О методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами



Скачать 493.3 Kb.
страница1/3
Дата06.11.2012
Размер493.3 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
Кандидат физико-математических наук Абрамова В.В.


Камский государственный политехнический институт


О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ



1. Введение. В работе исследуются точные и приближённые методы решения сингулярных интегральных уравнений вида

Ax º a(s)x(s)+

l1
2p




2p
ó
õ


h1(s,s)lnm

ê
ê

sin

s-s
2




ê
ê

x(s)ds+




+

l2
2p




2p
ó
õ


h2(s,s)

ê
ê

ctg

s-s
2




ê
ê

d

 

x(s)ds+




+

l3
2p




2p
ó
õ


h3(s,s)ctg

s-s
2

x(s)ds = y(s)     -¥ < s < ¥.




(1)

Здесь a(s) Î C2p, y(s) Î L2(0,2p) и hi(s,s) Î C[0,2p]2 - известные вещественные 2p-периодические функции своих аргументов, а параметры d, m и li таковы, что

0 £ d < 1,     m+1 Î N,   

3
å
i=1 

li2 ¹ 0.




(2)

причём сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши-Лебегу, а слабо-сингулярные интегралы - как обычные несобственные интегралы.

При этом будем пользоваться результатами и методикой исследований, предложенными в гл.IV монографии [3]. Потому работа является естественным продолжением и развитием соответствующих результатов книги [3].

2. Теоремы существования и единственности решения. Если L2=L2(0,2p) - вещественное пространство со скалярным произведением и нормой соответственно

(f,g)=

1
2p




2p
ó
õ


f(s)g(s)ds     (f,g Î L2);




|| f||=


Ö

 


(f,f)

 

=

ì
í
î




1
2p




2p
ó
õ


|f(s)|2ds

ü
ý
þ

1/2

 

    (f Î L2),




то для уравнения (1)-(2) справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть выполняются условия:

I. g1(s,s) º l1[h1(s,s)+h1(s,s)] ³ 0 при m чётном и соответственно g1(s,s) £ 0 при m нечётном;

II. g2(s,s) º l2[h2(s,s)+h2(s,s)] ³ 0;

III. h3(s,s)=h3(s,s);

IV. a(s) ³ g2=const > 0 при всех 0 £ s £ 2p.

Тогда оператор A:L2® L2 непрерывно обратим и

|| A-1|| £ g-2 < ¥,    g2=


min
0 £ s £ 2p 

a(s) > 0.




(3)

Доказательство. Введём операторы S1h1, S2h2 и S3h3:L2® L2 по формулам

S1h1(x;s)=

l1
2p




2p
ó
õ


h1(s,s)lnm

ê
ê

sin

s-s
2




ê
ê

x(s)ds;




(4)

S2h2(x;s)=

l2
2p




2p
ó
õ


h2(s,s)

ê
ê

ctg

s-s
2




ê
ê

d

 

x(s)ds;




(5)

S3h3(x;s)=

l3
2p




2p
ó
õ


h3(s,s)ctg

s-s
2

x(s)ds.




(6)

Тогда

S1h1(x;s)=

S1g1(x;s)+S1

~

g

 






2

,   

~

g

 




(x;s)=l1[h1(s,s)-h1(s,s)];




S2h2(x;s)=

S2g2(x;s)+S2

~

g

 






2

,   

~

g

 




(x;s)=l2[h2(s,s)-h2(s,s)].




В силу условий I и II для любого x Î L2 находим

(Skhkx,x)=

(Skgkx,x)+(Sk

~

g

 


k 



2

=

1
2

(Skgkx,x) ³ 0     (k=1,2),




~ ~

т.к. (Skgkx,x)=0 в силу кососимметричности ядер gk(s;s) при k=1,2. С другой стороны, из условия III следует (см., напр., §1 гл.IV [3]), что (S3h3x,x)=0 для любого x Î L2.

Таким образом, для любого элемента x Î L2 справедливо неравенство

(Ax,x) ³ g2|| x||2,    x Î L2.




(7)

Поскольку в условиях теоремы оператор A:L2® L2 ограничен (см., напр., [6]), из неравенства (7) следует требуемое утверждение, в частности, оценка (3).
  1   2   3

Похожие:

О методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами iconРабочей программы дисциплины Вычислительные методы Место дисциплины в структуре ооп
Рунге-Кутта; численные методы решения интегральных уравнений второго рода; метод регуляризации решения интегральных уравнений первого...
О методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами iconМетод Гаусса-Жордана
Цель работы: Сформировать у студентов представления о прямых и итерационных методах решения систем линейных уравнений, выработать...
О методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами iconО вычислении сингулярных интегралов при решении нелинейной задачи упругости методом граничных элементов
Существенным этапом решения является вычисление сингулярных интегралов по области и их производных по параметрам подынтегральных...
О методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами iconУрока тема урока: Решение уравнений (11 класс) Тип урока: Урок-практикум
Образовательные: Обобщить и систематизировать знания учащихся об общих методах решения уравнений
О методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами iconСтатья 62 Некоторые интегральные тождества математической физики
Грина построены три группы интегральных соотношений, верных для функций, заданных на границе области. Тождества пригодны для исследования...
О методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами iconСпецкурс «Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях.»
Виды интегралов. Интегральный оператор Фредгольма с непрерывным и полярным ядром
О методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами iconВычислительная математика
Создание алгоритмов численного решения задач алгебры, анализа, дифференциальных и интегральных уравнений, математической физики
О методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами iconЧисленные методы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го рода
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики»
О методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами iconТочные решения обобщенных уравнений типа рассматривается класс уравнений типа
Рассматривается класс уравнений типа. Используя переменную бегущей волны и метод простейших уравнений, построены точные решения для...
О методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами iconРешение квадратных уравнений
Цели урока: образовательная –формирование навыков решения квадратных уравнений по формуле, отработать способы решения неполных квадратных...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org