Исследовательская работа по теме II ii алгебраические свойства линейных, показательных



страница1/6
Дата07.11.2012
Размер0.85 Mb.
ТипИсследовательская работа
  1   2   3   4   5   6

-

Раздел II. Алгебра
Содержание раздела алгебры


  1. Преамбула………………………………………………………………………… 4

  2. Подраздел II.1. Элементарная алгебра…………………………………………… 9

Темы:

II.1.1. Обыкновенные и десятичные дроби. Целые, рациональные,

иррациональные алгебраические, трансцендентные и комплексные числа……. 9

Исследовательская работа по теме II.1.1. ……………………………………… 11

II.1.2. Множества. Отображения множеств: многочлены, рациональные

и алгебраические иррациональные функции. Алгебраическая точка зрения……. 12

Исследовательская работа по теме II.1.2. ……………………………………… 12

II.1.3. Алгебраические свойства линейных, показательных, логарифмических,

степенных и тригонометрических функций.……………………………………..…... 14

Исследовательская работа по теме II.1.3. ………………………………………. 14

II.1.4. Тождественные преобразования. Сочетания и бином Ньютона…………. 14

Исследовательская работа по теме II.1.4. ………………………………………. 15

II.1.5. Уравнение, неравенства и системы, сводящиеся к алгебраическим.

Задачи на составление уравнений и неравенств……………………………………… 15

Исследовательская работа по теме II.1.5. ………………………………………. 16

II.1.6. Последовательности, ряды, суммы и произведения…………………………. 16

Исследовательская работа по теме II.1.6. ………………………………………. 17


  1. Подраздел II.2. Многочлены………………………………………………………18

Темы:

II.2.1. Операции над многочленами (сложение, вычитание, умножение, деление,

разложение на множители, интерполирование)……………………………………... 18

Исследовательская работа по теме II.2.1. ……………………………………….. 19

II.2.2.Алгебраические уравнения …………….………………………………………….… 19

Подтемы:

II.2.2.1. Алгебраические уравнения: решение уравнений третей и четвертой

степени, основная теорема алгебры, уравнения частного вида, рациональные

и иррациональные уравнения, уравнения с модулями ()…………….… 18

Исследовательская работа по подтеме II.2.2.1……………………………… 21

II.2.2.2. О разрешимости алгебраических уравнений в радикалах…………….. 22

Исследовательская работа по подтеме II.2.2.2………………………………. 22

II.2.3. Корни многочленов и геометрические построение чисел

с помощью циркуля и линейки……………………………………………………………… 23

Исследовательская работа по теме II.2.3………………………………………… 23

II.2.4.
Системы уравнений, содержащие модули, многочлены, рациональные,

иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические

функции. Алгебраические методы их решения……………………………………….. 23

Исследовательская работа по теме II.2.4………………………………………… 24

II.2.5. Многочлены специального вида (многочлены Бернулли, Гаусса,

Лагранжа, Люка, Фибоначчи, Чебышева, симметрические, целозначные,

круговые).……………………………………………….…………………………………….. 25

Исследовательская работа по теме II.2.5………………………………………… 25

II.2.6. Многочлены от многих переменных.

Подтемы:

II.2.6.1. Симметрические многочлены и их применение к разложению на

множители, вычислению сумм, освобождению от иррациональности,

решению уравнений, неравенств, систем, нахождению

максимумов и минимумов.……………………………………………………………. 25

Исследовательская работа по подтеме II.2.6.1.…………………………....... 26

II.2.6.2.2. Многочлены от многих переменных …………………………………………… 26


  1. Подраздел II.3. Линейная алгебра………………………………………………... 27

Темы:

II.3.1. Определители и решение систем линейных уравнений……………………… 27

Исследовательская работа по теме II.3.1……………………………………….. 27

II.3.2. Векторные пространства и исследование систем линейных уравнений……….. 27

Исследовательская работа по теме II.3.2………………………………………... 27

II.3.3. Линейные преобразования плоскости и трехмерного пространства……………. 27

Исследовательская работа по теме II.3.3………………………………………... 28

II.3.4. Аффинная группа преобразований плоскости и трехмерного

пространства и её подгруппы……………………………………………………………. 29

Исследовательская работа по теме II.3.4………………………………………... 29

II.3.5. Системы линейные неравенства и линейное программирование………….. 30

Исследовательская работа по теме II.3.5………………………………………... 30


  1. Подраздел II.4. Элементы алгебраической геометрии………………………….. 28

Темы:

II.4.1. Линейные уравнения от многих пременных и их рациональные корни.

Геометрические методы решения………………………………………………………. 31

II.4.2. Алгебраические кривые второго порядка и их рациональные корни.

Подтемы:

II.4.2.1. Рациональные корни (пифагоровы тройки) уравнения.

Геометрические методы решения. …………………………………………………. 31

II.4.2.2. Рациональные корни уравнения (уравнение Пелля).

Геометрические методы решения. …………………………………………………. 31

II.4.2.3. Кривые второго порядка (коники) и рациональные корни……………. 31

II.4.3. Некоторые алгебраические кривые выше второго порядка

и их рациональные корни…………………………………………………………………… 31

II.4.4. Системы нелинейных алгебраических уравнений

и рациональные решения……………………………………………………………………. 31



  1. Подраздел II.5. Неравенства ……………………………………………………………. 32

Темы:

II.4.1. Числовые неравенства……………………………………………………………… 32

II.4.2. Классические неравенства и следствия из них………………………………… 32

II.4.3. Алгебраические методы решение неравенств (метод симметрии и подстановки). Метод математической индукции (неравенство Йенсена и др.). Метод монотонных последовательностей (неравенство Чебышева и др.)………………. 32

II.4.4. Средне взвешенные величины и соотношения между ними (неравенство Мюрхеда)……………………………………………………………………………………… 32

II.4.5. Элементарное введение в теорию мажоризации…………………………….. 33

Исследовательская работа по подразделу II.4. Неравенства……………………… 33



  1. Подраздел II.6. Абстрактная алгебра…………………………………………….. 33

Темы:

II.5.1. Необычные алгебры: алгебра множеств, алгебра логики…………………... 33

Исследовательская работа по теме II.5.1………………………………………… 33

II.5.2. Отношения и его интерпретация на различных структурах…………….. 33

Исследовательская работа по теме II.5.2………………………………………… 33

II.5.3. Упорядоченные множества. Первое знакомство с абстрактным

алгебраическим понятием – решетки...................................................................... 34

Исследовательская работа по теме II.5.3............................................................... 34

II.5.4. Преобразования и перестановки..................................................................... 34

Исследовательская работа по теме II.5.4………………………………………… 34

II.5.5. Понятие группы. Группы подстановок. Изоморфные группы. Теорема Келли. Циклические группы. Группы самосовмещений. Инвариантные подгруппы.

Гомоморфные отображения. Разбиение группы на классы по данной подгруппе.

Факторгруппа………………………………………………………………………………………… 34

Исследовательская работа по теме II.5.5………………………………………… 34

II.5.6. Поля. Кольца……………………………………………………………………………34

II.5.7. Группы Галуа………………………………………………………………………….. 35

Исследовательская работа по теме II.5.7………………………………………….35

II.5.8. Алгебры над полем действительных чисел (алгебраические

методы построения числовых систем)………..........………………………………….. 35

Общий список литературы, используемый в разделе II. Алгебры ………………… 36

Литература по истории алгебры и о математиках, внесших существенный вклад в развитее алгебры............................................................................................39


Преамбула
Что такое алгебра? — Является ли она областью математики, методом или психологической установкой? На такие вопросы, конечно, не может быть дано ни однозначного, ни короткого ответа. Место, занимаемое алгеброй в математике, можно попытаться описать, обратив внимание на процесс, который Герман Вейль (09.11.1885 – 08.12.1955) назвал трудно произносимым именем “координатизации”. Человек может ориентироваться во внешнем мире, опираясь исключительно на свои органы чувств, на зрение, осязание, на опыт манипулирования предметами внешнего мира и на возникающую отсюда интуицию. Однако возможен и другой подход: путем измерения субъективные ощущения превращаются в объективные знаки – числа, которые способны сохраняться неограниченно долго, передаваться другим лицам, не воспринимавшим тех же ощущений, а главное – с которыми можно оперировать и таким образом получать новую информацию о предметах, бывших объектом измерения. Эти две тенденции и отражаются: одна – в геометрии, другая – в алгебре. При этом алгебра играет приблизительно ту же роль, что и язык или письменность в контакте человека с внешним миром. Обе тенденции тесно связаны алгебро-геометрическим дуализмом. Обе обладают сильной эстетической компонентой. При сопоставлении с искусством геометрию можно сравнить с живописью, алгебру – с музыкой.

Древнейшим примером являются пересчет (координатизация) и счет оперирование), дающие возможность делать заключения о числе предметов, не перебирая их. Из попыток «измерить» или «выразить» числом различные объекты возникли, вслед за целыми, дробные и отрицательные числа. Стремление выразить числом диагональ квадрата со стороной один привело к известному кризису в раннеантичной математике и построению иррациональных чисел.

Измерение задает вещественными числами точки прямой и, гораздо шире, выражает числами многие физические величины. Галилею (15.02.1564 – 08.01.1642) принадлежит самая крайняя формулировка идеи координатизации в его эпоху: «Измерить все, что измеримо, и сделать измеримым все, что таковым еще не является». Успех этой идеи, начиная именно со времени, когда жил Галилей, был блистателен. Создание аналитической геометрии дало возможность задавать точки плоскости парами, а точки пространства – тройками чисел и путем оперирования с числами открывать все новые геометрические факты. Однако успех аналитической геометрии основывается, главным образом, на том, что она «сводить» к числам не только точки, но и кривые, и поверхности, и т. д. Например, кривая на плоскости задается уравнением . Если это прямая, то многочлен 1-й степени и задается своими тремя коэффициентами: при x, при у и свободным членом. В случае конического сечения мы имеем кривую второго порядка. которая задается своими шестью коэффициентами. Если многочлен степени n, то он имеет, как легко видеть, коэффициентов, которыми, соответствующая кривая задается так же, как точка – координатами.

Чтобы выразить числом корни уравнения, были введены комплексные числа и тем сделан шаг в совершенно новую область математики, включающую эллиптические функции и римановы поверхности.

Долгое время могло казаться, что путь, намеченный Галилеем, сводится к измерению «всего» при помощи известного, необсуждаемого запаса чисел, и проблема заключается лишь в том, чтобы создавать все более тонкие методы такого измерения вроде метода координат или новых физических приборов. Правда, иногда тех чисел, которые считались известными (или просто, считались числами), оказывалось недостаточно: тогда возникал кризис, преодолевавшийся расширением понятия числа, созданием нового вида чисел, которые вскоре опять воспринимались как единственно возможные. Во всяком случае, в каждый данный момент понятие числа, как правило, считалось вполне ясным и развитие шло лишь в направлении его расширения: 1 и 2 (а потом «много») натуральные числа целые рациональные вещественные комплексные. Но, например, матрицы представляют собой совершенно самостоятельный мир «числоподобных» объектов, никак не укладывающийся в эту последовательность. Одновременно с ними возникли кватернионы, потом другие гиперкомплексные системы? (теперь называемые алгебрами). «Бесконечно малые преобразования» привели к дифференциальным операторам, для которых естественной оказалась операция совсем нового типа: «скобка Пуассона». В алгебре возникли конечные поля, в теории чисел р-адические числа. Постепенно стало очевидным, что попытки найти единое, всеобъемлющее понятие числа абсолютно безнадежно. В этой ситуации прокламируемый Галилеем принцип можно было обвинить в нетерпимости. Ведь требование «сделать все, что таковым еще не является» явно дискредитирует то, что не хочет становиться измеримым, вытесняет его из сферы интересов науки, а может быть и разума. Даже если полемический термин «все» скромно ограничить объектами физики и математики, то среди них все больше появлялось таких, которые «измерить» при помощи обычных» чисел было невозможно.

Принцип координатизации все же можно было сохранить, допустив, что множество «числоподобных объектов», при помощи которых осуществляется координатизация, столь же разнообразен как и мир физических и математических объектов, которые ими координатизируется. Объекты служащие «координатами», должны удовлетворять лишь некоторым условиям общего характера.

Они должны быть индивидуализируемы. Например, в то время как все точки прямой обладают одинаковыми свойствами (прямая однородна), тем не менее, точку прямой можно фиксировать, лишь указав на нее пальцем, – числа все индивидуальны: 5, 11/6, . (тот же принцип применяется, когда новорожденным щенкам, не различимым для хозяина, привязывают на шею разноцветные ленточки, чтобы отличать их друг от друга).

Они должны быть достаточно абстрактны, отражать свойства, общие для широкого круга явлений.

Некоторые фундаментальные черты изучаемых объектов отражаются в операциях, которые можно проводить над “координатизирующими” их объектами: сложении, умножении, сравнении по величине, дифференцировании, составлении скобки Пуассона и т.д. Мы можем теперь сформулировать наш тезис подробнее:

Любые объекты, являющиеся предметом математического исследования, – кривые и поверхности, отображения, симметрии, кристаллы, кванто-механические величины и т д. – могут быть «координатизированы» или «измерены». Однако, для такой координатизации «обычных» чисел далеко не достаточно.

Наоборот, сталкиваясь с новым типом объектов, мы вынуждены конструировать (или открывать) и новые типы координатизирующих их «величин». Построение и исследование возникающих таким образом «величин» – этим и характеризуется (конечно, очень приближенно) место алгебры в математике.

С этой точки зрения, развитие любого раздела алгебры состоит из двух этапов. Первый из них – рождение нового типа алгебраических объектов из некоторой проблемы координатизации; второй — их дальнейшая жизнь, т. е. систематическое развитие теории этого класса объектов, иногда тесно связанное, а иногда почти и не связанное с той областью, в связи с которой объекты возникли.

Закончим преамбулу примером координатизации, несколько менее стандартными, чем уже рассматривавшиеся нами.

Пример 1. Конечные интерпретации системы аксиом соединения и параллельности. Начнем с небольшого отступления. При аксиоматическом построении геометрии

(для конкретности будем сейчас говорить только о планиметрии) часто рассматривают не всю совокупность аксиом, а лишь ее часть. Тогда возникает вопрос о возможных реализациях выбранной группы аксиом: существуют ли, кроме «обычной» планиметрии, другие системы объектов, для которых аксиомы этой группы выполняются? Обратим сейчас внимание на очень естественную группу аксиом «соединения и параллельности»: а) через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая; б) для каждой прямой и не принадлежащей ей точки существует одна и только одна прямая, проходящая через эту точку и не пересекающая этой прямой (т.е. параллельна ей); в) существуют три точки, не лежащие на одной прямой. Оказывается, что эта группа аксиом допускает много реализаций и среди них и такие, которые, в резком противоречии с нашей интуицией, имеют лишь конечное число точек и прямых. Такая реализация изображена на рис. 1. В реализации, изображенной на рис.1, мы имеем 4 точки: А, В, С, D и 6 прямых: АВ, DС; АD, ВС; АС, BD. Легко проверить, что выполняются аксиомы а), б) и в) (в нашем перечне прямых мы разделили точкой с запятой

Рис. 1 семейства параллельных прямых).

Возвращаясь к нашей основной теме, попытаемся «координатизировать» построенную реализации аксиом а), б) и в). Применим следующую конструкцию: обозначим через Ч и Н свойства целого числа быть четным или нечетным и определим действия сложения и умножения над символами Ч и Н по аналогии с тем, как ведут себя соответствующие свойства при сложении и умножении. Например так как сумма четного и нечетного числа нечетна, положим Ч + Н = Н и т. д. Результаты можно выразить в таблицах «сложения и умножения», изображенных на





+

Ч

Н




Ч

Ч

Н




Н

Н

Ч






































×

Ч

Н

Ч

Ч

Ч

Н

Ч

Н



Рис. 2 Рис. 3
рис.3 и 4. Пара величин Ч и Н с определенными так действиями будет служить нам для координатизации «геометрии» на рис.1. Для этого зададим точки координатами (Х, У):

А – (Ч, Ч), В – (Ч, Н), С – (Н, Ч), В – (Н, Н).

Легко проверить, что прямые определяются при этом линейными уравнениями;

АВ: Н ∙ Х = Ч; СВ: Н ∙ Х = Н; AD: Н ∙ Х + Н ∙ Y = Ч;

ВС: Н ∙ Х + Н ∙ Y = Н; АС: Н ∙ Y = Ч; BD: Н ∙ Y = Н,

притом это единственные непротиворечивые линейные уравнения, которые можно образовать при помощи двух величин Ч и Н. Здесь Х , Y – переменные.

Уже этот пример дает первое представление, какими могут быть объекты, используемые при том или ином варианте координатизации. Во-первых, их запас должен быть строго очерчен. Иными словами, должно быть указано некоторое множество (или, может быть, несколько множеств), элементами которого могут быть эти объекты. Во-вторых, мы должны иметь возможность с ними оперировать, т. е. должны быть определены операции, которые по одному или нескольким элементам множества или множеств дают возможность строить новые элементы. Пока мы больше ничем не ограничиваем природу используемых множеств. Точно так же и операция может быть совершенно произвольным правилом, по которому некоторому набору из элементов сопоставляется новый элемент. Однако обычно эти операции будут все же сохранять некоторое сходство с действиями над числами.

Образно говоря, принцип координатизации заключается в переводе знаний, полученных посредством нашими органами чувств или математических абстракций на язык алгебры. При этом не надо забывать, что может не существовать даже символов (первичных обозначений), которыми можно выразить, имеющееся знание, а тем более операций над ними через которые мы приобретаем новое знание об объекте.

Нами описана только та сторона познания, которая породила современную алгебру. Кроме вопросов координатизации алгебра занималась и другими вопросами – тождественными преобразованиями, решением уравнений и систем, разрешимости многочленов от одной переменой в радикалах. Много сил было затрачено на исследование последнего вопроса, вследствие чего алгебру многие связывают с многочленами.

Алгебра находилась на протяжение длительного времени под влиянием геометрии и отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшее развитие алгебры: самые сложные формулы приходилось излагать в словесной форме. Тому ярким примером служит арифметика Магницкого (Леонтий Филиппович Магницкий (16.06.1669 – 30.10.1739) – русский математик-педагог – издал в 1703 году книгу «Арифметику», которую М. В. Ломоносов назвал «вратами своей учености» )

Р. Декарту (31.03.1596 – 11.02.1650) удалось освободить алгебру от несвойственной ей геометрической формы. Все это позволило рассматривать вопросы решения уравнений в самом общем виде, применять уравнения к решению геометрических задач. Например, задача об отыскании точки пересечения двух линий свелась к решению системы уравнений, которым удовлетворяли точки этих линий. Такой метод решения геометрических задач получил название аналитической геометрии.

В конце ХVI в. французский математик Ф. Виет (1540 – 13.12.1603) ввел буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для произвольных постоянных. Символика Виета была усовершенствована многими учеными. Окончательный вид ей придал в начале ХVII в. французский философ и математик Р. Декарт (31.03.1596 – 11.02.1650), который ввел (употребляемые и поныне) обозначения для показателей степеней.

В начале ХIХ в. были решены основные задачи, стоявшие перед алгеброй в первом тысячелетии её развития. Она получила самостоятельное обоснование, не опирающееся на геометрические понятия, и, более того, алгебраические методы стали применяться для решения геометрических задач. Были разработаны правила буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выражений, выяснен вопрос о разрешимости уравнений в радикалах и построена строгая теория комплексных чисел. Поверхностному наблюдателю могло бы показаться, что теперь математики будут решать новые и новые классы алгебраических уравнений, доказывать новые алгебраические тождества и т.д. Однако, развитие алгебры пошло иным путем: из науки о буквенном исчислении и уравнениях она превратилась в общую науку об операциях и их свойствах.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных чисел» – чисел с несколькими «мнимыми единицами». Такую систему чисел, имевших вид , где , построил в 1843 г. ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их «кватернионами». Правила действий над кватернионами напоминают правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, ,

С операциями, свойства которых лишь отчасти напоминают свойства арифметических операций, математики ХIХ в. столкнулись и в других вопросах. В 1858 г. английский математик А. Кэли ввел общую операцию умножения матриц и изучил ее свойства. Оказалось, что к умножению матриц сводятся и многие изучавшиеся ранее операции. Английский логик Дж. Буль в середине ХIХ в. начал изучать операции над высказываниями, позволяющие из двух данных высказываний построить третье, а в конце ХIХ в. немецкий математик Г. Кантор ввел операции над множествами: объединение, пересечение и т.д. Оказалось, что как операции над высказываниями, так и операции над множествами обладают свойствами коммутативности (переместительности), ассоциативности (сочетательности) и дистрибутивности (распределительности), но некоторые их свойства не похожи на свойства операций над числами.

Таким образом, в течение ХIХ в. в математике возникли разные виды алгебр: обычных чисел, комплексных чисел, кватернионов, матриц, высказываний, множеств и т. д. Каждая из них имела свои правила, свои тождества, свои методы решения уравнений. При этом для некоторых видов алгебр правила были очень похожими. Например, правила алгебры рациональных чисел не отличаются от правил алгебры действительных чисел. Именно поэтому формулы, которые в VI классе устанавливают для рациональных значений букв, оказываются верными и для любых действительных (и даже любых комплексных) значений тех же букв. Одинаковыми оказались и правила в алгебре высказываний и в алгебре множеств. Все это привело к созданию абстрактного понятия композиции, т. е. операции, которая каждой паре (а, b) элементов некоторого множества Х сопоставляет третий элемент с того же множества. Композициями были сложение и умножение как натуральных, так и любых целых, а также рациональных, действительных и комплексных чисел, «умножение» матриц, пересечение и объединение подмножеств некоторого множества U и т. д. А вычитание и деление в множестве натуральных чисел не являются композициями, так как и разность, и частное могут не быть натуральными числами.

Изучение свойств композиций разного вида привело к мысли, что основная задача алгебры – изучение свойств операций, рассматриваемых независимо от объектов, к которым они применяются. Иными словами, алгебра стала рассматриваться как общая наука о свойствах законов композиции, свойствах операций. При этом два множества, в каждом из которых заданы композиции, стали считаться тождественными с точки зрения алгебры (или, как говорят, «изоморфными»), если между этими множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие, переводящее один закон композиции в другой. Если два множества с композициями изоморфны, то, изучая одно из них, мы узнаем алгебраические свойства другого.

Поскольку совокупность различных множеств с заданными в них законами композиции необозрима, были выделены типы таких множеств, которые хотя и не изоморфны друг другу, но обладают общими свойствами композиции. Например, изучив свойства операций сложения и умножения в множествах рациональных, действительных и комплексных чисел, математики создали общее понятие поля – множества, где определены эти две операции, причем выполняются их обычные свойства. Исследование операции умножения матриц привело к выделению понятия группы, которое является сейчас одним из важнейших не только в алгебре, но и во всей математике.

В наши дни алгебра – одна из важнейших частей математики, находящая приложения как в сугубо теоретических отраслях науки, так и во многих практических вопросах.

  1   2   3   4   5   6

Похожие:

Исследовательская работа по теме II ii алгебраические свойства линейных, показательных iconИсследовательская работа по теме: «Cannabis sativa (Конопля) за и против»
Химико-биологическая характеристика и физико-химические свойства растения Cannabis sativa (Конопля)
Исследовательская работа по теме II ii алгебраические свойства линейных, показательных iconКонспект урока по теме «Теорема о сумме углов треугольника»
Коллективная форма работы (фронтальный опрос, устная работа), групповая (исследовательская деятельность), индивидуальная работа (самостоятельная...
Исследовательская работа по теме II ii алгебраические свойства линейных, показательных iconИсследовательская работа «Сыны отважные России»
Представленная работа посвящена теме «Историческая личность Граф Муравьев-Амурский»
Исследовательская работа по теме II ii алгебраические свойства линейных, показательных iconИсследовательская работа по теме: «Шаг в историю. По страницам «Арифметики»
Исследовательская работа по теме: «Шаг в историю. По страницам «Арифметики» Л. Ф магницкого»
Исследовательская работа по теме II ii алгебраические свойства линейных, показательных iconИсследовательская работа по теме: «Загадки древних пирамид»

Исследовательская работа по теме II ii алгебраические свойства линейных, показательных iconИсследовательская работа по теме: " Замечательные линии треугольника: медиана и биссектриса" Секция: математика Работа учеников 8 класса
Региональная научно-практическая конференция школьников и учащейся молодежи Омской области
Исследовательская работа по теме II ii алгебраические свойства линейных, показательных iconИсследовательская работа по теме: Хроматография на бумаге Демидова Ивана Сергеевича

Исследовательская работа по теме II ii алгебраические свойства линейных, показательных iconНаучно-исследовательская работа по теме «Класс элементарных функций и их графики»

Исследовательская работа по теме II ii алгебраические свойства линейных, показательных iconИсследовательская работа «Выращивание декоративных растений в комнатных условиях»
Экология. Исследовательская работа «Изменение количественного и видового состава животных Октябрьского района»
Исследовательская работа по теме II ii алгебраические свойства линейных, показательных iconУрок по теме «Решение показательных уравнений»
Характеристика учебных возможностей класса
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org