Уравнение пелля и уравнение the pellian equation and the equation



Скачать 75.55 Kb.
Дата07.11.2012
Размер75.55 Kb.
ТипДокументы
УДК 511
В.А. Мешков, канд. техн. наук (ОИР Украины, г. Евпатория)

V.A. Meschkoff
УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ И УРАВНЕНИЕ

THE PELLIAN EQUATION AND THE EQUATION
С помощью алгебраических чисел получены явные выражения и нелинейные рекуррентные соотношения для решений диофантовых уравнений , что позволило найти простое решение диофантова уравнения В приложении показана возможность обобщения данного подхода.

With algebraic numbers we have evident representations and nonlinear recurrent correlations for solutions of diophantine equitions , and that is the way to find the simple solution of diophantine equition In appendix we demonstrate possibility for present approach generalization.

УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ И УРАВНЕНИЕ

В 1942 г. Люнгрен (Ljunggren W.) получил решение уравнения , которое было настолько сложным, что покойный профессор Морделл ( Mordell L.J.) утверждал: « Трудно вообразить более сложное решение, и можно только желать его упрощения.» 3. Последующие упрощения решения 3,4 все же использовали изощренные математические методы и сложные вычисления.

При этом не учитывалось, что данное уравнение является частным случаем уравнения , которое связано с уравнением Пелля.

Уравнение Пелля является одним из наиболее изученных диофантовых уравнений. Весьма подробное изложение истории исследования этого уравнения имеется в 1. Далее будем рассматривать только решения в натуральных числах, и если найдено начальное решение уравнения Пелля то бесконечная последовательность всех решений может быть найдена из соотношения 2, стр.341.

Для простоты рассмотрим случай gif" name="object13" align=absmiddle width=43 height=18>, при необходимости последующее изложение несложно обобщить для произвольного натурального Известно, что решения можно получить из рекуррентной цепочки равенств 1,стр.43

(1)

Четные значения n дают решения уравнения Пелля , т.е. Нечетные значения n дают решения уравнения

Удобно использовать алгебраические числа

(2)

С их помощью соотношения (1) представим в виде

(3)

Отсюда можно получить нелинейные рекуррентные формулы для решений уравнения Пелля

(4)

Непосредственной проверкой несложно с помощью (3) установить нелинейные рекуррентные формулы для решений уравнения

(5)

Соотношения (5) позволяют получить довольно простое решение диофантова уравнения В соответствии с (5) решения этого уравнения должны удовлетворять соотношениям пифагоровой тройки, т.е. возможны:

2

случай а) и случай б): .

Действительно, из соотношений (1-3) следует, что и эти числа взаимно простые. Поэтому для случая а) с учетом (4) должно выполняться условие для пифагоровой тройки , где и имеют разную четность. Тогда из первого условия следует, что четное, т.к. всегда нечетно, а четно при четном . При этом из (1) следует

(6)

В соответствии с (4) для четного m получим из (6)

(7)

Из уравнения (7) видим, что решение возможно, если В простейшем случае Это соответствует начальному решению (1) Но это решение не относится к пифагоровым тройкам, т.к. для них При уравнение (7) не имеет решения, т.к. .

Аналогично рассмотрим случай б), и с учетом (4) условие для пифагоровой тройки имеет вид: при четном Из соотношений (1) или (3) нетрудно вывести, что Теперь получим условия существования решения

(8)

Для четных с учетом (4) из этого следует

(9)

Очевидное решение (10) при соответствует Далее с учетом (5) находим, что Используя (3)

Таким образом имеем второе решение уравнения Теперь нетрудно заметить, что при уравнение (10) не имеет решения, т.к.

Теорема. Решения диофантова уравнения исчерпываются значениями

Доказательство. Определим отношение (10)

Обозначим , тогда из (10) следует уравнение , имеющее единственное положительное решение (11)

3

Для случая а) имеем

(12) где четные числа. Из (12) следует, что значения могут принимать только значения монотонно убывающей последовательности . Поэтому причем диапазон возможных значений очень невелик, т.к.

С другой стороны являются решениями уравнения Пелля, т.е. ,что запишем в виде

(13)

Подобные уравнения хорошо известны в связи с использованием для их решения диофантовых приближений2,стр.359. В данном случае решение упрощается, т.к. рациональные значения должны принадлежать к последовательности (12). При имеем решение (13) , а при рассматриваем (13) в виде

(14)

Т.к. то .

Из (14) имеем оценки

(15)

С другой стороны по теореме о среднем имеем простую оценку Лиувилля 2,стр.359 для рациональных значений

(16)

Из (15) и (16) для рассматриваемой последовательности следует оценка

(17)

Окончательно из этого следует, что при уравнения (13) и (14) не имеют решения, т.к. соответствует нечетному , а при в силу оценки Лиувилля.
4

Соотношения (17), по-видимому, требуют пояснения для неспециалистов в области диофантовых уравнений. Из первой строчки (17) следует, что может существовать константа , и тогда для некоторого может существовать оценка Предположим теперь, что это рационально и соответствует решению уравнений (13) и (14). Но тогда будет локальным минимумом, т.к. например , и приходим к противоречию, т.к. в рассматриваемых пределах монотонная функция. Поэтому приходим к выводу, что искомое решение может быть только в начале последовательности, что дает оценку во второй строчке (17).

Для случая б) имеем из (10) и (11)

(18) где четные числа. Из (18) следует, что значения могут принимать только значения из монотонно убывающей последовательности . Поэтому где диапазон возможных значений снова невелик, т.к.

С другой стороны являются решениями уравнения Пелля, т.е. ,что запишем в виде

(19)

При имеем решение (19) , и при рассматриваем

(20)

Рассмотрение, аналогичное проведенному для случая а) приводит к оценке ограничений для возможных значений

(21)

Из этого следует, что при уравнения (19) и (20) имеют решение, а при , в силу оценки Лиувилля, других решений в рассматриваемой последовательности нет. Теорема доказана.
5

В заключение следует заметить, что данный подход обобщается применительно к диофантовым уравнениям, приводимым к виду

Соответствующие соотношения приведены в Приложении.
1.Эдвардс Г. Последняя Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М. : Мир, 1980.

2. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел.  М. : Мир, 1987.

3. R. Steyner and N. Tzanakis. Simplifying the Solution of Ljungrens Equation J. Number Theory 37 (1991), 123-132.

4. Chen Jian Hva. Новое решение диофантова уравнения J. Number Theory 48 (1994), 62-74.
Приложение. Решения диофантовых уравнений
Из известного соотношения для решений уравнения Пелля [2, стр.341]

. следует, что последовательность решений можно представить с помощью алгебраических чисел

(П1)

С их помощью получаем явные выражения для решений

(П2)

Если для данного имеется решение уравнения то имеем рекуррентную цепочку равенств, аналогичную (1)

(П3)

В этом случае имеем

(П4)

Решения (П3) также представляются в виде, аналогичном (П2)

(П5)

Четные значения n дают решения уравнения Пелля , т.е. Нечетные значения n дают решения уравнения

Последовательность решений удобно представить в матричном виде

(П6)

Нетрудно проверить, что для уравнения Пелля существуют нелинейные рекуррентные соотношения, обобщающие (4)

6

(П7)

Для аналога нелинейных рекуррентных соотношений уравнения , обобщающих (5), получим

(П8)

Из этого соотношения обнаруживается интересное следствие для уравнения . Заметим, что из (П5) следует, что делятся на . Поэтому из (П8) нетрудно получить, что Если теперь , то необходимо

Решения более общего уравнения состоят из конечного числа последовательностей[1, стр.404]

(П9) где − некоторое начальное (наименьшее) решение уравнения , определяющее последовательность. Тогда из (П9) получим

(П10)

Нелинейные рекуррентные соотношения теперь усложняются и должны выводиться и рассматриваться для конкретных значений . Например,

.

Но при рассмотрении уравнений вида можем, например, получить

.

Если теперь в рассматриваемом уравнении , то приходим к соотношениям , которые и являются основой для дальнейшего анализа.

Похожие:

Уравнение пелля и уравнение the pellian equation and the equation iconЭкзаменационные вопросы интернет-курсов интуит (intuit): 343. Классические и квантовые вычисления
В детерминированном измерении \begin{equation}\rho\ \mapsto\ \sum {j} {}\PP(\rho,\calL j)\left(\gamma {(j)},j\right), \end{equation}...
Уравнение пелля и уравнение the pellian equation and the equation iconУравнение пелля: мультипликативные свойства и ациклический метод решения
Пелля, позволяющий значительно упростить и сократить вычисления по сравнению с циклическим методом. Метод применим для диофантовых...
Уравнение пелля и уравнение the pellian equation and the equation icon§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением пер­вой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет...
Уравнение пелля и уравнение the pellian equation and the equation iconЗадача *. Пусть не полный квадрат. Тогда уравнение Пелля имеет бесконечно много решений в натуральных числах

Уравнение пелля и уравнение the pellian equation and the equation iconФизическая оптика
Волновое уравнение и его следствия. Уравнения Максвелла для электромагнитной волны в диэлектрике. Волновое уравнение. Скалярная волна....
Уравнение пелля и уравнение the pellian equation and the equation iconДифференциальное уравнение первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка – функциональное уравнение, связывающее независимую переменную x, функцию y(x) и её производную...
Уравнение пелля и уравнение the pellian equation and the equation iconЛекция №3 Прикладная математика Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса
Лау (1) следующим образом: 1-е уравнение оставим без изменения; из 2-го уравнения вычтем уравнение (2), умноженное на; из 3-го уравнения...
Уравнение пелля и уравнение the pellian equation and the equation iconИсследование квадратного уравнения Работу
Что значит исследовать уравнение? Исследовать уравнение- значит рассмотреть все особые случаи, которые могут представится при решении...
Уравнение пелля и уравнение the pellian equation and the equation iconРешение рациональных уравнений. Уравнение, приводимое к виду ax + b = 0, a ≠ 0,называется
Уравнение, приводимое к виду ax + b = 0, a ≠ 0,называется линейным. Уравнение имеет единственный корень
Уравнение пелля и уравнение the pellian equation and the equation iconПримерный перечень вопросов к экзамену
Векторное уравнение прямой на плоскости, уравнение прямой с точкой и нормалью на плоскости, общее уравнение прямой на плоскости
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org