Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка



страница1/11
Дата06.11.2012
Размер0.88 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
      1. Федеральное агентство по образованию

      2. Государственное образовательное учреждение

      3. высшего профессионального образования

      4. ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ



      1. Элементы теории функций комплексного переменного




      1. Индивидуальные задания


      1. Пособие разработано ассистентом Костиной Е.В., ассистентом Морозовой Е.А., доцентом Плаксиной В.П., ст. преп. Федосеевой О.А..


Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»
      1. © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ


Пермь 2007

Разбор типового варианта

Задание 1.

1) Найти модуль и аргумент чисел и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

2) Найти: а). ; б). ; в).

Решение.

1) Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка , числу - точка .


Для нахождения модуля и аргумента заданных чисел воспользуемся формулами:

и gif" align=bottom>

Получим:

, ,

, .

Чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической и показательной применим формулы:

и .

Использовав ранее полученные результаты, получим:

,

,

,

.

2) а)



б)



в) Применим формулу .



при : ;

при : ;

при :



Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) ;

б) .

Решение.

а)

б) По определению .

,



Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть функции :



Таким образом, получим:



Найдем частные производные и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

.

,

,

т.е. для любых действитедбных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

,

,

т.е. для любых действитедьных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

Так как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел и частные производные существуют и непрерывны в окрестности любой точки , то производная существует в любой точке комплексной плоскости С.

Найдем эту производную:







Итак, .

Действительная часть производной:

,

мнимая часть производной:

.

Задание 4. Определить вид кривой .

Решение.

.

Откуда

Выразим из каждого уравнения:

Исключим из уравнений:

.

,

, ,

,

- уравнение гиперболы.

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами:

а).

б).

а). Искомым множеством является пересечение кольца и внутренней части угла :



б). Кривую запишем в декартовых координатах:





Итак, .

Или ,

- Лемниската Бернулли.

Неравенство определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:



Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Решение.

Найдем частные производные:





Следовательно,

, .

Таким образом, функция гармоническая в плоскости , и, значит существует такая аналитическая в функция , что .

В силу условий Коши-Римана имеем:

(1)

(2)

Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :

. (3)

Продифференцируем (3) по х:



Сопоставляя результат с (2), получаем , откуда .

Таким образом, имеем

и

Учитывая условие , получаем .

Итак,

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Решение.

Для того чтобы найти образ области при отображении , нужно найти образ границы области , затем взять произвольную точку из области и найти ее образ.

Правило для определения уравнения образа кривой.

Пусть в области кривая задана . Чтобы найти уравнение образа этой кривой в плоскости при отображении с помощью функции , нужно исключить и из уравнений:

(1)

Если кривая задана параметрическими уравнениями:

или ,

то параметрические уравнения её образа при отображении будут



В данном примере граница области состоит из трех частей: . Найдем ее образ при данном отображении.

Выделим и действительную и мнимую части функции.

;

, .

Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):



Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:

.



Окончательное уравнение границы при .

Аналогично находим образ : при .

Образ находим из системы:



Следовательно, образ границы : при и при ; . Изобразим образы границ на плоскости .

Для изображения образа области на плоскости возьмем контрольную точку. Точка обратится в точку .



Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) , ;

б) , .
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconОпределение синуса, косинуса, тангенса, котангенса
Числу 0 ставится в соответствие точка, а каждому числу ставится в соответствие точка, полученная поворотом точки на угол вокруг начала...
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка icon22. 1 Геометрические преобразования плоскости
Осевой симметрией называется преобразование плоскости, при котором образом точки а плоскости будет точка А’, лежащая на перпендикуляре...
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconSap exchange Infrastructure возможности и функции
«точка-точка». Также она обеспечивает тот уровень надежности и масштабируемости, который необходим для функционирования закрытых...
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconТеория функций комплексного переменного
Числовые последовательности и пределы. Бесконечно удаленная точка, расширенная комплексная плоскость. Множества на плоскости и на...
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка icon1 линейные числа 2 плоские числа
Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Т. о пифагорейские числа...
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка icon1 Какая из точек А(2,25; 1,5), B(0,64; 0,4), C(16,9; 1,3), D(0,4; 0,2) принадлежит графику функции у =? А) Точка а з) Точка в к) Точка с л) Точка d м) Никакая 2
График функции у = 2 (х+2)2 получается из графика функции у = 2х2 сдвигом на две единицы масштаба
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconЛекции  32 часа Экзамен  4 семестр практические(семинарские) занятия 
Бесконечно удаленная точка, сфера Римана. Алгебраическая и тригонометрические формы задания точки на комплексной плоскости
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconПрактикум I. Дана точка на плоскости с координатами (х, у). Составить программу, которая выдает одно из сообщений «Да», «Нет», «На границе»
Дана точка на плоскости с координатами (х, у). Составить программу, которая выдает одно из сообщений «Да», «Нет», «На границе» в...
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconРешение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида
В этом случае решение уравнения 1) находят с применением приближённых (численных) методов. В этом случае решением нелинейного уравнения...
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconПонятие производной функции
Пусть имеем функцию, определенную на множестве и пусть точка внутренняя точка, т е точка для которой существует окрестность. Возьмем...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org