Вычислительные технологии, 2008, т. 13, спец. Выпуск 2, с. 140-146 анализ кубических сплайнов для задачи с пограничным слоем задорин А. И., Кириенко А. С



Скачать 150.34 Kb.
Дата26.07.2014
Размер150.34 Kb.
ТипДокументы
Вычислительные технологии,

2008, т. 13, спец. Выпуск 2, с. 140-146

АНАЛИЗ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ

ДЛЯ ЗАДАЧИ С ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
Задорин А.И., Кириенко А.С.

Омский филиал Института математики СО РАН,

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского,

Омск, Россия

E-mail: zadorin@ofim.oscsbras.ru, kasender@inbox.ru


Cubic splines for a boundary layer problem are constructed and investigated. It is shown, that using of splines on uniform mesh leads to significant errors. Applying of mesh, dense in a boundary layer, lead to uniform small estimate of order , where N is number of mesh intervals.

1. Введение
В данной работе исследуется метод кубической сплайн-интерполяции для функции одной переменной с погранслойной составляющей [1], [2], имеющей область больших градиентов. Точнее, предполагается, что для производных интерполируемой функции справедливы оценки:

(1)

При малых значениях параметра функция имеет экспоненциальный погранслойный рост в окрестности нуля. Такая функция, в частности, соответствует решению сингулярно-возмущенной краевой задачи [3]:


(2)

где


и коэффициенты - достаточно гладкие функции.

Всюду в работе под подразумеваются положительные постоянные, не зависящие от параметра и шагов разностной сетки.

В соответствии с [4] использование метода кусочно-линейной интерполяции такой функции на равномерной сетке приводит к значительным погрешностям, в то же время использование сетки, мелкой в пограничном слое, согласно [4], приводит к равномерно малой погрешности указанного метода. Актуален вопрос исследования точности метода кубической интерполяции для функций с большими градиентами на равномерной и неравномерной сетках.

Итак, пусть функция gif" name="object11" align=absmiddle width=40 height=19>, для производных которой справедливы оценки (1), задана в узлах сетки :


2. Построение кубического эрмитова сплайна.
Зададим для каждого интервала многочлен третьей степени:

. (3)
Построим сплайн , учитывающий значения функции и производной в узлах сетки:

. (4)

Определим коэффициенты сплайна с учетом условий (4):



(5)

В соответствии с ([4], стр. 60) справедлива оценка погрешности:



(6)

В соответствии с (1) справедлива оценка и эта оценка может быть достижимой, что в соответствии с (6) может сказаться на точности кубической интерполяции. Убедимся в этом на примере функции . Рассматривая интерполяцию на интервале , при получаем:



Следовательно, точность интерполяции не возрастает при уменьшении длины интерполяционного интервала .

Итак, использование кубической сплайн-интерполяции на равномерной сетке может привести к существенной погрешности.

С учетом условий (1) из (6) следует:



(7)

Исследуем точность сплайн-интерполяции в зависимости от задания сетки . Зададим кусочно-равномерную сетку, мелкую в пограничном слое, ширина которого задается параметром . Заметим, что от задания параметра зависит точность интерполяции. Определим сетку [2]:

(8)

Рассмотрим две сетки и , соответственно, в зависимости от задания параметра :

, (9)

(10)

Исследуем точность интерполяционной формулы (3), (5) в случае сеток и .

1). Пусть Учитывая (7)-(9), получим:



(11)

Пусть . Тогда для некоторого , из (7), (8) следует:



(12)

Рассмотрим случай Тогда . Учитывая значение из (9) и то, что для , из (12) получим:



(13)

следовательно, при (вне пограничного слоя) погрешность интерполяции для кубического сплайна порядка, равномерно по параметру.

2). Пусть Учитывая (7), (8), (10), получим:

(14)

Пусть . Тогда для некоторого , из (7), (8) следует оценка (12).

Учитывая значение из (10), получим:

(15)

следовательно, при погрешность интерполяции для кубического сплайна порядка, равномерно по параметру.


3. Приближение производной.
Для применения интерполяционной формулы (3) используются производные , которые могут быть не заданы. В этом случае их можно приближенно вычислить на основе формул численного дифференцирования через значения в узлах сетки.

Лемма 1. Функция из (3) устойчива к возмущению и : если соответствует замене на , а на и

, , то , .

Доказательство.

.

Оценивая максимум по этого выражения, получим:



.

Аналогично можно получить, что



.

Значит, если и , то



.

Лемма доказана.

Следовательно, если найти производные {} с необходимой точностью, то это не увеличит порядок погрешности формулы (3).

Приведем формулы вычисления производных третьего порядка точности на равномерной сетке с шагом :



(16)
Таким образом, при приближении производной по формулам (16) получим

.

Значит, для справедливы оценки вида (11)–(15).


4. Численные эксперименты для кубического сплайна
Зададим функцию с экспоненциальной погранслойной составляющей:

. (17)

В табл. 1 для функции приведена погрешность и апостериорный порядок точности в зависимости от и в случае равномерной сетки , где



, (18)

Таблица 1. Погрешность кубической интерполяции на равномерной сетке



















1.75e-05

1.14e-06

7.30e-08

4.61e-09

2.90e-10




3.94

3.97

3.99

3.99



1.20e-04

8.71e-06

5.87e-07

3.81e-08

2.43e-09




3.79

3.89

3.95

3.97



1.31e-03

1.12e-04

8.16e-06

5.52e-07

3.59e-08




3.56

3.77

3.88

3.94



1.17e-02

1.31e-03

1.11e-04

8.12e-06

5.50e-07




3.16

3.56

3.77

3.88



6.59e-02

1.17e-02

1.31e-03

1.11e-04

8.12e-06




2.50

3.16

3.56

3.77



1.94e-01

6.59e-02

1.17e-02

1.31e-03

1.11e-04




1.56

2.50

3.16

3.56



2.95e-01

1.94e-01

6.59e-02

1.17e-02

1.31e-03




0.60

1.56

2.50

3.16

Как видно из табл. 1, с уменьшением погрешность кубической сплайн-интерполяции на равномерной сетке существенно возрастает, а порядок точности падает.

Остановимся на случае неравномерной сетки . Пусть

, ,

- соответствует оценке (11).

В табл. 2 приведена погрешность и порядки и в зависимости от и в случае сетки Шишкина .


Таблица 2. Погрешность кубической интерполяции на сетке Шишкина





8

16

32

64

128



1.75e-05

1.14e-06

7.30e-08

4.61e-09

2.90e-10







3.94

2.34

3.97

2.71

3.99

2.95

3.99

3.11



1.20e-04

8.71e-06

5.87e-07

3.81e-08

2.43e-09







3.79

2.34

3.89

2.71

3.95

2.95

3.97

3.11



1.31e-03

1.12e-04

8.16e-06

5.52e-07

3.59e-08







3.56

2.34

3.77

2.71

3.88

2.95

3.94

3.11



1.17e-02

1.31e-03

1.11e-04

8.12e-06

5.50e-07







3.16

2.34

3.56

2.71

3.77

2.95

3.88

3.11



6.59e-02

1.17e-02

1.31e-03

1.11e-04

8.12e-06







2.50

2.34

3.16

2.71

3.56

2.95

3.77

3.11



7.14e-02

2.83e-02

7.65e-03

1.31e-03

1.11e-04







1.33

2.34

1.89

2.71

2.55

2.95

3.56

3.11



7.14e-02

2.83e-02

7.65e-03

1.49e-03

2.25e-04







1.33

2.34

1.89

2.71

2.36

2.95

2.73

3.11


5. Построение экспоненциального сплайна.
В соответствии с [1] для решения задачи (1) справедливо представление

, (19)

где - некоторая постоянная, , - функция, не содержащая погранслойный рост, .

Построим экспоненциальный сплайн, учитывающий погранслойную составляющую функции . Зададим для каждого интервала функцию:

, (20)

где коэффициенты задаем исходя из выполнения условий:



и получим:



(21)

где

Итак, построили экспоненциальный сплайн .

Нетрудно показать, что , следовательно, коэффициенты сплайна находятся корректно. Разложением в ряд Тейлора можно показать, что



,

интерполяция точна на погранслойной составляющей , следовательно,



.

Остановимся на результатах численных экспериментов. Сетку зададим равномерной с шагом .



В таблице 3 для функции (17) приведены погрешность , и порядок в зависимости от и в случае равномерной сетки.
Таблица 3. Погрешность экспоненциальной интерполяции на равномерной сетке

















8.98e-07

5.62e-08

3.51e-09

2.20e-10

1.37e-11




3.99

3.99

3.99

3.99



1.40e-06

8.80e-08

5.51e-09

3.45e-10

2.16e-11




3.99

3.99

3.99

3.99



2.42e-06

1.53e-07

9.65e-09

6.05e-10

3.78e-11




3.98

3.99

3.99

3.99



4.44e-06

2.84e-07

1.79e-08

1.12e-09

7.04e-11




3.96

3.98

3.99

3.99



8.31e-06

5.42e-07

3.44e-08

2.16e-09

1.36e-10




3.93

3.97

3.99

3.99



1.49e-05

1.04e-06

6.70e-08

4.23e-09

2.66e-10




3.84

3.95

3.98

3.99



2.30e-05

1.88e-06

1.30e-07

8.33e-09

5.25e-10




3.61

3.86

3.95

3.99

Численные эксперименты показывают четвертый порядок точности построенного экспоненциального сплайна.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kellogg R.B., Tsan A. Analysis of some difference approximations for a singular

perturbation problems without turning points // Math. Comput. 1978. V. 32,

№ 144. P . 1025-1039.

2. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллипти-

ческих и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992. 232 с.

3. Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Fitted Numerical Methods for Singular

Perturbation Problems. Singapore.: World Scientific, 1996. 163 p.

4. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн – функ-

ций. М. Наука, 1980. 352 с.

5. Задорин А.И. Метод интерполяции для задачи с пограничным слоем // Си-



бирский журнал вычислительной математики. 2007. Т. 10, № 3. С. 267- 275.

Похожие:

Вычислительные технологии, 2008, т. 13, спец. Выпуск 2, с. 140-146 анализ кубических сплайнов для задачи с пограничным слоем задорин А. И., Кириенко А. С iconПостроение и исследование кубатурных формул с пограничным слоем для интегрирования функций из пространств 01. 01. 07 вычислительная математика
Работа выполнена в Восточно-Сибирском государственном технологическом университете (г. Улан-Удэ)
Вычислительные технологии, 2008, т. 13, спец. Выпуск 2, с. 140-146 анализ кубических сплайнов для задачи с пограничным слоем задорин А. И., Кириенко А. С iconРабочая программа для студентов направления 010200. 62 Математика и компьютерные науки по профилям подготовки: «Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии»
Математика и компьютерные науки по профилям подготовки: «Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии»,...
Вычислительные технологии, 2008, т. 13, спец. Выпуск 2, с. 140-146 анализ кубических сплайнов для задачи с пограничным слоем задорин А. И., Кириенко А. С iconА. Б. Гончаренко, В. Т. Жуков Анализ двух моделей движения населения
Для определения параметров моделей ставятся задачи минимизации нелинейных функционалов. Обсуждаются вычислительные трудности решения...
Вычислительные технологии, 2008, т. 13, спец. Выпуск 2, с. 140-146 анализ кубических сплайнов для задачи с пограничным слоем задорин А. И., Кириенко А. С iconСписок публикаций сотрудников и работ, вышедших при их участии 2008 г
Амерханова Э. И. Сводный каталог русской книги 1918-1926 годов/ Э. И. Амерханова //Н. И. Фешин и художественная культура XX века:...
Вычислительные технологии, 2008, т. 13, спец. Выпуск 2, с. 140-146 анализ кубических сплайнов для задачи с пограничным слоем задорин А. И., Кириенко А. С iconМетоды вычислений и математическое обеспечение иэт, эл 12, 13, 14, 17-2003, эл 16-2003
Лекция Введение: основные этапы решения прикладных задач с использованием компьютеров, вычислительные задачи, методы, алгоритмы,...
Вычислительные технологии, 2008, т. 13, спец. Выпуск 2, с. 140-146 анализ кубических сплайнов для задачи с пограничным слоем задорин А. И., Кириенко А. С iconПрименение s-сплайнов для решения краевых задач д. А. Силаев, Д. О. Коротаев
Ритца (или метод Галеркина), результатом которого является система линейных уравнений на коэффициенты в линейной комбинации, замыкаемая...
Вычислительные технологии, 2008, т. 13, спец. Выпуск 2, с. 140-146 анализ кубических сплайнов для задачи с пограничным слоем задорин А. И., Кириенко А. С iconВысшая математика
Высшая математика [Текст] : метод рек и контрол задания для студ экон спец заоч формы обучения на базе сред спец и высшего образования...
Вычислительные технологии, 2008, т. 13, спец. Выпуск 2, с. 140-146 анализ кубических сплайнов для задачи с пограничным слоем задорин А. И., Кириенко А. С iconПрограмма вступительного испытания по предмету «Информационные технологии»
Фундаментальная информатика и информационные технологии (магистерские программы: Фундаментальная информатика и информационные технологии,...
Вычислительные технологии, 2008, т. 13, спец. Выпуск 2, с. 140-146 анализ кубических сплайнов для задачи с пограничным слоем задорин А. И., Кириенко А. С icon№ уроков Тема Число часов 131-132 133-134 135−140 141−142 143−144 145−146 147−149

Вычислительные технологии, 2008, т. 13, спец. Выпуск 2, с. 140-146 анализ кубических сплайнов для задачи с пограничным слоем задорин А. И., Кириенко А. С iconРабочая программа для студентов направления 010200. 62 Математика и компьютерные науки по профилю подготовки: «Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии»
Математика и компьютерные науки по профилю подготовки: «Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии»...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org