Иштирякова д. К



страница1/5
Дата08.11.2012
Размер1.26 Mb.
ТипУчебное пособие
  1   2   3   4   5


Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Уфимская государственная академия экономики и сервиса


ИШТИРЯКОВА Д.К.
МАТЕМАТИКА
Часть 4
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Дифференциальные уравнения. Ряды

Учебное пособие

Рекомендовано

учебно-методическим советом УГАЭС

Уфа 2006

УДК 517.2

ББК 22.1:22.161.6 (Я7)

И 97
Рецензенты:

Еникеев Т.И., канд. физ.-мат. наук, доцент, зам. директора

по научно-методической работе Уфимского филиала

Оренбургского государственного университета,

Бакусова С.М., канд. физ.-мат. наук,

доцент кафедры экономической теории и мировой экономики

Иштирякова Д.К.

Математика. Часть 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное пособие / Д.К. Иштирякова. – Уфа: Уфимск. гос. акад. экон. и сервиса, 2006. – 73 с.

ISBN 5–88469–206–4


Указанные разделы представляют собой развитие и углубление предыдущих разделов математического анализа и завершают тот фундамент, на котором строится математическое образование любого инженера и экономиста.

Кроме теоретических вопросов, рассмотренных достаточно полно, дано решение многих примеров и задач. Весь материал необходим для овладения основами теории вероятностей и математической статистики.

В данном пособии рассматриваются дифференциальное исчисление функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения, ряды. Пособие снабжено своим автономным оглавлением, программным материалом, списком литературы и пр. Имеется общее оглавление, помогающее найти каждую часть рабочего учебника, цели и задачи курса, необходимый перечень умений и навыков студента.

ISBN 5–88469–206–4 © Иштирякова Д.К., 2006

© Уфимская государственная

академия экономики и сервиса, 2006

МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ

Рабочий учебник включает разделы «Функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения», «Ряды» и входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин. Эти разделы изучаются в первом, втором и третьем семестрах после разделов «Линейная алгебра», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Введение в матанализ», «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» и «Интегральное исчисление функции одной переменной».
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА

Все разделы данного курса представляют собой естественное развитие и обобщение предыдущих разделов высшей математики и преследуют целью раскрытые органической взаимосвязи между этими разделами, а также дальнейшее развитие математического кругозора и построение фундамента, на котором строятся многочисленные приложения математики, прежде всего в экономике.


Задачи данного курса:

Овладение основами теории и выработка навыков. Применение их к конкретным задачам экономики и социологии.

Овладение методами моделирования прикладных задач. Большие возможности в этом плане представляет теория дифференциальных уравнений благодаря их универсальности в описании процессов, протекающих в природе и обществе.
ПЕРЕЧЕНЬ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ

Курс «Функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» является составляющей общематематической подготовкой будущего специалиста-экономиста и органически связан с предыдущими разделами курса, а также является углублением и развитием таких разделов, как «Дифференциальные исчисления функции одной переменной», «Интегральное исчисление», и т.д. В процессе изучения этого раздела студент должен четко уметь давать определения, соответствующие теоремы и уметь применять их на практике, и особенно в экономической теории.

В конечном счете ценность любого раздела определяется умением применять его к решению задач.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Понятие функции нескольких переменных, область определения.

Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные и производная по направлению. Градиент. Полное приращение функции нескольких переменных и полный дифференциал. Частные производные высших порядков. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Уравнения первого порядка:

с разделяющимися переменными;

однородные и приводящиеся к ним;

линейные.
Дифуравнения второго порядка. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравнения в экономической динамике.

Числовые ряды. Основные понятия. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Признаки Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши. Функциональные ряды. Степенной ряд и область его сходимости. По членное интегрирование и дифференцирование степенного ряда. Разложение функции в степенной ряд. Применение рядов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. Т.1. – М.,1964.

  2. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. – М., 1972.

  3. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч.1. – М.,1982.

  4. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М., 1998.

  5. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнита, 1998. – 471 с.

  6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курса высшей математи- ки. – М.: Наука, 1986, 576 с.

  7. В.Е. Шнейдер и др. Краткий курс высшей математики. М.: Высшая школа, 1972, 640 с.

  8. Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа. – М.: Наука, 1973. – 160 с.

  9. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити, 1998. – 471 с.

  10. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1972. – 640 с.

  11. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука. – 576 с.

  12. Виленкин Н.Я. и др. Ряды. – М.: Просвещение, 1982. – 160 с.

  13. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II. – М.: Высшая математика, 1980. – 365 с.


ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Как определяется функция нескольких переменных?

Что представляет собой график функции двух переменных?

Сформулировать определения предела функции двух переменных в точке:

а) на «языке « »;

б) на «языке окресностей»;

в) на «языке близости» точек.

Сформулировать определение непрерывности функции нескольких переменных в точке. Как формулируется определение на «языке приращений»? Перечислить три условия, выполнение которых равносильно непрерывности функции в точке.

Дать определение производной функции по направлению и частных производных. Какая связь существует между этими понятиями?

Что представляет собой: а) полное приращение функции;

б) полный дифференциал функции?

Как связаны между собой эти величины? На чем основано применение полного дифференциала в приближенных вычислениях?

Дать определение градиента функции. Как взаимосвязаны градиент и производная по направлению? Какова скорость изменения функции по направлению градиента?

Сформулировать теорию о равенстве смешанных частных производных второго порядка функции двух переменных. Записать всевозможные частные производные второго порядка для этой функции.

Как формулируются определения экстремума функции двух переменных в точке? В чем заключаются необходимые условия экстремума?

В каком случае функция двух переменных: а) имеет максимум в точке; б) имеет минимум в точке; в) не имеет экстремума? В каком случае вопрос о существовании экстремума остается открытым?

Отличаются ли понятия экстремума функции и наибольшего и наименьшего значении функции в области? Где могут достигаться набольшее и наименьшее значения?

12. Какое уравнение называется обыкновенным дифуравнением п-го порядка? В чем отличие частного решения от общего? В чем геометрический смысл: а) общего решения дифуравнения первого порядка; б) частного решения?

13. В чем различие между уравнением с разделяющимися переменными и уравнением с разделенными переменными?

14. Записать общий вид линейного дифуравнения, первого порядка. Что означает слово «линейное»?

15. Что общего между понятиями «общее решение» и «общий интеграл» дифуравнения? В чем различие между ними?

16. В каких случаях возможно понижение порядка дифуравнения? Всегда ли сохраняется линейность при понижении порядка?

17. Сформулировать определения линейной зависимости и линейной независимости функции на отрезке. Почему общее решение уравнения y”- 4y’ + 4y = 0 не может быть записано в виде y = c1 e2x + c2 e2x ?

18. Из чего складывается общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка?

19. В чем суть метода неопределенных коэффициентов при нахождении частного решения линейного неоднородного дифуравнения второго порядка?

20. Будут ли линейно независимыми в функции: а) cos2x и cos2x; б) e3x и 5e3x; в) e-x и x e-x ?

21. Чем отличается сумма ряда от частичной суммы? Что означает: а) сходимость ряда; б) расходимость ряда? Какой числовой ряд встречается в школьном курсе математики?

22. Перечислить свойства сходящихся рядов. В чем заключается необходимое условие сходимости ряда? Привести пример ряда, расходящегося, несмотря на выполнение необходимого условия сходимости.

23. Сформулировать необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами. Какие признаки сходимости основаны на этом условии?

24. В каких случаях применяется интегральный признак Коши? Может ли случиться, что признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда?

25. Сформулировать признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Достаточно ли убывания членов для сходимости таких рядов?

26. Следует ли из абсолютной сходимости знакопеременного ряда его сходимость? Справедливо ли обратное утверждение?

27. Каково строение области сходимости степенного ряда? Совпадают ли понятия области сходимости и интервала сходимости?

28. Всегда ли применима формула для нахождения радиуса сходимости степенного ряда? Как поступают в тех случаях, когда эта формула неприменима?

29. В чем заключается необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора?

30. Записать разложения функции ex, sin x, cos x, ln (1 + x), arctg x, в ряд Маклорена, указать области сходимости этих рядов.

ТРЕНИНГ-ТЕСТЫ

Выбрать один правильный ответ:

  1. Найти область определения функции:



а) ; б) ; в)

  1. Описать поверхности, являющиеся графиками заданных функции:

1.

а) плоскость; б) эллипсоид; в) конус;


  1. Вычислить пределы:



а) 1; б) ; в) 0;



а) 0; б)1; в)e;


  1. Найти частные производные:



а) б) в)


  1. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить: ;

а) 1,69; б) 1,18; в) 2,13.


  1. Найти производную функции в точке (1;2) в направлении, составляющем с осью Ох угол .

а) б) 99; в) 98.

  1. Найти производную функции в точке М (3;4) в направлении

а) б) в)


  1. Найти экстремум функции:

а) б) в)


  1. Проинтегрировать уравнение: х2у’ + y = 0

а) б) y=cex; в)
10. Проинтегрировать уравнение:

a) б) 1 + x2 + 1 + y2 = c; в) x2 + y2 = c.
11. Найти частное решение уравнения (1 + x2) dy + ydx=0, удовлетворяющее условию y(1) = 1.

a) б) в) .

11.1 Проинтегрировать следующее уравнение: xycos = ycos - x

а) ; б) в)

12. y’+2xy=2x2

а) ; б) = e(c + x3); в) y = cx
13. y + ytgx = sin2x;

а) ; б)

в)

14. Проинтегрировать следующие уравнения:

14.1 y” 5y’ + 6y = 0

а) y = c1e3x + c2e2x; б) y = c1e4x + c2ex; в) y = c1e-x + c2 ex
14.2 y” 8y’ + 16y = 0

а) y = (c1 + c2)c4x + x. б) y = (c1 + c2ex)e5x; в) y = c1e4x + c2xe4x;
14.3 y” 6y’ + 34y = 0

а) y = (c1 + c2ex)e5x; б) y = (c1 + c2)cos5x; в) y = e3x(c1cos5x + c2sin5x)

15. Проинтегрировать следующие уравнения:

15.1 y 5y’ + 6y = 13sin3x

а) y = c1e2x + c2e3x + (5cos3x sin3x)

б) y = (5cos3x sin3x);

в) y = c1e4x + c2ex;
15.2 y” 4y’ + 4y = xe3x

а) ; б) y = (c1x + c2)e2x; в) y = c1 + c2 x3

16. Найти сумму ряда

а) б) в)

Исследовать сходимость рядов:

17.

а) сходится; б) расходится; в) сходится; .

18.

а) расходится; б) сходится; в) колеблется (расходится)
19.

а) сходится по признаку Даламбера;

б) сходится по интегральному признаку;

в) расходится.
20. Исследовать на абсолютную и условную сходимость:

а) сходится условно; б) сходится абсолютно; в) расходится;

21. Найти радиус сходимости ряда:

а) б) в)

22. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001

а) 0,9848; б) 0,9948; в) 0,7581
Правильные ответы к тренинг-тестам см. стр. 71.
  1   2   3   4   5

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org