Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарно-математической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка



Скачать 33.25 Kb.
Дата07.11.2012
Размер33.25 Kb.
ТипДокументы
Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарно-математической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка. По этим материалам проводились занятия математической группы учеников 11-го класса.

Тематика довольно необычна: с одной стороны эти задачи посвящены тригонометрии – стандартному разделу школьной программы. С другой стороны, это совершенно нестандартные задачи, весьма далёкие от типовых тригонометрических уравнений.

Большая часть из них предлагалась на олимпиадах областного уровня. Замечу также, что на быстро набирающей популярность заочной олимпиаде «Штурмуем Воробьёвы горы» в этом году предлагалась задача, допускающая весьма эффективное решение с помощью тригонометрической подстановки y=tgx.

А. С. Штерн. stern@math.omsu.omskreg.ru
задачи на использование Неравенства sin x < x

  1. (Областная олимпиада - 1994) Каждое из трёх чисел равно сумме косинусов двух остальных. Докажите, что все числа равны.

  2. Последовательность задана соотношением xn+1 = sin xn, x0=, где (0;). Докажите, что независимо от выбора числа  все такие последовательности сходятся к одному пределу.

  3. Последовательность задана соотношением xn+1 = , x1=1/2. Докажите, неравенство х1 + .х2 +…+х2007 < 1,03.

  4. (МГУ) Найти множество всех пар (a, b) таких, что равенство asinx+b=sin(ax+b) выполнено при всех х.


использование Тригонометрических подстановок

  1. Решите систему y=2x2-1, z=2y2-1, y=2x2-1.

  2. Среди всех решений системы z2 + t2 =9, x2 + y2=4, xt+yz=6 выберите те, для которых величина x+y максимальна.

  3. Решите уравнение .

  4. Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x, y так, чтобы выполнялось двойное неравенство .

  5. На отрезке [-1;1] выбраны n чисел, причём сумма кубов этих чисел равна нулю. Докажите, что сумма этих чисел не превосходит n/3.

  6. Докажите, что при любых x, y выполнено двойное неравенство .



геометрический смысл тригонометрических выражений

  1. Докажите равенство .

  2. Положительные числа a, b, c, x, y, z подобраны так, что выполняются равенства x2+xy+y2=a2, y2+yz+z2=b2, x2+xz+z2=c2. Выразите величину xy+yz+xz через a, b, c.


Целые и рациональные значения тригонометрических функций

  1. Найдите все значения х, для которых выражения tgx и tg2x одновременно являются целыми числами.

  2. (Областная олимпиада 2000 года) Синусы углов треугольника - рациональные числа. Докажите, что их косинусы тоже рациональные числа.

  3. (Областная олимпиада 2004 года) Известно, что sinx+cos2x и sin2x+cosx ненулевые рациональные числа. Докажите, что sinx и cosx тоже рациональные числа.

  4. (Областная олимпиада 2004 года) Может ли тангенс острого угла быть в целое число раз больше как синуса, так и косинуса этого же угла.

свойства тригонометрических функций (монотонность, ограниченность, периодичность)

  1. Докажите, что следующие функции не являются периодическими: f(x)=cos; f(x)=cosx+cosx, где  - иррациональное число; f(x)=cos(x2); f(x)=x+sinx;

f(x) = sin(x2).

  1. (Областная олимпиада 1995 года) Найти все острые углы , для которых выполнено равенство sin(sin+)=cos(cos­+).

  2. (Областная олимпиада 1996 года) Какие стороны может иметь треугольник АВС, если из его косинусов можно составить треугольник, и этот треугольник равен треугольнику АВС?

  3. (Областная олимпиада 2001 года) Найти все значения неизвестного х, для которых выполнено каждое из неравенств цепочки sinxtgx ctgx cosx.

  4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=acos2(x)+bcosxsinx+csin2 (x).


Замечательные задачи-разминки

1. (Областная олимпиада 1997 года) Три друга гонят самогон, каждый своим аппаратом. У Труса течёт жидкость крепостью a градусов, и стандартная бутыль наполняется за а часов, у Балбеса соответственно – b градусов и за b часов, у Бывалого ­ с градусов и за с часов. Для ускорения процесса друзья направили все шланги в одну бутыль и наполнили её за сутки. Найдите крепость смеси (крепость ­ это процент содержания спирта).

2. (Областная олимпиада 1999 года) Андрей, Борис, Виктор, Григорий и Дмитрий по очереди (не обязательно в указанном порядке) охраняли зимний лагерь от террористов. Каждый отдежурил по разу, причём Андрей дежурил вдвое дольше Бориса, Борис вдвое дольше Виктора, а Григорий и Дмитрий каждый ­ столько же, сколько Виктор. Сердобольная бабушка-вахтёрша каждый час выносила дежурному чашку чаю. Известно, что ни один акт милосердия не пришёлся на пересменку. Могло ли каждому из пятерых достаться ровно по одной чашке?

Похожие:

Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарно-математической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка iconЛетняя математическая школа
Брошюра содержит материалы занятий в группе 8 классов Летней Математической Школы, проходившей 11-25 июня 2011 года под Костромой....
Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарно-математической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка iconСборник составляли и редактировали: Берштейн М. А., Бойко К. С., Бойко М. С., Игнатович С. Ю., Крижановский О. Ф., Кулагин В. М. и другие
Сборник содержит материалы областной математической олимпиады школьников, которая состоялась 26 января 2003 года в Харьковском национальном...
Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарно-математической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка iconРегламент по работе учителей и школьников в сети Интернет. I. Общие положения
«Точка доступа» к сети Интернет предназначена для обслуживания учителей и учеников школы. Сотрудники и учащиеся школы допускаются...
Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарно-математической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка iconОб обложении с 1 января 2007 года налогом с оборота автобусов, выполняющих перевозку пассажиров по территории Германии
В соответствии с информацией немецкой ассоциации пассажирских перевозчиков (bdo) в Германии с 1 января 2007 года с автобусов
Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарно-математической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка iconОтчет о Второй зимней
Целью Второй зимней школы было формирование навыков эффективной работы с информацией по острым проблемам общественного здоровья у...
Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарно-математической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка iconВниманию школьников, интересующихся математикой, химией, биологией, учителей, руководителей методобъединений, директоров школ
Мш существует с 1966 года. Она создана для помощи школьникам, интересующимся математикой и проживающим вдали от научных центров....
Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарно-математической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка iconЗадания 11-ой (2011 года) Международной дистанционной математической олимпиады школьников "Третье тысячелетие"
Ниже Вы найдете русский текст задач и информацию для кураторов 11-ой Международной дистанционной математической олимпиады школьников...
Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарно-математической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка iconИнформация о повышении зарплаты учителей мбоу «Исаковская оош» Красноармейского района Чувашской Республики
...
Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарно-математической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка iconМоу «Гимназия №1» мо учителей гуманитарно-эстетического цикла. Предметная неделя, посвящённая 200-летию со дня рождения Н. В. Гоголя
Анализ недели гуманитарно-эстетического цикла, посвящённой 200-летию со дня рождения Н. В. Гоголя
Предлагаю вниманию школьников и учителей материалы занятий Зимней Гуманитарно-математической школы, проходившей с 4 по 11 января 2007 года в c. Красноярка iconЗанятость учителей с классами 4,5,6 января 2010 года

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org