Методические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год



Скачать 440.03 Kb.
Дата26.07.2014
Размер440.03 Kb.
ТипМетодические рекомендации
Автономное учреждение

среднего профессионального образования

Ханты-Мансийского автономного округа – Югры

«Сургутский профессиональный колледж»



УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
для учащихся I курса

г. Сургут 2009г.

Методические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве.

СПК, 2009год

Составитель: Н.Н Черепанова, преподаватель математики.

Данные методические рекомендации предназначены для самостоятельной подготовки и ликвидации пробелов в знаниях учащихся по теме «Управление линии на плоскости», «Векторы», «Прямоугольная система координат»

Рассмотрено на заседании естественно-математического цикла.

Протокол № 2 от 15. 09. 2009г.

Рекомендовано к печати Методическим советом

Протокол № 4 от 20. 10. 2009г.



Содержание

Пояснительная записка


4

  1. Векторный базис на плоскости и в пространстве

5

  1. Формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости и в пространстве

11

  1. Деление отрезка в данном отношении

13

  1. Понятие об уравнении линии на плоскости

16

  1. Уравнения прямой на плоскости

22

  1. Взаимное расположение прямых на плоскости

27

  1. Уравнение поверхности и линии в пространстве. Уравнение прямой в пространстве

31

  1. Плоскость. Уравнение плоскости

35

  1. Вопросы для самопроверки

38

  1. Задания для самостоятельной работы

39

Литература

41



Пояснительная записка

Прямые как на плоскости, так и в пространстве нужно изучать совместно с плоскостями, так как и те и другие задаются уравнениями первой степени, т. е. они являются геометрическими образами первого порядка, а кривые второго порядка как геометрические образы, задаваемые уравнениями второй степени, следует изучать после прямых и плоскостей. При таком подходе будут максимально использованы аналогии, существующие в плоской и пространственной геометриях. Это не только приведет к определенной экономии учебного времени, но и поможет учащимся глубже понять единство методов, лежащих в основе геометрии.

В предлагаемых рекомендациях рассматриваются две темы, объединяющие геометрические образы первого порядка: «Прямая линия на плоскости и ее уравнения» и «Уравнения прямой и плоскости в пространстве», причем как содержание этих тем, так и методические указания к ним разработаны таким образом, что их можно изучать как в целом (что представляется нам более естественным и логичным), так и раздельно.


  1. Векторный базис на плоскости и в пространстве

Векторный базис на плоскости лучше задать произвольный, а затем уже рассмотреть тот его частный случай, когда базисные векторы единичны и взаимно перпендикулярны. В пространстве можно также вначале задать произвольный базис. Однако учитывая тот факт, что у учащихся недостаточно развиты пространственные представления, здесь можно ограничиться только рассмотрением ортонормированного базиса.

Для задания на плоскости векторного базиса возьмем два произвольных неколлинеарных вектора а и b , которые в дальнейшем будем называть базисными, и произвольный вектор r. Построим все три вектора из некоторой точки О плоскости (рис. 1). Из точки А — конца вектора г проведем прямую, параллельную вектору а. Пусть В точка пересечения этой прямой с прямой, на которой лежит вектор b . Аналогично построим и прямую (АС), параллельную вектору Ь. Из построения r = ОС + ОВ.

Так как ОС║а и ОВ║b, то существуют числа λ и µ, такие, что ОС=λ а и ОВ=µb. Подставляя значения ОС и ОВ в (1) и учитывая, что ОА=r, получим

r = λа + µb.

Таким образом, задание двух неколлинеарных векторов а и b дает возможность любому вектору г плоскости поставить в соответствие упорядоченную пару чисел λ и µ, которые называются координатами вектора r в базисе {О, а; b}. Это записывается следующим образом: r={λ;µ}.

Координаты вектора при заданном базисе дают возможность восстановить и сам вектор. Для этого достаточно его первую координату умножить на первый базисный вектор, вторую координату умножить на второй базисный вектор и полученные векторы сложить.

Покажем, что векторный базис задает на плоскости координатную систему. В самом деле, пусть на плоскости задан некоторый базис {О; а; b}. Тогда координаты произвольной точки М плоскости, отличной от точки О, могут быть определены следующим образом. Построим радиус-вектор ОМ точки М и разложим его по векторам а и b базиса:

ОМ = ха+уb

Числа х и у будем называть координатами точки М, координаты точки О по определению будем считать равными нулю. Это записывается следующим образом: М (х; у). Прямые, проходящие через векторы а и b, будем называть осями координат, а точку О — началом координат (рис. 2).

Возьмем теперь в качестве базисных векторов два единичных и взаимно перпендикулярных вектора i и j. Такой базис мы будем называть ортонормированным, а систему координат — прямоугольной. Таким образом, для ортонормированного базиса | i | = | j | = 1 и i*j=0 (это скалярное произведение векторов i и j).

Для задания векторного базиса в пространстве возьмем три единичных и взаимно перпендикулярных вектора i,j,k, которые в дальнейшем будем называть базисными векторами. Отложим эти векторы из некоторой точки О пространства. Совокупность точки О и векторов i,j, к будем называть ортонормированным базисом пространства и обозначать так: {О; i; j; k}.

Пусть теперь задан произвольный вектор r. Построим этот вектор из точки О На векторах i, j, к построим прямоугольный параллелепипед так, чтобы вектор r был диагональю его, а прямые, проходящие через векторы i, j, к, определяли три его измерения (рис. 3). Из рис. 3 видно, что



r=ОС + СE. (2)

Но ОС = ОА + ОВ и СЕ = OD, поэтому равенство (2) примет вид

r=OA+OB+OD. (3)

Так как OA||i, OB||j и OD||k, то существуют числа х, у, z такие, что



OA=xi; OB=yj OD = ZK. (4)

Подставив значения (4) в равенство (3), получим r = хi + yj + zk.



Приведенное построение дает возможность для любого вектора пространства найти вполне определенную упорядоченную тройку чисел х, у, z. Эти числа будем называть координатами вектора в заданном базисе. Числа х, у, z в базисе {О; i; j; к} записываются следующим образом: r={х; у; z). Координаты вектора дают возможность восстановить и сам вектор. Для этого достаточно его первую координату умножить на вектор i, вторую координату умножить на вектор j, третью координату умножить на вектор к и полученные таким образом векторы сложить.

Покажем, что векторный базис позволяет задать в пространстве координатную систему. Пусть в пространстве задан базис {О;i;j;k} и произвольная точка М, отличная от точки О. Построим радиус-вектор ОМ точки М и разложим его по векторам i, j, к (рис. 4).

Пусть ОМ = xi + yj+zk. Координаты радиуса-вектора ОМ будем называть координатами точки М Числа х, y,z являются координатами точки М: М (х; у; z). Координаты точки О по определению будем считать равными нулю. Прямые, проходящие через векторы i. j, к, будем называть соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат и обозначать через Ox, Oy, Oz. Начало координат О и координатные оси Ox, Oy, Oz составляют прямоугольную систему координат в пространстве.



На плоскости прямоугольную систему координат можно выбрать двумя различными способами: первый способ это тот, при котором поворот на наименьший угол базисного вектора i вокруг точки О до совпадения с базисным вектором j происходит по направлению против движения стрелок часов (рис. 5), второй способ — когда этот поворот происходит по направлению движения стрелок часов (рис. 6). В первом случае систему координат будем называть правой, во втором случае — левой. В большинстве случаев принято рассматривать правую систему координат.

В пространстве прямоугольную систему координат Oxyz также можно выбрать двумя различными способами: первый способ это тот, при котором базисные векторы i, j, к образуют правую тройку векторов (рис. 7), второй — когда базисные векторы образуют левую тройку (рис. 8). Первую систему будем называть правой системой, вторую — левой. Так же, как и на плоскости в пространстве, в большинстве случаев принято рассматривать правую систему координат.
Упражнения
1. Начертите систему координат и постройте точки со следующими координатами:

а) (3; 2); б) (4; 0); в) (0; 2,3); г) (-1; 2,4).

2. Найдите координаты всех точек, находящихся на расстоянии 3,4 от оси Ох и на расстоянии 2,6 от оси Оу.

2. Формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости и в пространстве
Пусть на плоскости в системе координат Оху с ортонормированным базисом {О; i: j} заданы две точки А (х1; у1) и В (х2; у2) и требуется найти расстояние между этими точками. Для этого построим радиусы-векторы ОА и ОВ и вектор АВ (рис. 9): АВ = ОВ-ОА. Но OB = x2i+y2j, ОА = x1i+y1j, поэтому АВ=(х2-х1)i+ (у2y1)j. Используя формулу скалярного квадрата вектора АВ,

Получим

Это формула для вычисления расстояния между двумя точками, заданными на плоскости своими координатами.

Пусть теперь в пространстве в системе координат Оxyz с базисом {О; i; j; к} заданы две точки A (x1 ,y1,z1) и В (х2, у2, z2) и требуется найти расстояние между этими точками. Аналогично предыдущему построим радиусы вектора ОА и ОВ и вектор АВ (рис. 10): АВ = ОВ - ОА. Но ОВ = x2i + y2i + z2k, ОА = x1i+y1j+z1k,

поэтому АВ = (х2 – х1)i + (у2 – y1)j + (z2 – z1)k. Используя формулу скалярного квадрата АВ, получим

|АВ| =

Это формула для вычисления расстояния между двумя точками пространства, заданными своими координатами.

Упражнение

1. Найдите расстояние от точки М (3;4) до начало координат.

2. Докажите, что треугольник с вершинами в точке А (2;1), В (6; -2) и С (2; -2) прямоугольный

3. Найдите расстояние между точками А (2; 3; 1) и В (3;-1;0)

4. Найдите точку М, лежащую на плоскости Oxz и равноудаленную от трех точек (0;0;1),(0;1;0),(1;1;0)

5. На оси Oz найдите точку, равноудаленную от двух точек А (3;5;1) и В (-2;4;0)
3. Деление отрезка в данном отношении на плоскости и в пространстве

Пусть на плоскости в системе координат Оху с базисом {О; i; j} заданы две точки A(x1; у1;) и В(х2; у2)- Требуется найти координаты такой точки С, которая делит отрезок АВ в отношении λ(λ≠-1)

Построив радиусы-векторы точек А, В, С и обозначив искомые координаты точки С через х и у, будем иметь (рис. 11): AC=λCB. Но АС=(хx1)i+(yy)j и СВ= (х2x)i+ (у2у)j, поэтому предыдущее равенство можно записать в виде

(х— xi1)i +(y—y1)j=λ(x2 —x)i +λ(y2 -y)j (5)

Из векторной алгебры известно, что два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их одноименные координаты, поэтому из (5) получим два скалярных равенств: х-x1 = λ(х2-х),

y – y1=λ (y2-у)-Учитывая, что, λ≠-1 будим иметь



(6)

Это формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в отношении λ

В частности, если делящая точка С является серединой отрезка АВ, то, очевидно, что λ=1 и, поэтому формулы (6) примут вид





Пусть теперь точки А (х11,z1) и В(х22;z2) заданы в пространстве в системе координат Oxyz с базисом {О; i; j; к}. Аналогично, построив радиусы-векторы точек А, В и С(х; у; z),делящей отрезок АВ в отношении λ (λ -1), будем иметь (рис. 12): АС= λСВ. Но АС=(х — x1)i + (y — y1)j +(z- z l)k,

СВ = (x2 — х) i + (у2 -y)j + (z2 - z) k, поэтому

(x – x1)i+ (y-y1)j + (z – z1)k = λ (x2 -x) i + λ (y2 - y) j + λ (z2 - z) k

Сравнив одноименные координаты векторов слева и справа этого равенства, получи х – x1= λ (х2 - х), у – y1 = λ (у2 - у), z – z1 = λ (z2 - z), откуда найдем

Это формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок, заданный в пространстве, в отношении λ

В частности, если делящая точка С является серединой отрезка АВ то, λ = 1, поэтому





Упражнения

1.Найдите координаты центра тяжести треугольника с вершинами в точках А(1; 2; 3),В(-2;0;2) и С(0;- 3;-2).

2. Найдите вершины треугольника гомотетичного треугольнику с вершинами в точках А(2; 2; 2), В(1; 3; 1) и С(4; 1; -1), если коэффициент гомотетии k = 3, а центр гомотетии совпадает с началом координат.

3. Координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении 2 : 5, равны (2; 3; 1). Координаты точки равны (1; 0; 4). Найдите координаты точки В.


4. Понятие об уравнении линии на плоскости. Прямая. Нормальный вектор прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором. Общее уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим представление линии на плоскости при помощи уравнений, связывающих координаты точек этой линии. Такое представление называется аналитическим. Докажем, что прямая линия на плоскости представляется уравнением первой степени относительно координат точек этой прямой.

Предположим, что на плоскости дана прямоугольная система координат хОу с базисом {О; i; j}. Рассмотрим некоторое уравнение

F(x;y)=0, (7)

связывающее две переменные величины х и у. Если одной из переменных, например переменной х, придать определенное числовое значение и подставить это значение в уравнение (7), то получим уравнение с одной переменной у, из которого можно будет найти соответствующее значение переменной у. Придавая таким образом переменной х различные числовые значения, мы каждый раз будем получать соответствующие значения переменной у.

Рассматривая каждую пару чисел, удовлетворяющих уравнению (7), как координаты некоторой точки, мы можем заключить, что уравнение (7) задает на плоскости некоторое множество точек. Это множество точек будем называть линией. Таким образом, линия представляет собой множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению. Из приведенного определения следует, что линия может содержать и конечное число точек. В самом деле, например, уравнению (х+2)2 + -3)2 =0 удовлетворяет только пара чисел х = -2 и у = 3, поэтому приведенное уравнение задает линию, состоящую из одной точки, а линия, задаваемая уравнением (х+1)2 + (у-2)2 = -3, вовсе не содержит ни одной точки, так как ее уравнение не имеет решения.

Линию на плоскости можно задать и векторным уравнением. Пусть, например, каждому значению некоторого числового параметра t на плоскости соответствует некоторый вектор r. В этом случае будем говорить, что дано некоторое уравнение числового переменного t:

r = r (t) (8)

С изменением t будет изменяться и вектор r. Если теперь отложить эти векторы из начала координат, то концы их зададут некоторое множество точек, или, что то же самое, некоторую линию (рис. 13). Уравнение (8) будем называть векторным уравнением линии.

Покажем теперь, что прямая линия на плоскости в прямоугольной системе координат задается уравнением первой степени относительно двух переменных.

Пусть на плоскости в системе координат хОу с базисом {О; i; j} задан ненулевой вектор n={А; В) и точка M1,(х1у1,). п≠О означает, что числа A и В одновременно не равны нулю. Это условие можно записать и так: А22≠0. Очевидно существует единственная прямая l, проходящая через точку M1 перпендикулярная вектору n (рис. 14). Составим уравнение этой прямой.

Пусть М (х;у)—произвольная точка прямой l, не совпадающая с M1.

При любом положении точки М на прямой вектор M1M = {х-x1;у-y1} перпендикулярен вектору n, поэтому скалярное произведение n*M1M = 0. В координатах это условие запишется следующим образом:

А(х— x1) + B(y-y1) = 0, или

Ах + By— (Ax1 + By1)=0. (9)

Введем обозначение С = - (Ax1 + By1). Тогда равенство (9) примет вид



Ах + By + С = 0, (10)

причем А22 ≠0

Итак, мы доказали, что произвольной прямой на плоскости в прямоугольной системе координат соответствует уравнение первой степени относительно координат любой ее точки.

Имеет место и обратное утверждение; всякому уравнению первой степени с двумя переменными на плоскости в прямоугольной системе координат соответствует прямая. Пусть дано уравнение (10). Очевидно, существует бесконечное множество пар чисел х, у, являющихся решениями уравнения (10). Эти пары чисел задают некоторое множество точек на координатной плоскости. Покажем, что это множество точек есть прямая. Пусть x1, у1 — одно решение уравнения (10). Это означает, что имеет место числовое равенство

Ах1+Вy1 + С = 0 (11)

Вычитая почленно, из равенства (10) равенство (11), получим уравнение



A(x-x1) +В(у-y1)=0 (12)

равносильное уравнению (10). Так как A22 ≠0, то эти числа можно принять за координаты некоторого вектора n = { А, В}. Рассмотрим теперь множество векторов с координатами { х- x1; у – y1}, начала которых находятся в фиксированной точке M1(x1 у1), а концы образуют множество точек М(х; у), координаты которых удовлетворяют уравнению (10). Равенство (12) указывает на то, что при любом расположении точек М(х; у) множество векторов

М1М = {х-x1,у-y1} перпендикулярно вектору n={A; B}. Такое положение может иметь место только в том случае, когда точки М принадлежат одной прямой (проходящей через точку М; и перпендикулярной вектору n).

Таким образом, мы доказали, что прямая и только прямая на плоскости задается уравнением первой степени относительно координат ее произвольной точки.

Из доказанного следует, что коэффициенты А и В уравнения прямой имеют вполне определенный геометрический смысл: они являются координатами вектора, перпендикулярного прямой. Такой вектор назовем нормальным вектором прямой. Уравнение (10) называется общим уравнением прямой.

Выясним теперь, как расположена прямая относительно системы координат в зависимости от значений коэффициентов А, В, С.

1. Пусть С = 0. Уравнение (10) будет иметь вид Ах + By = 0. Этому уравнению удовлетворяют значения х=0, у = 0. Это означает, что прямая проходит через начало координат.

2. Пусть А=0. Уравнение (10) будет иметь вид By + С = 0. Это означает, что для любого значения переменной х у = -С/В или что прямая параллельна оси Ох.

3. Аналогично этому, если В= 0, то прямая Ах+С=0 параллельна оси Оу.

4. Пусть А = С = 0. Уравнение (10) будет иметь вид By = 0. Так как В≠О, то это уравнение равносильно уравнению у=0. Это означает, что прямая совпадает с осью Ох.

5. Аналогично этому, если В = С=0, то прямая х=0 совпадает с осью Оу.
Упражнения

1. Постройте прямые, заданные уравнениями:

а) х-2у+1=0; б) х-4у=0; в) х-2=0; г) (у+3=0; д) 5у = 0.

2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (3; 5) и перпендикулярной вектору

n={1; 2}.

3. Составьте уравнение прямой, перпендикулярной вектору {2; 2} и проходящей через точку пересечения прямых 2х+3у—5=0 и Зх - у -2 = 0.
5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая l, не перпендикулярная оси Ох, проходит через точку М111) и образует с положительным направлением оси Ох угол α(α≠ π/2). Требуется составить уравнение этой прямой.

Обозначим через М (х; у) произвольную точку этой прямой. Построим вектор М 1М={х-х1; у-у1}. Так как а≠π/2, то х-х1≠ 0,

поэтому можно записать (рис. 15). Введем обозначение k = tga, тогда

у- y1 = k(х – x1)

Это уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

При вводе этого уравнения мы исключили тот случай, когда прямая l перпендикулярна оси Ох. Поэтому уравнение (13) задает только те прямые, которые не перпендикулярны оси Ох. если же 1 перпендикулярна оси Ох, то, как

легко установить из рис. 16, ее уравнение будет иметь вид х= а,

где а — величина отрезка, отсекаемого этой прямой на оси Ох от начала координат.

Если, в частности, прямая l проходит через точку М1, лежащую на оси Оу, и отсекает на этой оси отрезок, величина которого b (рис. 17), т. е. если прямая l проходит через точку M1(0; b), то уравнение (13) примет вид у - b=kx, или у=kх + b. (14)



Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. Число b называется начальной ординатой, а kугловым коэффициентом.

Если прямая l задана общим уравнением Ах+Ву+С-0, причем



В≠О, т. е. прямая не перпендикулярна оси Ох, то, представив это уравнение в

виде приведем ее к виду уравнения с угловым коэффициентом.

Следовательно, .

Пусть прямая l проходит через две точки A(x1; y1) и В(х2, у2) - Требуется составить уравнение этой прямой. Здесь так же, как и в случае прямой, проходящей через одну точку, будем считать, что прямая не перпендикулярна оси Ох. Обозначим через М(х; у) произвольную точку прямой l (рис. 18). Рассмотрим векторы AM = {х-x1; y-y1) и АВ={х2-х1 у-y1) Эти векторы коллинеарные, поэтому существует число λ такое, что AM = λAB. Это равенство в координатах запишется двумя скалярными равенствами: x-x1 =(х2- x1), у-у1 = λ (y2-y1).

Так как х2 – x1≠0 и y2-y1≠0 (l не перпендикулярна оси Ох), то, исключив λ из этих уравнений, получим



Это уравнение прямой, проходящей через две точки

Если, в частности, прямая проходит через точки А (а; 0) и B(0; b), лежащие соответственно на осях Ох и Оу, т. е. если прямая отсекает на осях координат отрезки, величины которых соответственно а и b (рис. 19), то уравнение (15) примет вид





Это уравнение прямой в отрезках.

Так как по условию а≠О и b≠О, то прямая может быть задана уравнением в отрезках только в том случае, когда она не проходит через начало координат или не перпендикулярна координатным осям.


Упражнения

  1. Составьте уравнения прямой, проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент:

а) к=3; б) k =

  1. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки А(3;7) и В(2;-5).

  2. Найдите величину отрезков, которые отсекает прямая

2х+ Зу+5 = 0 на осях координат.

  1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (2; 6) и точку пересечения прямых – у + 1=0 и 3х + у—6=0.


6. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Пересечение прямых. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями

l 1: A 1x + B1 y + C1=0 (16)

l 2: А2х + В2у + С2=0 (17)

Требуется установить их взаимное расположение в зависимости от коэффициентов уравнений (16) и (17).

Уравнения (16) и (17) можно рассматривать как систему двух уравнений с двумя переменными х и у. Путем алгебраического сложения с последующим исключением из данных уравнений соответственно у и х получим систему

(A1 B2 - А 2В1) х = C2B1-C1 B2,

(А1В2- А2В1) у = С1А2- С2А1,

равносильную системе уравнений (16) — (17). Для системы двух уравнений первой степени с двумя переменными имеют место три случая решения.



  1. A1B2-А2В1≠О, т. е. система имеет единственное решение. Это означает, что прямые l1 и 12 пересекаются в некоторой точке M1(x1; у1), координаты которой являются решением системы (1) - (2). Таким образом, l1l2 = M1(x1; у1):

2. А1В2 - А2В1 =0, С2В1 - С1 В2≠0, С1А2- С2А1 ≠0 т.е система (16) - (17) не имеет решений. Это означает, что прямые l1 и l2 параллельны. Из А1В2 - А2В1 =0 имеет . Таким образом, l 1 || l 2

3. А1В2 - А2В1 = С2B1- С1B2 =0, т.е система имеет бесчисленное множество решений . это означает, что прямые l 1 и l 2 совпадают. Таким образом, l 1 = l 2



Перейдем теперь к вычислению величины угла между двумя прямыми. Пусть даны две прямые l 1 и l 2, заданные уравнениями (16) и (17). Требуется найти величину угла между этими прямыми.

Любые две пересекающиеся прямые образуют две пары различных вертикальных углов. Сумма величин двух неконгруэнтных углов равна 180° (рис. 20), поэтому нам достаточно найти величину любого из этих углов. Легко заметить, что угол между нормальными векторами n1 = {А1 В1} и n2={А2; В2} данных прямых конгруэнтен одному из углов между прямыми l1 и 12. Таким образом, задача о нахождении величины угла между двумя прямыми сводится к нахождению величины угла между их нормальными векторами. Из определения скалярного произведения имеем



Это формула для нахождения угла между двумя прямыми.

Условие параллельности. Если прямые l1 и l2 параллельны,

то n1 || n2 и , если то A1B2-A2B1=0 или n=λn2,т.е. l1|| l2

Самой простой формулой для нахождения величины угла между двумя прямыми является формула .

Условие перпендикулярности. Если прямые перпендикулярны, то n1 n2 =0. Если n1┴ n2, то l1┴l2.

Упражнения
1. Установите взаимное расположение прямых у +1=0 и Зх+у-6 = 0.

2. Прямые 2х+3у—6 = 0 и ту+12 = 0 параллельны. Найдите значение т.

3. Дана прямая —4у+8 = 0 и точка (3; 1). Составьте уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей 45° с прямой у = 2х.

5. Составьте уравнения биссектрис углов между прямыми х+у - 2=0 и 7х—у+4 = 0.


7. Уравнения поверхности и линии в пространстве. Прямая в пространстве. Направляющий вектор прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором
Прежде чем приступить к изучению прямой и плоскости в пространстве, рассмотрим представления поверхности и линии в пространстве при помощи уравнений, связывающих координаты точек этой поверхности или линии.

Предположим, что в пространстве дана прямоугольная система координат Oxyz с базисом {О; i; j; к}. Рассмотрим некоторое уравнение F(х; у; z)=0, (18) связывающее три переменные величины х, у и z. Если двум переменным, например переменным х, у, придать определенные числовые значения х = х1 и y=y1 и подставить эти значения в уравнение (18), то мы получим уравнение F(x1, y1,z)=0, которое содержит уже одну переменную z. Из этого уравнения можно найти значение этой переменной, соответствующее выбранным значениям переменных х и у. Придавая, таким образом, переменным х и у различные значения, мы каждый раз будем получать соответствующие значения переменной z

Рассматривая каждую тройку чисел х, у, z, удовлетворяющих уравнению (18), как координаты некоторой точки, мы заметим, что уравнение (18) задает в пространстве множество точек. Это множество точек будем называть поверхностью. Таким образом, поверхность представляет собой множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению. Из такого определения поверхности следует, что в аналитической геометрии поверхность, как и линию, рассматривают с более широкой точки зрения в том смысле, что она может иметь любое (даже конечное) число точек. В самом деле, например, поверхность -1)2 + (у-2)2 + -3)2 = 0 состоит из одной точки М(1; 2; 3).

Пусть теперь заданы два уравнения F1(x; у; z) =0 и F2 (х; у; z) = 0 с тремя переменными. Каждое из этих уравнений задает в пространстве некоторую поверхность, поэтому их совокупность задает уже линию — линию пересечения поверхностен (если, конечно, они пересекаются). Итак, в пространстве одно уравнение задает поверхность, а два уравнения линию.

Перейдем теперь к изучению прямой в пространстве. Пусть пространстве в системе координат Oxyz с базисом {О; i; j;k} задана прямая l, проходящая через точку M1(x1 y1 z1) и параллельная вектору s={m;n; р). Требуется составить уравнение этой прямой (рис. 21). Если M(x;y;z)—произвольная точка прямой 1 вектор M1 М= {х-x1, y-y1, z-z1) при любом положении точки M на прямой принадлежит этой прямой и, следовательно, коллинеарен вектору s. Это означает, что существует число t, такое, что M1 M= ts. В координатах это векторное уравнение запишется в виде уравнений: x-x1=tm, y-y1=tn, z-z1=tp. (19)

Исключив из этих уравнений число t, получим уравнения



Эти уравнения называются каноническими (простейшими) уравнениями прямой, или уравнениями прямой проходящей через данную точку с заданным, направляющим вектором. Вектор s называется направляющим вектором прямой, а её координаты — направляющими коэффициентами прямой. Уравнения (19) называются параметрическими уравнениями прямой, переменное t - ее параметром. Очевидно что каждой точке прямой соответствует вполне определенное значение параметра t . Например точке M1(x1y1;z1) соответствует значение t = 0.

Если прямая l задана двумя своими точками M1(x1y1;z1) и M2(x2y2;z2), то за направляющим вектором этой прямой можно взять вектор M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1}, тогда уравнение (20) запишется в виде

Это уравнения прямой, проходящей через две точки.





Упражнения

  1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку

    1. А(1; 2;5) и параллельной вектору s={2; -3; -6}.

  2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(3; -1; 0) и В(4; 1; -1).

  3. Как расположена прямая относительно системы координат, если она имеет направляющим вектором: a)s={l;0;3}; б)s={0;0;5}; b)s={0;— 3;0}?

  4. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и через точку А(1; 7; 4).

  5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(1;4;2) и параллельной прямой

8. Плоскость. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором. Общее уравнение плоскости
Пусть в пространстве в системе координат Oxyz с базисом {О;i;j;k} дана плоскость л, проходящая через точку M1|(x1;y1;z1) и перпендикулярная заданному вектору n={А; В; С}. Требуется при этих условиях составить уравнение этой плоскости. Как и в случае прямой на плоскости, будем считать, что п≠О. Это условие равносильно тому, что ни одно из чисел А, В, С не равно нулю, или, что то же самое, А2 + В2 + С2 ≠О. Пусть М(х; у; z)—произвольная точка плоскости π. Рассмотрим вектор М1 М = {х –х1, у-у1, z-z1} (рис. 22), который для всех точек М плоскости перпендикулярен вектору n.

Это условие в координатах запишется в виде A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0, или Ax + By + Cz - (Ax1 + By1 + Cz1) = 0

Введя обозначение D = - (Ax1 + By1+C1) окончательно запишем Ах + By +Cz + D = 0, (22)

Причем А222≠0

Таким образом, мы доказали, что плоскость в пространстве задается уравнением первой степени относительно координат ее точек.

Докажем теперь обратное: каждому уравнению первой степени в пространстве соответствует некоторая плоскость.

Пусть дано уравнение первой степени (22). Очевидно, существует бесчисленное множество троек чисел х, у, z, являющихся решениями этого уравнения. Эти тройки чисел в пространстве задают некоторое множество точек. Покажем, что это множество образует плоскость. Пусть тройка чисел х1 y1, z1 – некоторое решение уравнения (22). Имеет место числовое равенство Ax1+By1+Cz1+D=0 (23)

Вычитая почленно из равенства (21) равенство (23), получим уравнение A(x-x1)+ B(y-y1)+ C(z-z1)=0. Равносильное уравнение (22)



Таким образом, всякому уравнению первой степени соответствует в пространстве некоторая плоскость, и , обратно, каждой плоскости в прямоугольной системе координат соответствует уравнение первой степени. Вектор n = {А, В, С} называется нормальным вектором плоскости, а уравнение (22) - общим уравнением плоскости.

Упражнения


  1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку, А(1;2;3) и перпендикулярной вектору n = {2,4,8}

  2. А(2,-1;3)и В (4,5,8). Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору АВ.

  3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через три точки А(1,0,2), В (2,2,2) и С (1,2,3).

  4. Составьте уравнение плоскостей, проходящей через точку А(3,1,2) параллельно координатным плоскостям.

  5. Составьте уравнение плоскостей, проходящей через точку А (1,2,3) и ось Оу.

  6. Составьте уравнение плоскостей, проходящей через точки А(-1,0,1), В(3,1,2) и параллельной оси Oz

  7. Найдите угол между плоскостями 2х+Зу+4 =0 и 7х-у =0.

Указание. Угол между плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами.

Вопросы для самопроверки


  1. Что называется вектором; абсолютной величиной вектора; нулевым вектором?

  2. Дайте определение коллинеарных векторов?

  3. Дайте определение равных векторов.

  4. Как найти координаты вектора, заданного парой несовпадающих точек?

  5. Как найти абсолютную величину вектора?

  6. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.

  7. Напишите формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов по их координатам.

  8. Сформулируйте условие коллинеарности двух векторов.

  9. Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов.

  10. Напишите формулу для вычисления угла между двумя векторами.

  11. Как найти расстояние между двумя точками?

  12. Как найти координаты середины отрезка?

  13. Что называется уравнением линии на плоскости?

  14. Напишите уравнение осей координат и прямых, параллельных им.

  15. Какова схема составления уравнения прямой?

  16. Используя схему, составьте уравнения прямой в зависимости от способа ее задания.

  17. Дайте определение нормального вектора, направляющего вектора и углового коэффициента прямой.

  18. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

  19. Напишите формулы для вычисления угла между двумя прямыми.

  20. Как найти точку пересечения двух прямых.


Задания для самостоятельной работы


  1. Вычислите координаты концов отрезка АВ, который точками К(1,-3) и М(4,-1) разделен на три равные части.




  1. Постройте прямую, проходящую через начало координат и точку А (2, -1). Составьте ее уравнение.




  1. Проверьте, является ли верным высказывание: в треугольнике с вершинами А(-1,-3), В(4,-5), С(2Д) высота BD имеет уравнение Зх+4у +8=0. Сделайте чертеж.




  1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки С(-5, 3) и D(l, -2). Сделайте чертеж.




  1. Дан треугольник с вершинами А(-2, 3), В(4,-5) и

  2. С(-6,1).Составьте уравнения медианы AD и высоты BE. Сделайте чертеж.

  3. Найдите точку пересечения прямых 3х+4у-1=0 и 2х-у-8 = 0. Сделайте чертеж.




  1. Дан треугольник с вершинами А(-1,8), В(7,-2) и С(-5,4). Составьте уравнение стороны АС и медианы BD этого треугольника. Сделайте чертеж.




  1. Найдите угол между прямыми 2х-у-7=0 и 3х+у-11=0. Сделайте чертеж




  1. Даны уравнения сторон треугольника ABC: 5x+3y+l=0 (AB), х+у+1=0 (ВС), 7х + 5у-1=0 (AC) Определите координаты вершин А и В этого треугольника. Сделайте чертеж.


Литература

  1. Геометрия // под ред А.А. Дадаян, М.: «Просвещение», 1999 г.

  2. Геометрия // под ред. А.Д. Александрова, М., «Просвещение», 2006 г.

  3. Преподавание математики в ПТУ, В.М. Монахов, М., «Высшая школа», 1989г

  4. Из опыта преподавания математики // под ред А.В. Соколовой, М., «Просвещение», 2001

  5. Цель одна – дорог много. И.П. Волков, М.: «Просвещение», 2000

  6. Практические занятия по математике, Н.В. Богомолов, М., «Высшая школа», 1990 г

Похожие:

Методические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год iconПрограмма курса «Алгебра и геометрия»
Понятие об уравнении линии на плоскости, способы задания. Общее уравнение прямой линии на плоскости. Взаимное расположение прямых....
Методические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год iconУчебно-методическое пособие Саранск 2012 тр аналитическая геометрия Теоретические вопросы: Уравнения прямой на плоскости
Расстояние прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
Методические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год iconПримерный перечень вопросов к экзамену
Векторное уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой с точкой и нормалью на плоскости, общее уравнение прямой на плоскости
Методические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год iconРазработка урока по геометрии в 10 классе «Признак перпендикулярности прямой и плоскости»
Образовательные: доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости; формировать навык применения признака перпендикулярности...
Методические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год iconКонтрольная работа №1. Разделы «Элементы линейной алгебры»
И одним из изученных методов; вычисление скалярного, векторного, смешанного произведений векторов, в том числе и в геометрических...
Методические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год iconПрямоугольные координаты на плоскости (формулы для решения задачи 5) Теория
Если в общем уравнении прямой, то разрешив общее уравнение прямой на плоскости относительно b получим уравнение вида
Методические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год iconПараллельность прямых и плоскостей в пространстве
Прямая а параллельна плоскости α. Сколько прямых, лежащих в плоскости α, параллельна прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые,...
Методические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год iconЛинии переключения на фазовой плоскости
Если правая часть дифференциального уравнения не дифференцируемая функция (релейная система), то особые точки могут сливаться в целые...
Методические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год iconЛекция Элементы аналитической геометрии на плоскости
Если в общем уравнении прямой, то разрешив общее уравнение прямой на плоскости относительно b получим уравнение вида
Методические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год iconЗачет №2 Перпендикулярность прямых и плоскостей
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org