения...
Конспект лекций преподавателя математики спб гоу спо пкгх тиняковой Марины Ивановны Тема : Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла Интегральные исчисления icon13. Приложения определенного интеграла
В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические к вычислению площадей и объёмов....
Конспект лекций преподавателя математики спб гоу спо пкгх тиняковой Марины Ивановны Тема : Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла Интегральные исчисления iconВычисление объёмов геометрических тел с помощью определённого интеграла
Чипышева Л. В., Фёдорова С. А. учителя моу гимназии №80 г. Челябинска
Конспект лекций преподавателя математики спб гоу спо пкгх тиняковой Марины Ивановны Тема : Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла Интегральные исчисления iconПеречень утвержден на заседании кафедры математики и информатики сф башГУ
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Основные свойства
Конспект лекций преподавателя математики спб гоу спо пкгх тиняковой Марины Ивановны Тема : Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла Интегральные исчисления iconУрок по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме «Применение определенного интеграла при решении практических задач»
Решать определенные интегралы с применением их при нахождении площадей фигур, скорости объекта
Конспект лекций преподавателя математики спб гоу спо пкгх тиняковой Марины Ивановны Тема : Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла Интегральные исчисления iconЛекция 18. Вычисление определенного интеграла
Производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org