Октября 2004 г. Список вопросов



Скачать 97.04 Kb.
Дата26.07.2014
Размер97.04 Kb.
ТипДокументы

УТВЕРЖДЕНА


на заседании Совета

механико-математического

факультета Белгосуниверситета

?? октября 2004 г.

Список вопросов


к государственному экзамену по математике

(с доказательствами излагаются вопросы, выделенные жирным шрифтом)



Алгебра

Комплексные числа, их основные свойства. Поле комплексных чисел.

Теоремы о разложении многочленов над полями R и С на неприводимые множители. Корни многочлена. Теорема о числе корней (над С).

Наибольший общий делитель многочленов, его вычисление. Критерий взаимной простоты многочленов.

Определители, их основные свойства. Определитель произведения квадратных матриц.

Матрицы и алгебраические операции над ними. Миноры матриц. Ранг матрицы и его основные свойства.

Нормальная (жорданова) форма матрицы. Теорема существования базиса, в котором матрица линейного оператора имеет нормальную (жорданову) форму.

Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Критерии совместности.



Размерность и базис пространства всех решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. Их нахождение.

Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции действительных квадратичных форм.

Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Кольца многочленов от одного и нескольких переменных. Деление с остатком, алгоритм Евклида.



Симметрические многочлены и их представление через основные симметрические многочлены.

Линейные (векторные) пространства, линейная зависимость и независимость. Базисы и матрицы перехода. Размерность. Примеры.

Линейные операторы в конечномерных линейных пространствах. Матрица линейного оператора. Матрица композиции линейных операторов. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора.

Линейные подпространства и операции над ними: сумма и пересечение подпространств, дополнительные подпространства. Теорема о размерности суммы.

Понятие группы, примеры. Подгруппа, нормальный делитель, фактор-группа. Гомоморфизмы групп. Теоремы о гомоморфизмах и о порядке подгруппы.

Кольцо, подкольцо, идеал, фактор-кольцо, примеры. Теорема о гомоморфизмах колец.


Геометрия и топология


Свободные векторы в Е3; скалярное, векторное и смешанное произведения. Различные виды уравнений прямой и плоскости в Е2 и в Е3.

Эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и свойства. Классификация кривых второго порядка в Е2. Поверхности второго порядка в Е3, их канонические уравнения и свойства.

Аффинные пространства Аn.

Плоскости в Аn и их уравнения. Взаимное расположение двух плоскостей. Аффинные преобразования. Геометрия аффинной группы. Квадрики в пространстве Аn и их классификация.

Евклидовы точечные пространства Еn. Ортогональность плоскостей в Еn. Расстояние от точки до плоскости в Еn. Движения пространства Еn. Группа движений и евклидова геометрия. Квадрики в пространстве Еn и их 1.

Кривые в Е2 и Е3 и способы их задания. Натуральная параметризация. Кривизна и кручение кривой, их геометрический смысл. Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой.

Поверхности в и способы их задания. Первая фундаментальная форма поверхности и задачи, решаемые с ее помощью. Нормальная кривизна поверхности. Вторая фундаментальная форма поверхности. Полная (гауссова) кривизна. Теорема Гаусса. Геодезические линии. Понятие о внутренней геометрии поверхности.

Топологическое пространство. Способы задания топологии, сравнение топологий. Замкнутые множества. Внутренность, замыкание и граница множества. Подпространство топологического пространства. Непрерывные отображения топологических пространств и их свойства. Гомеоморфизм. Произведение топологических пространств.

Метрическое пространство и его топология. Полные метрические пространства. Равномерно непрерывные функции на метрическом пространстве. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

Компактные топологические пространства и их свойства. Критерии компактности метрического пространства. Связные и линейно связные топологические пространства. Теоремы о непрерывном отображении компактных и связных множеств

Связная компонента точки. Факторпространство топологического пространства. Фундаментальная группа топологического пространства.




Математический анализ


Вещественные числа и их основные свойства. Поле вещественных чисел. Важнейшие подмножества в R и их мощность. Теорема Кантора о несчетности континуума.

Ограниченные множества. Точные верхняя и нижняя границы множества. Теорема Дедекинда о существовании точных границ.

Предел последовательности и его свойства (единственность, операции над последовательностями, предельный переход в неравенствах). Теорема о пределе монотонной последовательности. Число e .

Критерий Коши сходимости последовательности. Предельная точка множества в R, лемма Больцано-Вейерштрасса.

Различные формы полноты множества вещественных чисел. Последовательности стягивающихся сегментов, лемма Кантора. Лемма Бореля-Лебега о покрытиях отрезка интервалами.

Теоремы о производных суммы, произведения, частного, композиции функций и обратной функции.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, правила Лопиталя.

Формула Тейлора, остаток в форме Пеано, Лагранжа.

Определение интеграла Римана для функций одной переменной. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу. Классы интегрируемых функций.

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле.

Несобственные интегралы, условия их сходимости. Абсолютная и условная сходимость. Гамма- и бета-функции, связь между ними. Формула Стирлинга.

Понятие числового ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Признаки сходимости положительных рядов. (Коши с корнем, Даламбера, Раабе).

Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Признаки Дирихле и Абеля.

Функциональные ряды и последовательности. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле для равномерной сходимости.

Функциональные свойства предела последовательности и суммы ряда: непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость.

Интегральные представления частичных сумм тригонометрического ряда Фурье. Лемма Римана-Лебега. Принцип локализации.

Признаки сходимости ряда Фурье (в точке и равномерной).

Производная отображения из Rn в Rm. Матрица Якоби.

Локальные экстремумы. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции.

Условный экстремум. Необходимые, достаточные условия. Метод множителей Лагранжа.

Теоремы о неявной и обратной функции, условия их дифференцируемости и формулы для производных.

Мера Жордана в Rn и ее свойства: монотонность, аддитивность, субаддитивность. Интеграл Римана в Rn и его свойства. Сведение интеграла к повторному, замена переменной в интеграле.

Криволинейные интегралы и их основные свойства. Формула Грина.

Поверхностные интегралы, формула Стокса.

Теория функций комплексного переменного


Некоторые элементарные аналитические функции (дробно-линейная, степенная, показательная, логарифмическая) и реализуемые ими конформные отображения.

Производная от функции комплексного переменного и ее геометрический смысл. Условия Коши Римана.

Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши.

Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.

Свойства аналитических функций (бесконечная дифференцируемость, теорема единственности, теорема Лиувилля, принцип максимума модуля).

Принцип сохранения области. Принцип максимума модуля.



Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки и их классификация.

Вычеты и их вычисление. Основная теорема о вычетах, ее применения.

Понятие конформного отображения и его связь со свойством аналитичности. Теорема Римана о конформных отображениях. Принцип соответствия границ.

Теорема о логарифмическом вычете. Принцип аргумента. Теорема Руше.

Аналитическое продолжение аналитических элементов.

Функциональный анализ


Алгебра и -алгебра множеств, мера. Лебегово продолжение мер.

Мера Лебега в эвклидовых пространствах. Определения, классы измеримых множеств. Свойства мер: монотонность, аддитивность, субаддитивность. Счетная аддитивность и непрерывность меры Лебега.

Измеримые по Лебегу функции. Арифметические операции над измеримыми функциями. Измеримость предела последовательности измеримых функций. Теорема Егорова.

Определение интеграла Лебега, его основные свойства (линейность, счетная аддитивность, абсолютная непрерывность). Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла: Лебега, Фату, Леви.

Теорема Фубини и сведение кратных интегралов к повторным.

Нормированное пространство. Пространство C[a,b] непрерывных функций, его полнота, векторная структура, норма. Теорема Арцела-Асколи. Теорема Вейерштрасса о плотности алгебраических полиномов в пространстве непрерывных функций.



Принцип сжимающих отображений. Применения принципа сжимающих отображений к линейным и нелинейным интегральным уравнениям.

Пространства со скалярным произведением, примеры. Гильбертовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца, норма в пространстве с внутренним произведением. Ортогональность, теорема Пифагора.



Теорема о проекции. Ортогональное разложение пространства.

Ряды Фурье по ортонормированной системе, экстремальное свойство сумм Фурье и его следствия. Сходимость рядов Фурье и равенство Парсеваля.

Полнота и замкнутость тригонометрической системы.

Ограниченные линейные операторы в нормированных линейных пространствах, условия ограниченности. Норма оператора и формулы для ее вычисления. Примеры вычисления норм.

Пространство линейных ограниченных операторов и его полнота.

Сопряженное пространство и его свойства. Сопряженный оператор, примеры сопряженных операторов. Ограниченность и норма сопряженного оператора.

Компактные операторы, связь компактности и непрерывности. Замкнутость класса компактных операторов. Компактность сопряженного оператора.

Теория уравнений с компактным оператором. Альтернатива Фредгольма.

Линейные интегральные уравнения Фредгольма. Линейные интегральные уравнения с вырожденными ядрами и их решение.

Теория вероятностей

Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей. Классическое и геометрическое определения вероятности.



Формулы сложения вероятностей, полной вероятности, Байеса.

Биномиальное, пуассоновское, нормальное распределения. Их основные характеристики.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона.

Случайные величины и их распределения. Функция распределения и ее свойства.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины; их свойства.

Характеристическая функция случайной величины и ее свойства.

Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
Дифференциальные уравнения

Теоремы Коши и Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка и основные теоремы об их решениях.

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и их решение.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения и основные теоремы об их решениях. Метод вариации произвольных постоянных.

Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Теоремы Ляпунова.

Простейшая задача вариационного исчисления, уравнение Эйлера.



Уравнения математической физики

Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.

Основные краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона. Свойства гармонических функций. Теоремы единственности решений для краевых задач.

Принцип максимума и теоремы единственности решения первой краевой задачи и задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Решение смешанной задачи для уравнения колебаний струны методом Фурье.

Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны методом характеристик (формулы Даламбера).

Решение смешанных задач для уравнения теплопроводности методом Фурье.

Разностные схемы для уравнений математической физики. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимости. Теорема о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью.



Вычислительная математика

Основные вычислительные схемы метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод итераций и общий неявный метод итераций для систем линейных алгебраических уравнений, теорема о сходимости.

Метод итераций для систем нелинейных уравнений, теорема о сходимости.

Метод Ньютона для операторных уравнений, теорема о сходимости.



Метод Эйлера для решения задачи Коши в случае систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, сходимость метода. Метод Рунге-Кутта для решений задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка, четырехточечное правило.

Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью. Явная и неявная двухслойная четырехточечная разностная схема для уравнения теплопроводности, условия устойчивости.

Похожие:

Октября 2004 г. Список вопросов iconКонтрольный список вопросов Феникс (цру)
«Феникс» — контрольный список вопросов, разработанный Центральным разведывательным управлением, чтобы помочь агентам рассмотреть...
Октября 2004 г. Список вопросов iconСписок вопросов по курсу лекций для общего потока, 2004 год
Гамильтониан и уравнение Шредингера для свободной молекулы. Адиабатическое приближение
Октября 2004 г. Список вопросов iconСписок изданий кафедры истории стран ближнего зарубежья за 2004-2008гг
Информационно-аналитический бюллетень. ЕвроАзия. Выпуск Избирательная кампания в Украине. Осень 2004 г., М., 2004. – 144 с., ответственный...
Октября 2004 г. Список вопросов iconС 00: 00 часов 26 октября 2004 года
Сбербанк России устанавливает с 00: 00 часов 26 октября 2004 года следующие курсы для совершения операций с иностранной валютой отделениями...
Октября 2004 г. Список вопросов iconЗакон о гражданской обороне
Федеральных законов от 9 октября 2002 г. №123-фз, от 19 июня 2004 г. №51-фз и от 22 августа 2004 г. №122-фз
Октября 2004 г. Список вопросов iconПрограмма VII международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур" (1-6 октября, 2004, «Волжские дали», Саратов) 1 октября, пятница 00 13. 00 Регистрация в доме отдыха "

Октября 2004 г. Список вопросов iconПрограмма 1-й российской конференции по когнитивной науке казань, 9-12 октября 2004 9 октября, суббота
Н. П. Бехтерева, С. В. Медведев Полиметодические нейрофизиологические исследования когнитивных процессов человека
Октября 2004 г. Список вопросов iconСписок стран-участниц Гаагской Конвенции от 05 октября 1961 года
...
Октября 2004 г. Список вопросов iconСписок вопросов к междисциплинарному Государственному экзамену для магистрантов направления 210300. 68
Список вопросов к междисциплинарному Государственному экзамену для магистрантов направления 210300. 68 «Радиотехника» по программе...
Октября 2004 г. Список вопросов iconОпрос «ученый и сми»
Перед Вами предварительный список вопросов на тему "Взаимодействие учёного и сми". Вопросы сгруппированы хронологически: до во время...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org